(1)

Матрицы. Размерность матрицы. Матрица квадратная, треугольная, диагональная, единичная, нулевая, прямоугольная, ступенчатого вида. Элементарные преобразования матриц. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы. Два определения линейной независимости строк и их эквивалентность. Действия с матрицами: сложение, умножение на число, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Свойства этих операций. Определение ранга матрицы. Два способа нахождения ранга матрицы.

Матрица – таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Матрица размера n x n называется квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратную матрицу размера n x n называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной (обозначается буквой E).

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (обозначается буквой О).

Матрица ступенчатого вида – матрица, у которой все члены ниже главной диагонали равны нулю.

Элементарные преобразования матриц:

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы

2. Умножение всех элементов ряда на число, отличное от нуля

3. Прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на число.

4. Вычеркивание строки из нулей.

Строки a1; a2; a3;...;an называются линейно независимыми если равенство 1a1+2a2+...+nan=0 возможно только при всех =0.

Строки a1; a2; a3;...;an называются линейно зависимыми если это равенство возможно хотя бы при одном ≠0. <=> Строки линейно зависимы если одна из строк является линейной комбинацией остальных.

Свойства матриц:

1. A+B=B+A (коммутативный закон сложения)

2. A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативный закон)

3. A+0=A ( закон поглощения нуля)

4. α∙A=A∙α (коммутативный закон умножения)

5. 1∙A=A(закон поглощения единицы)

6. α∙(A+B) =α∙A+ α∙B(дистрибутивный закон)

7. (α+β)∙A= α∙A+ β∙A

8. α∙( βA)= (α β)∙A

Рангом(обозначается r,r(A),rang(A)) матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

<=>

Рангом матрицы называется число линейно независимых строк.

Способы нахождения ранга матрицы:

1. Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.

2. Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).

(2)

Определители. Вычисление определителей второго порядка. Вычисление определителей высших порядков с помощью теоремы Лапласа. Свойства определителей.

Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем, следующим образом:

1. n=1, A=(a₁); det A= a₁;

2. 

3. Теорема Лапласа

Выделим в det A произвольные строки с номерами . Образуем всевозможные миноры k-го порядка с элементами из этих строк. Домножим эти миноры на их алгебраические дополнения в det A. Тогда величина det A равна сумме таких произведений по всем возможным выборкам k элементов.

Свойства определителя:

1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель не изменится если его строки заменить столбцами и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Из свойств 3 и 4 следует, что если один ряд пропорционален другому, то определитель равен нулю.

6. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

7. «Элементарные преобразования определителя». Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

8. «Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда, на соответствующие им алгебраические дополнения.

9. «Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие ему алгебраические дополнения.

10. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

(3)

Системы линейных уравнений. Система n линейных уравнений с k неизвестными. Основные определения: системы совместные, определенные, однородные. Решение систем методом Крамера, методом Гаусса, матричным методом. Исследование систем n уравнений с k неизвестными с помощью метода Гаусса. Элементарные преобразования системы. Совместность системы, ее определенность. Ранг системы линейных уравнений. Два способа вычисления ранга системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Неопределенные системы. Однородные системы и их исследование.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Где числа aij называются коэффициентами системы, числа bij – свободными членами.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Метод Крамера

Метод Гауса

Приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и решение соответственной системы.

Матричный метод

Если ранг матрицы равен числу неизвестных, то однородная система имеет единственное нулевое решение; если меньше числа неизвестных, то однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Рангом(обозначается r,r(A),rang(A)) матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

<=>

Рангом матрицы называется число линейно независимых строк.

Способы нахождения ранга матрицы: