Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тамбовский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

253.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

4)x2 −8x +8y −8 = 0 .

5)36x2 +9 y2 +288x +18y +261 = 0 .

6)16x2 −25y2 −64x +100 y −436 = 0 .

7)25x2 −9 y2 +200x −36 y +139 = 0 .

8)9x2 −9 y2 −90x +72 y = 0 .

9)9x2 +36 y2 −18x +216 y +9 = 0 .

10)4x2 −36 y2 −24x −288y −684 = 0 .

11)y2 −4 y −6x +28 = 0 .

21)

y2 +8y +8x +8 = 0 .

ПЛОСКОСТЬ

Даны точки А(3; –2; –1), В(0; 0; –2), С(–3; 1; 0), D(–4; –2; 2,5). Укажите, какие из них принадле-

жат плоскости 2x – 3y + 4z = 0. (Ответ: точки А, В и D.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

M0(–3;

перпендикулярно

вектору

(2;

5).

(Ответ:

2x + 3y + 5z – 4 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

M0(3; 4; 5)

перпендикулярно

вектору

n = (–1; –3; 2).

(Ответ:

x + 3y – 2z – 5 = 0.)

Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

M0(2; –3; –1)

перпендикулярно

вектору

М1М2 ,

где

M1(3; 4; 1)

M2(1; –2; –3). (Ответ: x + 3y + 2z + 9 = 0.)

Даны точки А(3; –2; 4) и В(1; 4; 2). Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А и

перпендикулярной

вектору

AB .

(Ответ:

x – 3y + z – 7 = 0.)

Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(1; –1; 2)

перпендикулярно

отрезку

М1М2,

если

М1(2; 3; –4),

М2(–1; 2; –3). (Ответ: 3x + y – z = 0.)

Составить уравнение плоскости в «отрезках», если она проходит через точку М(6; –10; 1) и от-

секает на оси ОХ отрезок а = –3, а на оси ОZ – отрезок с = 2. (Ответ:

=1.)

−4

−3

Составить

уравнение

плоскости,

которая

проходит

через

точку

М(2; –3; –4) и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины. (Ответ: x + y

+ z + 5 = 0.)

9Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости ХОY и проходящей через точку М0(2; – 2; 3). (Ответ: z – 3 = 0.)

10Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку

М(2;		–3;	3)		параллельно		плоскости
3x + y – 3z = 0. (Ответ: (–2; –6; 2)).
11	Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку
М(–2;		7;	3)		параллельно		плоскости
x – 4y + 5z – 1 = 0. (Ответ: –1/15; 4/15; –1/3.)
12	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей		через	середину
отрезка	М1М2	перпендикулярно	к	этому	отрезку,	если	М1(1; 5; 6),

М2(–1; 7; 10). (Ответ: x – y – 2z + 22 = 0.)

13Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси ОХ и проходящей через точку М0(2; –1; 3). (Ответ: x – 2 = 0.)

14Составьте уравнение плоскости, перпендикулярной оси ОZ и проходящей через точку М0(–2; –3; –1). (Ответ: z – 1 = 0.)

15Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости ХОZ и проходящей через точку М0(–3; –2; 4). (Ответ: y + 2 = 0.)

16Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ и через точку М(3; 2; 4). (Ответ: 2y –

z = 0.)

17Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и через точку М(1; 1; 1). (Ответ: x – y

=0.)

18Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось ОY и через точку М(–2; –3; –4). (Ответ: 2x – z = 0.)

19Составьте уравнение плоскости, параллельной оси ОZ и проходящей через точки М1(3; –1; 2) и

М2(–2; 3; 4). (Ответ: 4x + 5y – 7 = 0.)

20Составьте уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки М1(1; –2; –1) и

М2(3; 2; –4). (Ответ: 3x + 2z – 1 = 0.)

21Составьте уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки М1(–4; 2; 5) и

М2(–5; –1; 3). (Ответ: 2y – 3z + 11 = 0.)

Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М0(2; –1; 3) и параллельной векторам a = (3; 0; −1) и b = (−3; 2; 2) . (Ответ: 2x – 3y + 6z – 25 = 0.)

Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

М(2;

–5)

N(–1;

–6)

параллельно

вектору

a = (4; 4; 3)

???.

(Ответ:

2x – 5y + 4z + 31 = 0.)

Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М0(–4; –3; 1) и параллельной векторам a = (5; 2; −3)

и b = (1; 4; −2) . (Ответ: 8x + 7y + 18z + 35 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(–2;

3; 4)

параллельной

плоскости x

–

(Ответ:

–

– 3z + 8 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(–1; –2; 3)

параллельной

плоскости

2x – 3y + z – 1 = 0.

(Ответ:

2x – 3y + z – 7 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

М1(–2;

–3;

М2(1;

–2)

перпендикулярной

плоскости

–

+ 4 = 0. (Ответ: 2x – 3y – 5z = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

А(1; –4; –3) и В(4; –2; –1) и перпендикулярной плоскости x – y – 3z + 7 = 0. (Ответ: 2x – y + z – 9 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

М1(2;

–1;

–3)

М2(–3;

перпендикулярной

плоскости

–

+ 2 = 0. (Ответ: x + y – 1 = 0.)

Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(–1;

–1;

перпендикулярной

плоскостям

+ 2y

–

0 и

–

+ z – 4 = 0. (Ответ: 2x + 3y + 4z – 3 = 0.)

Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плос-

костям x + 5y – z + 7 = 0 и 3x – y + 2z – 3 = 0. (Ответ: 9x – 5y – 16z = 0.)

Найти

острый

угол

между

плоскостями

–

3x – 4y – z + 3 = 0. (Ответ: ϕ = 59°21'.)

Найдите

острый

угол

между

плоскостями

–

2x + 3y – z – 3 = 0. (Ответ: ϕ = 72°02'.)

34Определить, при каком значении В плоскости x – 4y + z – 1 = 0 и 2x + Вy + 10z – 3 = 0 будут перпендикулярны. (Ответ: В = 3.)

35Определить, при каком значении С плоскости 3x – 5y + Сz – 3 = 0 и x – 3y + 2z + 5 = 0 будут перпендикулярны. (Ответ: С = –9.)

36 Найти расстояние от точки А(2; 3; 4) до плоскости 4x + 3y + + 12z – 5 = 0. (Ответ: 60/13.)

Найдите

расстояние

от

точки

А(1;

–2;

до

плоскости

10x

–

+ 11z – 10 = 0. (Ответ: 1.)

А(2;

Найдите

расстояние

от

точки

–2)

до

плоскости

–

– 6z – 22 = 0. (Ответ: 11.)

Найдите

расстояние

между

параллельными

плоскостями

2x – 3y + 6z + 28

= 0 и 2x – 3y + 6z – 14 = 0. (Ответ: 6.)

Найдите

расстояние

между

параллельными

плоскостями

x – y + 2z – 4 = 0

и x – y + 2z + 10 = 0. (Ответ:

6 .)

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(3; –1; 2): а) параллельно вектору a (2; 1; –3);

б) параллельно оси ОY;

в) параллельно прямой x −4 5 = y +2 2 = z−−13 .

2 Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку В(2; 4; –5): а) параллельно вектору m (0; –1; 3);

б) параллельно оси ОZ;

в) параллельно прямой x−+11 = y 2−4 = 3z .

3Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки А(2; –5; 0) и В(3; –1; 4)

изаписать его в параметрическом виде.

4Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(4; 2; –3) и В(1; 0; –1) и записать их в каноническом виде.

	3x − y + z −2 = 0
5	Дана прямая 2x +2 y −3z +1 = 0 :
а)	найти какой-нибудь ее на направляющий вектор m ;
б) записать уравнения этой прямой в каноническом виде.
6	Дана прямая 2x +4 y − z −5 = 0 :
	4x −2 y + z +3 = 0
а)	найти какой-нибудь ее на направляющий вектор m ;
б) записать уравнения этой прямой в параметрическом виде.

7 Составить канонические и параметрические уравнения следующих прямых:

а)	4x + y −3 = 0								;
	x − y +2z +8 = 0
б)	2x −4 y + z −8 = 0 ;
	x +2 y − z −1 = 0
в)	x +3y + z +2 = 0								;
	x − y −3z −2 = 0
г)	7x −2 y +4 = 0 .
	3x +4z = 0
8	Проверить, параллельны ли прямые:
	x = 2t −2						и 2x +4 y −5z +3 = 0 ;
а) y = −t +1
								x +2 y +3z −7 = 0
	z = 3
		x		y −2		z +1				x −2 y +3z −2 = 0
б)			=		=				и	2x +8y −3z +1 = 0 .
		6		−3			−4
9	Проверить, перпендикулярны ли прямые:

x = 3t

и 2x − y + z −4 = 0 ;

а) y = −2t +2

z = −t +4

3x + y −2 = 0

б) x + y −3z −1 = 0

2x + y +2z +5 = 0 .

2x − y −9z = 0

2x −2 y − z +2 = 0

Найти

точки

пересечения

прямой,

проходящей

через

точки

А1(2; 0; –4) и А2(3; 1; –5), с координатными плоскостями.

Найти

точки

пересечения

прямой,

проходящей

через

точки

В1(–1; 3; –2) и В2(2; –1; 4), с координатными плоскостями.

Даны

вершины

треугольника

АВС:

А(2;

–5;

4),

В(3;

–1),

С(0; 4; –3). Составить:

а)

уравнение стороны АВ треугольника АВС;

б)

уравнение медианы, проведенной из вершины А;

в)

уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной стороне АВ;

г)

уравнение биссектрисы его внутреннего угла при вершине С;

д)

уравнение его высоты, опущенной из вершины В.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ

Вычислить угол между прямой

x −2

y +1

z −3

и плоскостью x + 2y – 3z + 4 = 0. (Ответ: ϕ =

14°22'.)

Вычислить угол между прямой

x +4

y −1

z −3

и плоскостью 2x – 3y – 2z + 5 = 0. (Ответ: ϕ =

21°07'.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(–1;

–3)

перпендикулярно

прямой

x +2

y −1

z +3

(Ответ:

4x + 3y + 2z + 4 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(2;

–1;

–4)

перпендикулярно

прямой

x −3

y +2

z +5

(Ответ:

2x + 4y + 3z + 12 = 0.)

5Через точку М(1; 3; 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости x – 2y + 2z – 3 = 0. (Ответ:

x1−1 = y−−23 = z −2 2 .)

Составьте

уравнение

перпендикуляра

плоскости

4x – 5y – z – 3 = 0, проходящего через точку М(–1; 1; –2). (Ответ:

x +1

y −1

z +2

−5

−1

Найти точку пересечения прямой

x −2

y −3

z +1

с плоскостью x + 2y – 3z – 4 = 0. (Ответ: (6; 5;

4).)

Найти точку пересечения прямой

x +3

y −1

z +5

с плоскостью 2x + 3y + z – 22 = 0. (Ответ: (1; 7;

–1).)

Составьте

уравнение

перпендикуляра

плоскости

–

– 26 = 0, проходящего через точку (–2; 2; –4). Найдите координаты основания этого перпендикуляра

(Ответ: x +1 2 = y 3−2 = z +2 4 ; (1; –7; 2).)

10 Убедиться в том, что прямая x −4 2 = y 3+4 = z−−21 параллельна плоскости 5x – 2y + 7z + 3 = 0.

Проверьте, что прямая

x −1

y −4

z +1

параллельна плоскости 3x – 5y – 3z – 4 = 0.

−2

−3

Проверьте,

что

прямая

x −3

y −1

z +2

лежит

плоскости

2x – y – 2z – 9 = 0.

Проверьте,

что

прямая

x −1

y +3

z −4

лежит

плоскости

−1

3x – 4y – 2z – 7 = 0.

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

2x + y −3z +4 = 0

и точку М(2; 1; –1).

x − y + z +3 = 0

(Ответ: 2x – 5y + 7z + 8 = 0.)

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 2x −4 y +5z +5 = 0 и точку М(3; 2; 1).

2x − y +2z −1 = 0

(Ответ: 4x + 2y – z – 7 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(3; 4; 0) и прямую

x −2

y −3

z +1

. (Ответ: y – z – 4 = 0.)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

две

параллельные

прямые

x −3

z −1

x +1

y −1

(Ответ:

x + 2y – 2z – 1 = 0.)

Показать,

что

прямая

y −3

z −1

параллельна

плоскости

−9

x + 3y – 2z – 1 = 0, а прямая x = t + 7, y = t – 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(2; 3;

–1) и прямую

t –

+ 5,

z =

–3t + 1.

(Ответ:

10x

+ 13y +

+ 12z – 47 = 0.)

Найти проекцию точки М(4; –3; 1) на плоскость x – 2y – z – 15 = 0. (Ответ: М(5; –5; 0).)

При каких значениях n и А прямая

y −5

z +5

перпендикулярна к плоскости Ax + 2y – 2z – 7 =

0? (Ответ: А = –1, n = –6.)

Доказать, что прямая

x +1

y +1

z −3

параллельна

плоскости 2x

– z

а прямая

−1

x −2

z −4

лежит в этой плоскости.

−1

Доказать, что прямая

x −1

y +2

z −1

перпендикулярна к прямой 2x + y −4z +2 = 0 .

−6

4x − y −5z +4 = 0

Найти

точку

пересечения

прямой

x −1

y +1

плоскости

−2

2x + 3y + z – 1 = 0. (Ответ: М(2; 3; 6).)

Найти проекцию точки Р(3; 1; –1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 = 0. (Ответ: Р(5; 5; 5).)

При каком значении А плоскость Аx + 3y – 5z + 1 = 0 параллельна прямой

x −1

y +2

? (Ответ:

А = –1.)

При каких значениях m и С прямая

x −2

y +1

z −5

перпендикулярна к плоскости 3x – 2y + Сz +

−3

1 = 0? (Ответ: С = 1,5; m = –6.)

При каких значениях А и В плоскость Аx

+ Вy

+ 6z – 7 = 0 перпендикулярна

к прямой

x −2

y +5

z +1

? (Ответ: А = 4, В = –8.)

−4

29 Показать,

что

прямая

y −3

z −1

параллельна

плоскости

−8

−9

x + 3y – z + 1 = 0, а

прямая x = t

+ 7,

= t – 2,

= 2t + 1

лежит в этой

плоскости.

30 Найти

точку

пересечения

прямой

x −7

y −1

z −5

плоскости

3x – y + 2z – 8 = 0. (Ответ: М(2; 0; 1).)

31 При каких значениях В и D прямая x – 2y + z – 9 + z + D = 0 лежит в плоскости ОХY? (Ответ: В = –6, D = –27.)

32 Найти точку, симметричную точке М(4; 3; 10) относительно прямой

=	0,		3x + By +
x −1	=	y −2	=	z −3	. (Ответ:
2		4
			5

М1(2; 9; 6).)

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1 Определить координаты центра и найти радиус каждой из следующих сфер:

а) x2 + y2 + z2 −12x +4 y −6z = 0 ; б) x2 + y2 + z2 +8x = 0 ;

в) x2 + y2 + z 2 −6z −7 = 0 ;

г) x2 + y2 + z2 −12x +4 y −6z −22 = 0 .

2 Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев: а) сфера имеет центр О(–3; 2; 5) и радиус r = 5;

б) сфера имеет центр О(0; 0; 0) и радиус r = 2;

в) сфера	проходит	через	точку	А(–2;	5;	3)	и	имеет	центр
О(4; –2; 3);
г) точки А(3; 4; –6) и В(5; –6; 4) являются концами одного из диаметров сферы;
д) центром	сферы	является		начало	координат			и	плоскость
16x – 15y – 12z + 75 = 0 является касательной к сфере;
е) cфера	имеет	радиус		r = 3	и		касается		плоскости
x + 2y + 2z + 3 = 0 в точке А(1; 1; –3).

3 Установить как расположена точка А(2; –1; 3) относительно каждой из следующих сфер – внутри, вне или на поверхности:

а) (x −3)2 +( y +1)2 +(z −1)2 = 4 ;

б) x2 + y2 + z2 − x +3y −2z −3 = 0 ;

в) (x −6)2 +( y −1)2 +(z −2)2 = 25 .

4 Привести уравнение поверхности к каноническому виду, определить вид и расположение поверхности, пользуясь переносом системы координат. Сделать чертеж.

а) x2 + 4 y2 +9z2 −6x +8y −36z = 0 ; б) 4x2 − y2 − z 2 +32x −12z +44 = 0 ;

в) 3x2 − y2 +3z 2 −18x +10 y +12z +14 = 0 ; г) 6 y2 +6z2 +5x +6 y +30z −11 = 0 .

5 Найти точки пересечения поверхности и прямой:

а)

=1 и

x −3

y −4

z +2

;

−6

б)

−

=1 и

z +2

;

−3

в)

= z и

x +1

y −2

z +3

;

−1

−2

г)

−

= z и

y −2

z +1

−2

Найти линии пересечения поверхностей второго порядка и координатных плоскостей. Опреде-

лить

вид

линии

поверхности.

Сделать

чертеж.

а) x2 + 2y2 + 4z2 = 2;

б)

2x2 – 9y2 – z2 = 36;

в) –2x2 + 3y2 + 4z2 = 0;

г) 2y2 + z2 = 2x;

д) z2 – y2 = x;

е)

y2 – 6z = 0.

Построить тело, ограниченное указанными поверхностями.

а) y = 5x, y = 0, x = 3, z = 0;

б) y = 3x, y = 0, x = z, z = x2 + y2;

в) x2 + y2 = 4x, z = 0, z = x;

г) x2 + y2 + z2 = 9, x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0;

д) 4(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, y ≥ 0, z ≥ 0;

е) z = 4 x2 + y2 , z = 5 – x2 – y2.

Установить,

что

плоскость

x – 2 = 0

пересекает

эллипсоид

=1 по эллипсу; найти его полуоси и вершины.

Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает однополостный гиперболоид

−

=1 по

гиперболе; найти ее полуоси и вершины.

10 Установить, что плоскость y + 6 = 0 пересекает гиперболический параболоид

−

= 6z

по па-

раболе; найти ее параметр и вершину.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.05.20192.06 Mб6Маркетинговые коммуникации..docx
#
21.05.2015558.08 Кб14мат_экз.doc
#
21.05.20151.64 Mб10Матвеева.doc
#
22.05.20151.28 Mб138Математика база.docx
#
22.05.201532.77 Кб33МАТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА.doc
#
22.05.2015253.16 Кб23Математика-2.PDF
#
28.10.20181.45 Mб21математика2.doc
#
22.05.2015112.36 Кб5Материал к теме 14.docx
#
21.05.2015992.26 Кб215Материало короткая.doc
#
23.09.2019151.04 Кб4Материалы для подготовки к тестированию.doc
#
06.09.20198.79 Mб50МБОБЖД.doc