Tulenko Двойные интегралы

где область

D

задана

условиями:

4x ≤ x

2

+ y

2

≤ 8x,

1

14)

√

;

2 x ≤ y ≤

3x

где область

ZDZ

xydxdy,

15)

D задана условиями: (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1;

ZZ

где область

x2 + y2dxdy,

D

p

2 2

åгралапри решениик

Двойные4. ПриложенияDинтегралызаданагеометрииусловиями:широкодвойногоиспользуютсяx +èçèêyèíò− 6x ≤ 0.

азличных геометрических

изических задач. ассмот

им некоторые основные примеры применения двойного ин-

теграла.

Приложения к геометрии

1. Вычисление площади плоской области

щадьПусть D ограниченная плоская область, тогда ее пло-

â SD

декартовойможно вычислитьсистеме координатпо ормулам:

в полярной системеSD = ZDZ dxdy,

координат

(14)

SD = ZΩZ

rdrdϕ,

(15)

41

1. Изобразим игуру наешениеrплоскости= 3 cos ϕ, (ðèñr = 3(1. 20)+. cos ϕ).

èñ. 20

-

Из рисунка видим, что игура симметрична

но полярной оси, поэтому для вычисления площади мож о

вычислить двойной

теграл только по верхнейотносительполови е

-

åчание:нияодной. ееизполученныйплощадиесличастей,гураможнорезультатрезуобладаетьтатвычислятьумножатьумножитьсимметрией,двойнойнанаколичдватоинте.для

нахождгралствоигурыЗамчастейпоΩ/2

42

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5

Вычислить площади игур, ограниченных кривыми:

21) x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0;

3

x2 + y2 ≥ 2x, x > y;

4

x2 + y2 ≤ 2x;

5

3y ≤ x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0;

6

1 ≤ x2 + y2 ≤ 2x;

7

2x ≤ x2 + y2 ≤ 4x, y ≥ 0;

8

x2 + y2 ≤ 4, y − x ≥ 0

90)x2 + y2 ≤ 3, x − y ≤ 0;

x2 + y2 ≤ 1;

1

x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0, x ≥ 0;

2

9 ≤ x2 + y2 ≤ 25;

3

3x ≤ x2 + y2 ≤ 6x, y ≥ 0;

√

4

4x ≤ x2 + y2 ≤ 8x, 21 x ≤ y ≤

3

x;

15) (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1;

2

2

yOz:

или уравнениемS = ZZ

1 + (xy′

)2

+ (xz′ )2dydz

(17)

D

q

xOz:

S = ZZ

1 + (yx)

+ (yz) dxdz.

D

p

2

′ 2

′

(18)

ПримерНайти8площадь части поверхности конуса

íâûрезаемоймиоси из нее ци

индром

образующими 2параллель2 2-,

x + y

= z

êаждаяплоскостиизкоторых

св ю очередь симметрична относи,

тельно

xOy

z =′

p

x

x

′

y

2

+ y2, поэтому имеем

zx =

, zy =

p

p

è

x2 + y2

x2 + y2

q1 + (zx)2

+ zy 2

= s

1 +45x2 + y2

+ +x2 + y2 = √2.

′

′

x2

y2

π

dϕ =

√

+

Z

2

π + 2 sin ϕ

0π +

2

+ 4 sin 2ϕ

0π

=

2 a2

|

|

1 + cos ϕ

2

π

1

2 конуса2 2

2

2

+y

2

= z

2;

1) x +y +z

= 2, заключенной внутри конуса x

стями

x2

+ y

2

z2

, заключенн й между плоско-

− x

= 0;

3)

цилиндра

√

x − 2y = 0

z = 0

x = 2z

2

z =

2

+ 1

√

2

, отсеченной плоскостями

,

,

4)

x = 2

;

y = 2x

2

2

2

2

2

ïîверхностьложеннойy = x +âíàzпервом,плоскостьвырезаннойоктантецилиндром.Указание:xспроектировать+ z = 1 ðàñ-

5)

конуса

xOz;

цилиндра,

x2 + z2 = y2, вырезаемой плоскостями x = 0

6)

;

x + y = 2 y = 0

z = x2, вырезанной плоскостями x + y = √

,

,ñ åðû;

2

7)

x = 0 y = 0

2

2

2

зующими параллельнымиx + y + z = 1оси,вырезаемой цилиндром с обра-

служит кривая

Oz, направляющей которого

8)

конуса

r = sin 3ϕ (òðåõ

епестк вая роза);

x + y

= 2x

2

p2

x2

2

z =

+ y2, çàêëюченной внутри цилиндра

2 9)

ñ2 åðû ;

стями

x + y

+ z

= 1условии,расположенной между плоско-

1

y è z = y ïðè

z =

47

÷òî z ≥ 0, y ≥ 0;

√

3

âûøå0)

плоскостиz = x, заключенной внутри цилиндра x2 + y2 = 4

11)

ñ åðû

z = 0;

x2 +y2 +z2 = 1, заключенной внутри цилиндра

2

2

xõó +13непрерыв..yВычислениеассмотрим= y. ой поверхностьюцилиндрическоеобъема цилиндрическоготело, ограниченноетеласвер

и вырезающими из плоскости xOy

D (ðèñ. 22). Oz

z = f(x, y), ãäå f x, y ≥ 0,

èñ. 22

Объем такого тела может быть вычислен по ормуле

2. ас мотрим V = ZDZ

f(x, y)dxdy.

пространственное тело

(19)

ñтямиверху и ñнизу непрерывно

поверхноое

ди еренцируемымиV , ограничен

mD можно вычислить по ормуле

интеграла2Замечание:.Вычисление. в mD = ZDZ

ρ(x, y)dxdy.

этомстатическихсостоит изическиймоментовсмысли координатдвойного

центра тяжести п

òåëà

имеетПус ьнепрерывноплоскоетеëраспределеннуюоскогозанимает областьповерхностнуюплоскостиплот

ностьжести

D

xOy

ρэтого(x, y),телагде определяются(x, y) D, тогдаиз координатыормул: центра тя-

по ормулам:

Ox è Oy соотвеòñòвенно,

вычисляются

x

=

Mx

,

y =

My

c

m

c

m

ãäå

m

масса тела, а

Mx

,

My

ста ические

моменты тела

относительно осей

Mx = ZDZ

y · ρ(x, y)dxdy, 50 My = ZDZ

x · ρ(x, y)dxdy.