Tulenko Двойные интегралы

D

D1

D2

пределяютсяû

D1

переменной

Преде

ïî.

íûå è

из условия

y постоян

реннего интеграла з висят от переменной0 ≤ y ≤ 1, пределы нут-

правая границы

левая

области

y, поэтомуграницы

D1

и, зависящими от переменнойдолжны описываться урав ени-

èìååì

y. Так, для левой

x

0

правойx = √y

y = x

2 ïðè

äëÿ

),

(обратная ункция для

−

≤ïðè

x = √y (обратная ункция для y = x2

x ≥Окончательно0).

для области

D1 получаем

√

1

y

1

√

x2

y

ZZ

Z

Z

Z

−

D

0

√y

0

1

xydxdy =

dy

xydx =

dyy

2

√y

=

−

1

1тавимобластив виде повторногонаправлении,вычислим(6)

двойнойА алогично,интегралпред=ïîñ2 Z0

y(y − y)dy = 0.

−

12

ванного значения

D2. Для каждого иксиро-

зн че ия от прямойy [1, 4] переменная x может

инимать

указаИмеемном стрелкамиxíà=ðèñy .

.äî x = √

â

y

√

4

y

4

√

ZZ

x2

y

Z

Z

Z

2

−

2 =

D

1

−2

1

2

xydxdy =

dy

xydx21 =

dyy

y

4

4

1

Z y y − (y − 2)2

1

Z

5y2 − y3 − 4y dy =

=

dy =

2

2

1

1

4

1

5y3

y4

− 2y2

1 =

= 2

3 −

4

1

5

64

5

1

45

5

(5),Подставлокончат

ельняя ïîлученныеполучим в (6) è

(7) 2значе= íèÿ=â5

ормулу. (7)

= 2

·3

− 64 − 32 − 3

+

4 +

8

8

ZDZ

5

5

оказалсям способестаноболеере--

xydxdy = 0 + 58

= 58.

затруднительнымшения,Замечание:Ответнополучилсявданномиз.рассмотренныхпримеретотже, чтовторои éпривышспопервñîå бпримеров

вится ясно, что для упрощения вычисл ний

ряде задач

нужно уметь св дить двойные интегралы к

ì ñ

òåì èëè èíûì ïîрядком интегрирования. Приповторнэтом ûáîð

определяется как видом

интегрирования, так и ви-

ассмотрим еще одинобластипр мер.

дом интегрируемой ункции.

Пример 3

В двойном интеграле

RR

íиятегралерасставитьограниченатомпредеином-

порядке,лы интегрированияеслиобластьв повтоинтегрироваfíîì(x, y)dxdy

D

âûìè:

D

êðè-

3

1. Изобразимy = x , x =ãðà0, yически= 2xешение+область4.

22

D (ðèñ. 13).

èñ. 13

2. Сначала сведем наш интеграл к повторному вида

b

y2(x)

Äëÿ

иксируем область изме

ния переменной

этого за

Za

dx Z

f(x, y)dy.

y1(x)

xнашем(по нейпримере:идетинтегрирование во внешíем интеграле), в

буюКаждаяточкуотрезкавертикальная0 ≤ x ≤ 2.прямая, проходящ я через лю-

3

[0, 2] îñè Ox пересекает сначала кривую

àтемпраотносительнокривуюлении

при движении в положи-

yòå=üíîìx , ровноз

â äâóõ

y = 2x + 4

ëастипростой

чкахоси.Следовательно,тоестьпересекаетобластьграницуявля-

обется

Oy

ременнаяДлянужновсех. внутренних точек областиразбиватьинтегрированияееначастипе-

íå

Oy

до прямойy будет изме яться от уравнения кривой y = x3

y = 2x + 4 (направление23

указано на рис. 13).

ZZ

2

2x+4

f(x, y)dxdy =

Z0

dx

Z3

f(x, y)dy.

повторного,переменной3.интегралТеперьпредставимбудемдругимвычислятьисходныйпорядкомпеременнойдвойнойинтегрированияинтегралвнутрен.Внешвиде

D

x

íèé

x,

-

Для этого за иксируемy.

область измен

переменной

y = 0 è y = 8 (ðèñ. 14).

Область

èñ. 14

одной кри

справа

войму

3

-

онаy =неx ,являетсяинтегрированияслевапростойдвумя:границаx ее= нужно0ограниченаy =разбить2x + 4,прямойпоэто

yâèä= 4ункциональной(именноприy зависимости)= 4

наобластидве

справа меняет

24

D1

D2.

вторным интегралам по двум простым областямзначения

Для области

D1

D2.

является

ункцией переменнойая

y [0, 4]

,

переменная

x

D1

y

приним ет

îò

x = 0 äî x = √y (об атн я ункция для y = x3

(обратная

y = x

направлении,

) в направ-

лении,Дляуказаннобластиîì ñò

ëêàìè íà ðèñ. 14.

3

является

ункцией

àÿ

y [4 8]

,

переменная

x

D2

y

принимàет значения от

x = y

4)/ 2ункция(обратнаядля ункция для y = 2x + 4) äî x = √

−

y

3

3

Окончательнострелками на рисполучаем:.14.

) â

указанном

ZDZ

ZDZ

ZDZ

f(x, y)dxdy =

f(x, y)dxdy +

f(x, y)dxdy =

1

2

4

√y

8

√y

3

3

привестисделодномуЗ = Z0

f(x, y)dx + Z4 dy

dy Z0

Z

f(x, y)dx.

работечтоин вгралу,приåннрвегоîмгочтовычисленслучаенамивпоследствииувеличиваетпримераинтеграли, томожносвелсяможетвремя

àтьмечание:выводкповторномуменьшейиз рассмотр,

втором к двум, что само по себе

êîëè-

чество вычислений. Однако окончательный выв

òîì, ê

1)

3

5

2

x

√

3

x

3)

dy

(x + 2y)dx;

2)

dx

dy;

2

2

−3

y2−4

x +y

0

x

2

ln y

2π

2

R

R

R

R

5)

dy

exdx;

4)

cos2 xdx

ydy;

1

0

0

0

R5

x

3

2x

R

R

R

7)

1

dxx3 (x − y)dy;

6)

2

dx x (x + 2y)dy;

2

1

2

x2

R

R

(x2 + 2y)dx;

R

R

9)

dy

8)

dx

(2x − y)dy;

0

0

1

x

R1

R

2

R

π

Rπ/2

ЗадачаЗаписатьdy2 (двойнойy − x)dx;интеграл10)

dx

0

ex+sin y cos ydy.

−3

y−1

0

R

R

R

R

Dâ

RR

пределы интегри-

îáë ñòè

f(x, y)dxdy по заданной

àíèÿ

D

ðîâ1)

томввидеиномповторного,порядке:расставив

D треугольник, ограниченный прямыми: y = 0,

y =2)3x, y = −x + 5;

D треугольник, ограниченный прямыми: x = 0,

y =3)2x, y = x − 3;

D треугольник, ограниченный прямыми: y = 1 − x,

y =4)2, y = 2x + 1;

D треугольник, ограниченный прямыми: x = 3,

y =5)x, y = 3x;

D треугольник, ограниченный прямыми: y = −x + 1,

y = 0, y = x + 3;

26

6)

D область, ограниченнаякривыми: x = 1, y = x3

,

7)

√

;

y = −

x

x = 1, y = −x3

D

y =8)√

;

x

D область, ограниченная

кривыми: y = x + 1,

9)

2;

y = −x

D область, ограниченная кривыми: y = 32 − x2

,

y =10)−4x;

x2 +2)yRR= 2y (x > 0);

xydxdy, где область D ограничена кривыми x + y = 2,

D

2

x = 4RR y = 1 x

D (4 − y)dxdy, где область D ограничена кривыми

2 3) y,

,

= 0 (x > 0);

x = 0RR

ex+ydxdy, где область D ограничена кривыми y = ex,

D

y = 2;

27

Â

3.

Замена переминтеграленных двойном

задач вычисление

интегралов в

åê ðòî

вой систряде

координат

затруднитель

í

ûì, ÷òî ìожет быть связано,вляется

ой стороны, с достаточ-

ñë æí

областью интегрировадвойныхостаточноия, другой стороны,

ñ

подынтегральной ункции. Для упрощения

-

ленийвидом этих случаях прибегают

замене переменных.

(8)

ãäå

тегрируемаассмотримвзамкуíутойкциюобластиf(x, y), которая определенавычисин-

в области

D плоскости xOy. И пусть

Ω плоскости uOv задана система ункций

D(x, y)

∂x

∂x

∂u

∂v

ФункциональныйJ = J(u, v) =

D(u, v)

пределитель=

= 0,

(u, v)

Ω.

∂u

∂v

6

∂y

∂y

èí

егралемула.Координаты(9)элементормулаплощадизаменыявляютсяобластипеременныхдекартовыми. двойном

|ÔîJ|dudv

Ω

областиu v

коорди-

òàìè точки (u, v) â

интеграломкриволинейнымиΩ

координатахва Еслив(9), вназываетсяисходном.

-

(x, y) интеграледвойнымDпо, областиинтеграл, стоящèнейныхспра

ластьвменияу переменполуче ногоыхпов правойормуламчасти(8),(9)то областьюинтегралаD проинтегриростанетзвести обза-

Ω, которая при правильном выборе ункций x(u, v),

âычисленийсвоюассмотримчащеможеточередьинтеграловвсего.оказатьсячастныеиспользуютсяможет.привестислучаизначительноназаменыкпрактикеупрощениюпеременных,приисходной,дальнейшихвычислениикоточто-

yдвойныхрые(u, v)

Полярная система

.