Лин. програм. учеб. пособие (Азарнова Т. В

ж ден и я в в ект ор н ом

п р ос т р а н с т в е Rn т а когов ект ор а

x* , кот ор ы йобес п ечи -

в а ет оп т и м а льн ое

(м а кс и м а льн ое

и ли

м и н и м а льн ое)

зн а чен и е ли н ейн ой

n

фун кци и

( ) = å j x j c и Lп рxи

эт ом

п р и н а длеж и т

н екот ор ой

обла с т и

j=1

Ω Í Rn , за да н н ойли н ейн ы м и

огр а н и чен и ям и

n

£ (³ =)bi

åaij x j

i =1

m

,

,

,...,

j=1

j ³

(£

тxр ебов а ни я н а зна к)

нет= ,..., n. 1

j,

Ф ункцию L(x) на зы ва ю т

целевой ф ункцией ЗЛ П , ее оп т има льное зна -

чение обозна ча ю т

L* .

М нож ест во Ω Í Rn

на зы ва ю т

доп уст имы м мно-

ж ест вом,

его элемент ы

- доп уст имы мивект ор а ми, а вект ор

x * -

р ешени-

ем за да чи(оп т има льной т очкой).

П р еж де чем р а с с м а т р и в а т ь м ет оды

р еш ен и я общ ейза да чи ли н ейн ого

ai1x1 + ai2x2 £ (³, =)bi ,

i =1,..., m

x1 x2 ³

,(£,

0

зна к) . на

т р ебова ни

1. П ос т р оен и е доп ус т и м огом н ож ес т в а .

За м ет и м , чт о ка ж дое огр а н и чен и е за да чи оп р еделяет н екот ор ую п олуп лос -

кос т ь (в с луча е н ер а в ен с т в а ) и ли

п р ям ую (в

с луча е р а в ен с т в а ). Доп ус т и м ы м

м н ож ес т в ом яв ляет с я п ер ес ечен и е эт и х п олуп лос кос т ейи п р ям ы х. Та ки м

об-

р а зом , для п ос т р оен и я доп ус т и м огом н ож ес т в а н уж н о:

а ) для ка ж догоогр а н и чен и я н а р и с ов а т ьп р ям ую, с оот в ет с т в ующ ую р а -

в ен с т в у ai1x1 + ai2x2 = bi,

i = 1,..., m ;

б) ес ли огр а н и чен и е за да ет с я н ер а в ен с т в ом

в и да ai1x1 + ai2x2 £ bi

и ли

ai1x1 + ai2x2 ³ bi , т о оп р едели т ь п олуп лос кос т ь,

за да в а ем ую да н н ы м н ер а -

в ен с т в ом . Эт о легко с дела т ь, ес ли п одс т а в и т ь в н егокоор ди н а т ы т очки , н е

2. Реш ен и е за да чи

п ут ем а н а ли за доп ус т и м огом н ож ес т в а и п ов еден и я

целев ойфун кци и н а эт ом

м н ож ес т в е.

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

а )

П ус т ь доп ус т и м ое м н ож ес т в оока за лос ь

п ус т ы м . Дела ет с я в ы в од:

за да ча р еш ен и йн е и м еет , п ос кольку н ет н и одн ойдоп ус т и м ойт очки .

б) П ус т ь доп ус т и м ое м н ож ес т в о ока за лос ь н е п ус т ы м . Вы бр а т ь дв а

п р ои зв ольн ы х чи с ла

d1 и

d2 ,

d1 > d2 .

На р и с ов а т ь ли н и и ур ов н я целев ой

фун кци и ,

с оот в ет с т в ующ и е

в ы бр а н н ы м

кон с т а н т а м ,

т .е.

п р ям ы е в и да

c1x1 + c2x2 = d1

и

c1x1 + c2x2 = d2 (эт оп а р а ллельн ы е п р ям ы е,

в с е т очки кот о-

р ы х обес п ечи в а ют зн а чен и я целев ойфун кци и , р а в н ы е с оот в ет с т в ен н о d1

и

d2 ).

За фи кс и р ов а т ь н а п р а в лен и е ув ели чен и я зн а чен и йцелев ойфун кци и

от

п р ям ойс

п р а в ойча с т ью, р а в н ой d2,

кп р ям ойс п р а в ойча с т ью, р а в н ой d1.

П ер едв и га т ьп р ям ую

c1x1 + c2x2 = d

п а р а ллельн ос а м ойс ебе п одоп ус т и м о-

м ум н ож ес т в ув обозн а чен н ом

н а п р а в лен и и (в

п р от и в оп олож н ом

н а п р а в ле-

н и и )

до п олучен и я м а кс и м а льн ого зн а чен и я

d*

(м и н и м а льн ого зн а чен и я

d*),

п р и

кот ор ом

п р ям а я c x

1

+ c x

2

= d п ер ес ека ет доп ус т и м ое м н ож ес т в о.

1

2

За фи кс и р ов а т ь н а

гр а фи ке т очки доп ус т и м огом н ож ес т в а , обес п ечи в а ющ и е

м а кс и м а льн ое (м и н и м а льн ое) зн а чен и е целев ойфун кци и и ли

убеди т ьс я, чт о

т а ки х т очекн ет . Ес ли

доп ус т и м ое м н ож ес т в оогр а н и чен о(яв ляет с я м н ого-

угольн и ком ), т ов озм ож н ы

дв а р а зли чн ы х от в ет а : р еш ен и е еди н с т в ен н ои ли

р еш ен и йбес чи с лен н ое м н ож ес т в о.

П р и

еди н с т в ен н ом

р еш ен и и

н а гр а фи ке

за фи кс и р ов а н а

еди н с т в ен н а я т очка (в ер ш

и н а

м н огоугольн и ка), яв ляющ а яс я

п ер ес ечен и ем

н екот ор ы х п р ям ы х.

Необходи м о в ы п и с а т ь с оот в ет с т в ующ и е

ур а в н ен и я п р ям ы х и ,

р еш и в

с и с т ем у п олучен н ы х ур а в н ен и й, н а йт и т очку -

зокп р ям ой, в с е т очки кот ор огообес п ечи в а ют

м а кс и м а льн ое зн а чен и е целе-

в ойфун кци и . Ср еди эт и х т очекес т ьв ер ш

и н ы

м н огоугольн и ка. К оор ди н а т ы

в ер ш и н

от ы с ки в а ют с я т а к, ка кука за н ов

п р еды дущ ем

с луча е. Ес ли

доп ус -

т и м ое м н ож ес т в о н е огр а н и чен о,

т о в озм ож н ы т е ж е дв е с и т уа ци и , чт ои в

с луча е огр а н и чен н огом н ож ес т в а ,

и ,

кр ом е т ого, в озм ож ен с луча йот с ут с т -

в и я р еш ен и йи з-за н еогр а н и чен н ос т и

зн а чен и йцелев ойфун кци и н а доп ус т и -

м ом м н ож ес т в е.

И з а н а ли за гр а фи чес когом ет ода

р еш ен и я м ож н ос дела т ь в ы в оды , ко-

т ор ы е

яв ляют с я с п р а в едли в ы м и и

для за да ч и з Rn.

1.

Доп ус т и м ое м н ож ес т в о за да чи

ли н ейн ого п р огр а м м и р ов а н и я, ес ли

он о н е п ус т о, яв ляет с я м н огогр а н н ы м

огр а н и чен н ы м

и ли

н еогр а н и чен н ы м

в ы п уклы м м н ож ес т в ом .

2.

Ес ли в за да че ес т ь р еш

ен и е (оп т и м а льн а я т очка),

т ос р еди

в ер ш и н

доп ус т и м ого м н ож ес т в а

т а кж е

ес т ь р еш ен и е. Ч а с т ь оп т и м а льн ы х т очек

м ож н ои с ка т ь, п ер еби р а я т ольков ер ш и н ы доп ус т и м огом н ож ес т в а .

П р ои ллюс т р и р уем

р а с с м от р ен н ы йгр а фи чес ки йм ет од н а п р и м ер а х.

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

2x1 + 3x 2 ≤ 18

(1)

− x1 + 3x 2 ≤ 9

(2)

2x1 - x2 £10

(3)

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

1

2

d=28

X2

3

.X

*max

X1

d=0

Ри с .1

м ую

4x1 + 2x 2 = d п а р а ллельн о с а м ойс ебе в н а йден н ом

н а п р а в лен и и , п ока

он а

будет с охр а н ят ь общ и е т очки

с доп ус т и м ой обла с т ью, н а йдем , чт о в

кр а йн ем

в озм ож н ом

п олож ен и и ли н и я ур ов н я п р ойдет

чер ез т очку xmax* .

Эт ом у п олож ен и ю ли н и и ур ов н я и

с оот в ет с т в ует d = dmax . Для н а хож ден и я

коор ди н а т т очки xmax*

н еобходи м ор еш и т ьс и с т ем уур а в н ен и й:

ì2x1

+ 3x2 = 18

.

í

- x2 = 10

î2x1

В р езульт а т е п олучи м

и с ком ое оп т и м а льн ое р еш ен и е X max* = (6,2) с

зн а чен и ем

целев ойфун кци и

L*max = 28.

П р и м ер 2. Реш и т ьгр а фи чес ки с ледующ ую за да чу:

3x1 + 2x2 ³ 11

(1)

− 2x1 + x2 ≤ 2

(2)

x1 − 3x2 ≤ 0

(3)

1

Z*max= +

2

3

d=22

X2

.X*min

X1

Ри с . 2.

d=0

На в т ор ом

эт а п е р еш ен и я - п а р а ллельн ом

п ер ем ещ ен и и ли н и и ур ов н я в н а -

п р а в лен и и

в озр а с т а н и я целев ойфун кци и

ус т а н а в ли в а ем , чт о т а кое п ер ем е-

щ ен и е м ож н оп р ои зв оди т ь н еогр а н и чен н о.

Следов а т ельн о,

целев а я фун кци я

н еогр а н и чен н а

с в ер ху, т .е. Lmax = ¥ , а

с а м а

за да ча ли н ейн огоп р огр а м м и р о-

в а н и я н ер а зр еш

и м а . За м ет и м , чт оес ли

п р и

т ех ж е и с ходн ы х да н н ы х т р ебов а -

лос ь бы

целев ую фун кци ю м и н и м и зи р ов а т ь, т о п олучи ли

бы оп т и м а льн ое

р еш ен и е в т очке xmin*

= ( 31,) с L*min = 10.

П р и м ер

3. Реш и т ьза да чу

- x1 + x 2 ® max

- x1 + x 2 £ 3

(1)

x1 - 2x2 £ 3

(2)

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

Реш ен и е.

Доп ус т и м а я обла с т ьв

да н н ойза да че и м еет в и д

Z*max=3

X2

max

X2

.

X1max.

d=1

1

d=0

2

X1

целев ойфун кци и п а р а ллельн ы п р ям ой- x1 + x2

= 3, с оот в ет с т в ующ ей п ер -

в ом у огр а н и чен и ю. П ер ем ещ а я ли н и и ур ов н я

в

н а п р а в лен и и в озр а с т а н и я

целев ой фун кци и , п олуча ем ,

чт о ли н и я ур ов н я с

м а кс и м а льн о в озм ож н ы м

зн а чен и ем целев ойфун кци и

с ов п а да ет с п р ям ой - x1 + x2 = 3. Та ки м обр а -

в с ех т очка х луча , в ы ходящ егои з т очки

x1max = ( 03,). За да ча

и м еет

бес чи с -

лен н ое м н ож ес т в ор еш ен и й.

Для т огочт обы

в ы п и с а т ьр еш ен и е в общ ем

в и -

де, в озьм ем

н а

луче ещ е одн ут очку xmax2

= (

14,). У р а в н ен и е луча за п и с ы в а ет -

с я с ледующ и м

обр а зом :

(

)

1 x 1 x2λ λ x[ ,λ∞0 ). ,

*

+

= −

max

max

max

Та ки м

обр а зом ,

любое р еш ен и е

да н н ой за да чи за п и с ы в а ет с я

в

в и де

xmax*

(

λ) λ

λ[ ,∞0). =,

,3+

П р и м ер 4. Реш и т ьгр а фи чес ки за да чу

3x1 + 3x2 ® min

x1 + x2 ³ 2

(1)

- 2x1 + x2 ³ 2

(2)

x1 - x2 ³ 0

(3)

Реш ен и е.

Доп ус т и м ое м н ож ес т в ода н н ойза да чи п ус т о. Эт ов и дн ои з

с ледующ егор и с ун ка

2

1

X2

X2

3

X1

£ x1 £ x2

³0

, 3

Реш ен и е. Доп ус т и м ы м м н ож ес т в ом

в да н н ойза да че яв ляет с я в ы п ук-

X1max

.

X2

.X2max

d=4

X1

d=0

Ри с .5

Л и н и и ур ов н я целев ой фун кци и п а р а ллельн ы

п р ям ой, с оот в ет с т в ую-

щ ей огр а н и чен и ю

(2). П р ов одя р а с с уж ден и я, а н а логи чн ы е р а с с уж ден и ям в

п р и м ер е 3, п олучи м , чт о целев а я фун кци я дос т и га ет

с в оегом а кс и м а льн ого

зн а чен и я L*max = 7

в ов с ех т очка х от р езка , с оеди н яющ егот очки x1max = ( 13,) и

xmax2

= (

32,). За да ча и м еет

бес чи с лен н ое м н ож ес т в о р еш ен и й,

кот ор ое за п и -

с ы в а ет с я с ледующ и м

обр а зом

*

(

)

1 x

x2

1 λλx [

1,]0.λ

+,

= −

max

max

max

Та ки м

обр а зом ,

любое

р еш ен и е

да н н ой

за да чи

и м еет

в и д

xmax*

(

)

λ [ λ1,]0.

−

=,

+ 13,

2

Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия

1.Реш и т ьгр а фи чес ки :

1) x1 - 2x2 ® max

2) x1 + 3x2 ® max

x1 + x2 ³ 2

x1 - x2 ³ 0

x1 - x2 £1

2x1 + x2 £ 2

x1 - 2x2 £ 0

x1 - x2 £ 1

x1 ³ 0, x 2 ³ 0.

x1 ³ 0, x2 ³ 0

3) 5x1 + 3x2 ® max

4) 2x1 + 3x2 ® max

3x1 + 5x2 £15

3x1 + 2x2 £ 6

5x1 + x2 £10

x1 + x2 ³ 6

x1 ³ 0, x2 ³ 0

x1 ³ 0, x2 ³ 0

5) 2x1 + 3x2 ® min

6) x1 + x2 ® max

3x1 + 2x2 ³ 6

x1 + 2x2 £10

x1 + 4x2 ³ 4

x1 + 2x2 ³ 2

2x1 + x2 £10

x1 ³ 0, x2 £ 0

x1 ³ 0.

2. О п р едели т ь п р ом еж ут ки зн а чен и й λ , п р и кот ор ы х р еш

ен и е будет

с ов п а -

м еж ут ка х за да ча н е и м еет

р еш ен и й? П р и ка ки х зн а чен и ях λ будет бес чи с -

лен н ое м н ож ес т в ор еш ен и й?

1) 2x1 + λx2 ® max

2) - x1 + λx2 ® max

- x1 + x2 £ 3

- x1 + x2 £ 2

x1 + 2x 2 £ 12

x1 - 2x2 £ 3

3x1 - x 2 £ 15

x1 ³ 0, x2 £ 0

x1 ³ 0, x2 £ 0

3) 2x1 + x2 ® max

3) x1 + 2x2 ® max

x1 - 2x2 £ 4

2x1 + x 2 ³ 9

x1 - x2 £ 6

x1 - 3x 2 £ 1

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

λx1 + x2 £ 3

λx1 - x 2 £ -2

x1 ³ 0, x2 £ 0

x1 ³ 0, x2 £ 0 .

3. П р и в ес т и п р и м ер

гр а фи чес койи н т ер п р ет а ци и и с ос т а в и т ь н а ос н ов а н и и

п олучен н ого чер т еж а

м а т ем а т и чес кую за п и с ь за да чи , обла да ющ ейс ледую-

щ и м и с в ойс т в а м и :

1)

и м еет с я еди н с т в ен н ое оп т и м а льн ое р еш ен и е для за да чи

н а м и н и м ум

и для за да чи н а м а кс и м ум ;

2)

м а кс и м а льн ое зн а чен и е целев а я фун кци я дос т и га ет в бес чи с лен н ом

м н ож ес т в е т очек, а м и н и м а льн ое зн а чен и е в еди н с т в ен н ойт очке;

3)

н а м и н и м ум

за да ча н ер а зр еш

и м а и з-за н еогр а н и чен н ос т и целев ой

фун кци и , а

м а кс и м а льн ое зн а чен и е дос т и га ет с я в

еди н с т в ен н ойт оч-

ке;

4)

н а м а кс и м

ум

и н а м и н и м ум

за да ча н ер а зр еш и м а

и з-за

н еогр а н и -

чен н ос т и целев ойфун кци и ;

5)

м и н и м а льн ое зн а чен и е целев ой фун кци и дос т и га ет с я в

бес чи с лен -

н ом м н ож ес т в е т очек, и з кот ор ы х т олькоодн а яв ляет с я в ер ш и н ой.

§2. Разн ы е фо рм ы зап иси задачи лин ейн о го п ро грам м иро в ан ия

В §1 п р и в еден а общ а я п ос т а н ов ка за да чи

ли н ейн огоп р огр а м м и р ов а н и я

(ЗЛ П ). Ч а с т одля удобс т в а и с с ледов а н и я и п р и

п ос т р оен и и м ет ода р еш

ен и я

фи кс и р ует с я т а и ли и н а я за п и с ьза да чи . Та к, ча с т ои с п ользует с я за да ча в

с ле-

n

åc j x j

® max

j=1

n

å

j

£ij i

= ,..., m 1

i

b a x

j=1

j ³

= ,...x, n .1

j0,

Та ка я фор м а

за п и с и ЗЛ П н а зы в а ет с я с т а н да р т н ойи ли с и м м ет р и чн ойфор м ой

за да чи ли н ейн ого п р огр а м м и р ов а н и я. К р ом е т ого,

в ы деляют

ка н он и чес кую

фор м уза п и с и

ЗЛ П :

n

åc j x j

® max

j=1

n

å

j

ij i

i

= = ,..., m³,1

i, 0

b b a x

j=1

j ³

= ,...x, n .1

j0,

Вн е за в и с и м ос т и от т ого,

ка кза п и с а н а

и с ходн а я за да ча , он а

м ож ет

бы т ьп ер еп и с а н а в любойж ела т ельн ойфор м е.

П р и

эт ом

с ущ ес т в уют

п р а в и -

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

п он ят и е экв и в а лен т н ы х за да ч оп т и м и за ци и . Сущ ес т в ует с т а н да р т н ое оп р еде-

лен и е: две оп т имиза ционны е за да чина зы ва ю т

ся эквива лент ны ми,

еслиони

имею т

одно ит о ж е множ ест в о оп т има льны хт очек. О дн а кот а кка кп р и

п ер еходе от одн огов и да за да чи

кдр угом ув озм ож н ои зм ен ен и е р а зм ер н ос т и

за да чи (ув ели чен и е чи с ла

п ер ем ен н ы х, ув ели чен и е чи с ла

огр а н и чен и й),

т о

с ледует

в ка ж дом

кон кр ет н ом с луча е а ккур а т н офор м ули р ов а т ь, ка кп он и м а -

ет с я экв и в а лен т н ос т ьда н н ы х за да ч.

Сфор м ули р уем п р а в и ла , п озв оляющ и е

ос ущ ес т в и т ьэкв и в а лен т н ы е п ер еза п и с и за да ч.

1.

О бес п ечи т ь н уж н ое н а п р а в лен и е оп т и м и за ци и

целев ой фун кци и

в озм ож н ос п ом ощ ью ум н ож ен и я и с ходн ойцелев ойфун кци и н а -1.

2. Л юбое н ер а в ен с т в ом ож н оум н ож и т ьн а

-1 и п ер ейт и

кн ер а в ен с т в у

др угогозн а ка .

n

3. О гр а н и чен и е-р а в ен с т в о å

j =ijbi aм ожx н оза п и с а т ьв

в и де с и с т ем ы

дв ух н ер а в ен с т в

j=1

n

å

j

£ijbi a

x

j=1

n

å

j

³ijbi .a

x

j=1

4.

О т

огр а н и чен и йн ер а в ен с т в м ож н оп ер ейт и кр а в ен с т в а м , доба в ляя

и ли

от н и м а я н еот р и ца т ельн ы е н ов ы е п ер ем ен н ы е, кот ор ы е в да льн ейш ем

бу-

дут

н а зы в а т ьс я доп олнит ельны ми п ер ем ен н ы м и .

Та к,

н ер а в ен с т в о

n

n

å

j

£ijbi aэквx и в а лен т н о с и с т ем е

å

j

ij

,

uii ³ 0b.i +А uн аaлоги= x чн о

j=1

j=1

n

n

н ер а в ен с т в о å

j

³ijbi aэквxи в а лен т н ос и с т ем е

å

j

ij

,

uii ³ 0b.i

- u a= x

j=1

j=1

5. О бес п ечи т ьус лов и е н еот р и ца т ельн ос т и

п ер ем ен н ойм ож н о, и с п оль-

зуя очев и дн ы йфа кт : любое чи с лом ож ет бы т ьп р едс т а в лен ов

в и де р а зн ос т и

дв ух н еот р и ца т ельн ы х чи с ел:

= ′ -

′′

′ ³

x′′ ³ 0,. Есx ли, 0вxxза даx че п р и -

с ут с т в ов а лот р ебов а н и е x

£ 0, ос ущ ес т в ляет с я за м ен а

′

′

³x0.

j

= - x , x

j

j

j

В

ка чес т в е

п р и м ер а

с фор м ули р уем

фа кт

экв и в а лен т н ос т и

дв ух с ле-

дующ и х за да ч ли н ейн огоп р огр а м м и р ов а н и я:

n

n

åc j x j

® min

- åc j x j

® max

j=1

j=1

n

n

å

j

£ij i

, =

, 1m

(1)i

b a

x

å

j ij i

i

,

=

,+1m

(2)=i

b

u a x

j=1

j=1

j ³

x=

j0,

=

³ ,i0³

=,ux , n1 0,

, n1

j

i

, m1

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

У т в ер ж ден и е Ес ли

x * яв ляет с я р еш

ен и ем

за да чи

(1), т он а йдет с я т а -

кое u* ³ 0, чт о(x* ,u* ) яв ляет с я р еш ен и ем

за да чи (2). С др угойс т ор он ы , ес ли

(x€,u€) яв ляет с я р еш ен и ем

за да чи (2), т о x€ яв ляет с я р еш

ен и ем за да чи (1).

В с в язи с т ем , чт оос н ов н ойм ет од р еш ен и я ЗЛ П

- с и м п лекс н ы йм ет од

п р едн а зн а чен для р еш ен и я за да ч в

ка н он и чес койфор м е, м ы п р ои ллюс т р и р у-

ем р а бот уоп и с а н н ы х в ы ш

е п р а в и л н а

п р и м ер е п р и в еден и я за да чи кка н он и -

чес койфор м е.

П р и м ер 1. П ус т ьи с ходн а я за да ча

за да н а в в и де

+

-xx

®xmin

3

2

п р и огр а н и чен и ях

1 3

2

- + 2x3x1³ 4x2

3

Реш ен и е.

1. У м н ож и м целев ую фун кци ю н а -1. В р езульт а т е п олучи м

-

-

+xx

®xmax .

3

2

1 3

2

2. И

з лев ойча с т и п ер в огон ер а в ен с т в а в ы чт ем

н еот р и ца т ельн ую п ер ем ен н ую

u1 и п ер ейдем

когр а н и чен и ям

u1 ³ 0 . u1 , 24x3x1

x2

3

- +

- =

3. К

лев ойча с т и в т ор огон ер а в ен с т в а

доба в и м

н еот р и ца т ельн ую п ер ем ен н ую

u2 и

п ер ейдем

когр а н и чен и ям

u2 ³ 03. u2 2, x 1

x 2

- + - + =

4. У м н ож и м обе ча с т и

т р ет ьегор а в ен с т в а

н а

-1

x2 + x3 = 20.

5. О с ущ ес т в и м

за м ен уп ер ем ен н ы х

1

'

''

'

x''

³ x. 0,xx

³ x, 0= -

1

1

1

1

= -

¢ ,

xx'

³ 0x

3

3 3

В р езульт а т е за да ча п р и н и м а ет ка н он и чес ки йв и д

'

''

x

'

-

+

23

3

1

1

2

3 ®xmax- x

'

''

'

u1 = x4

- xx -- 3x - 2

2

1

1

2

3

'

''

'

u2 =x2 +x +x +- +

1

1

2

3

x2 - x3' = 20

'

''

'

u1

u2 ³ 0.

³, 0 x ³, 0 x ³, 0 x ³, 0

1

1

2

3