Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лин. програм. учеб. пособие (Азарнова Т. В

.).pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
21.05.2015
Размер:
538.99 Кб
Скачать

 

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

 

В за ключен и е от м ет и м , чт о за м ен а п ер ем ен н ы х п ор ож да ет

н ееди н с т -

в ен н ос т ь р еш ен и я п олучен н ой ка н он и чес кой за да чи да ж е, ес ли

и с ходн а я

и м ела

еди н с т в ен н ое р еш ен и е. Эт от фа кт долж ен бы т ьв ы делен п р и

фи кс и р о-

в а н и и

от в ет а . Си м п лекс н ы йм ет од п озв оляет эт ос дела т ь, чт обудет от м ечен о

в да льн ейш ем п р и оп и с а н и и с оот в ет с т в ующ егоа лгор и т м а .

 

Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия

1. П р и в ес т и кка н он и чес койфор м е с ледующ и е за да чи ли н ейн огоп р огр а м м и - р ов а н и я:

а ) x1 - x 2 + 3x3 ® min

б) 2x1 + x 2 - x 3 ® max

2x1 - x 2 + 3x 3 £ 5

x1 - 2x 2 + x 3 ³ 4

x1

+ 2x 3 = 8

x1 + x 2 - 3x 3 £ 9

- x1 - 2x 2

³1

x1 ³ 0, x 2 ³ 0, x3 ³ 0;

в) 2x1 - x 2 + 3x 3 + x 4 - 2x 5

x1 + 2x 2 - x 3 - 2x 4 + x 5

-2x2 + 4x3 + x4

x1 + 3x2 + 2x3 =10 x1 ³ 0, x 3 ³ 0 ;

® min

=-5

£4

 

x 2 ³ 0, x 3 ³ 0, x 5 ³ 0 ;

 

 

г)

x1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + x 5 ® max

 

-

+ +

-

+ x5 ³ x64

x33x1 2x2

4

 

-

+

+ 4 + x5 = x2 x13 2x2

3

x1 ³ 0, x3 ³ 0, x 4 ³ 0, x 5 £ 0;

2. П р и в ес т и кс и м м ет р и чн ойфор м е с ледующ и е за да чи ли н ейн огоп р огр а м -

ми р ов а н и я:

а) 2x1 - x 2 + 3x 3 + x 4 - 2x 5 ® min

2x1 - x 2 - 3x 3 + x 4 - x 5 = 4

x1 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 4 + x 5 =15

2x1 - 2x2 - x3 - 6x4 + 2x5 = 8

x1 ³ 0, x 2 ³ 0, x 3 ³ 0, x 4 ³ 0, x 5 ³ 0; б) x1 - 2x 2 + 2x 3 + x 4 + 2x 5 ® max

x1 - x 2 + 2x 3 - 3x 4 + x 5 = -2

- x1 + 2x2 - x 3 + 2x4 + 7x5 = 3

2x1 + 3x 2 - 4x 3 + x 4 - x 5 £ 6

x1 ³ 0, x 2 ³ 0, x 3 ³ 0, x 4 ³ 0, x 5 ³ 0

13

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3.

 

А лго рит м

 

п еребо ра базисн ы хреш ен ий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сист ем

лин ейн ы хурав н ен ий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В § 2 бы ла в в еден а

ка н он и чес ка я фор м а

ЗЛ П , кот ор а я в

м а т р и чн ом

в и -

 

 

де м ож ет бы т ьп ер еп и с а н а с ледующ и м

обр а зом :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= T x ®c maxz x

(

)

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax = b , (b ³ 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ³ 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

где

T

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

,=j , m1

, i)=

1

 

n

1

 

 

n

1

 

 

 

m

ij

 

 

 

 

 

, 1n

О чев и дн о, чт ор еш ен и я за да чи

 

Л П

(1) - (3) н а ходят с я с р еди

 

р еш ен и йс и с т е-

 

 

м ы

ли н ейн ы х ур а в н ен и йAx = b. Ра с с м от р и м

с п ос обп ер ебор а

р еш ен и йда н -

 

 

н ойс и с т ем ы для с луча я, когда р а н г м а т р и цы r(A) = m. И

з кур с а

 

ли н ейн ойа л-

 

 

гебр ы и зв ес т н о, чт о с и с т ем а

(2) с п ом ощ ью п р еобр а зов а н и йЖ ор да н а - Г а ус -

 

 

с а м ож ет бы т ьп р и в еден а кв и ду

+ ~~ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

x A Ex

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где E - еди н и чн а я м

а т р и ца р а зм

 

ер а

 

 

 

 

 

 

 

~

еет р а зм ер ы

m×(n-m)

 

 

 

m× m , м а т р и ца A и м

 

 

и элем ен т ы

~

 

 

 

 

 

 

 

 

р езульт а т е п р еобр а зов а н и йЖ ор да н а -Г а ус с а ,

 

 

aij , п олучен н ы е в

 

 

 

 

 

- в ект ор р а зм ер а

m, п олучен н ы йи з в ект ор а

b в с ледс т в и е п р еобр а зов а н и й.

 

b

 

Си с т ем а

ур а в н ен и й(4) м ож ет

бы т ь п ер еп и с а н а в коор ди н а т н ойфор м е с ле-

 

 

дующ и м

обр а зом :

 

 

- å ~ij

~j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

È n},

,...J ,

 

I1{I ,i

x,(5)a

x

b

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

i

 

 

i

Î =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где I - м н ож ес т в ои н декс ов за в и с и м ы х п ер ем ен н ы х , J - м н ож ес т в ои н декс ов

 

 

с в ободн ы х п ер ем ен н ы х,

 

æ x

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = ç

 

÷ Î Rn . Ф ор м ула (5) п р едс т а в ляет с обойфор -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç ~

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è x

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м улу общ его р еш ен и я с и с т ем ы

(2). На п ом н и м , чт олюбое ча с т н ое р еш ен и е

 

с и с т ем ы м ож ет бы т ьп олучен ои з фор м улы общ егор еш ен и я п ут ем фи кс и р о-

 

 

в а н и я любы х зн а чен и йс в ободн ы х п ер ем ен н ы х с п ос ледующ и м

 

в ы чи с лен и ем

 

 

п о фор м уле (5) зн а чен и йза в и с и м ы х п ер ем ен н ы х. В да льн ейш ем н а с будут

 

 

и н т ер ес ов а т ь ча с т н ы е р еш ен и я в и да

 

 

 

 

 

 

j

i

Î J ), j=т .=е. ,в0ектxÎо(-I ,xi

b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

р ы ,

с в ободн ы е п ер ем ен н ы е кот ор ы х п олож ен ы р а в н ы м и 0.

 

Та ки е в ект ор ы

 

 

н а зы в а ют с я ба зи с н ы м и

р еш

ен и ям и

с и с т ем ы

ли н ейн ы х ур а в н ен и й(2). М а к-

 

с и м а льн ое коли чес т в оба зи с н ы х р еш ен и йн е п р ев ос ходи т в ели чи н ы

Cnm . П е-

 

 

р ебр а т ьв с е ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы ли н ейн ы х ур а в н ен и йм ож н о,

ор га н и -

 

 

зов а в п ер ебор фор м ул общ егор еш ен и я. О чев и дн о, чт оэт о м ож н оос ущ ес т -

 

 

в и т ь с и с п ользов а н и ем

м ет ода

Ж ор да н а -Г а ус с а , н а п р и м ер ,

п о с ледующ ей

 

с хем е.

 

 

 

 

 

 

 

Алго рит м

п еребо ра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. П олучи т ьм ет одом Ж ор да н а -Г а ус с а

п р ои зв ольн ую фор м улуобщ егор еш е-

 

 

н и я в и да (5). П олож и т ьN=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

2.

За п ом н и т ьм н ож ес т в о I N . П олож и т ь

= N ,

= J N . JI I

3.

Вы бр а т ьн ом ер k и з м н ож ес т в а J. За м ен и т ьJ н а

J\{k}.

4.

Вы бр а т ь l I т а кой, чт о alk ¹ 0 . Ес ли т а ки х н ом ер ов l в I н ет , т оп ер ейт и к

п .7.

 

 

 

5. Ес ли м н ож ес т в о N

È Ik} уж{ lе}\р{а с с м от р ен о, т оза м ен и т ь I н а I \ {l

п ер ейт и кп .6, и н а че п ер ейт и кп .8.

 

 

6.

Ес ли I= Ø т оп олож и т ь I N и п ер ейт и кп .7, и н а че п ер ейт и кп .4.

7.

Ес ли J=Ø , т о о ст ан о в

- п олучен ы

в с е в озм ож н ы е фор м улы общ егор е-

ш ен и я, и н а че п ер ейт и кп .3.

 

 

 

8. О с ущ ес т в и т ь п р еобр а зов а н и я Ж ор да н а -Г а ус с а с н а п р а в ляющ и м

элем ен -

т ом

alk доп олучен и я в

k-м

с т олбце еди н и чн огов ект ор а . За м ен и т ьN н а

N+1.

П олож и т ь

N =

N

È k}.{П lерI }\ейт{ Iи кп .2 .

 

 

 

 

П р и м ер 1. На йт и ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы ур а в н ен и й.

 

 

ìx

= 2 - 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îx3 = 4 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реш ен и е. Здес ь I={1,3},J={2}. О фор м и т ь п р оцедур у р еш ен и я удобн ов

в и де

с ледующ ей т а бли цы ,

где

чер ез Aj

обозн а чен ы

в ект ор ы -с т олбцы

м а т р и цы

(с т олбцы коэффи ци ен т ов п р и п ер ем ен н ойxj).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

B

 

A1

 

A2

 

A3

alk

 

коммент .

 

 

1

 

2

 

1

 

 

2

 

0

k=2

 

J1={2}

 

 

 

3

 

4

 

0

 

 

-1

 

1

a12 =2

 

 

 

 

 

2

 

1

 

1/2

 

1

 

0

k=1

 

J2 ={1}

 

 

 

3

 

5

 

1/2

 

0

 

1

a21 -нет *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a31 =1/2

 

 

 

 

 

2

 

-4

 

0

 

 

1

 

-1

a23 -нет *

 

О СТА НО В

 

 

 

1

 

10

 

1

 

 

0

 

2

a13 -нет *

 

 

 

 

 

* (в ы бор эт огоэлем ен т а п ор ож да ет "с т а р ое" м н ож ес т в оI)

На да н н ы х т р ех и т ер а ци ях п олучен ы ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы с оот в ет с т -

в ен н оx1=(2,0,4), x2=(0,1,5), x3=(10,-4,0).

К а кв и дн ои з р а с с м от р ен н огоп р и м ер а , н е в с е п олучен н ы е в р езульт а т е п ер е- бор а ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы ли н ейн ы х ур а в н ен и йяв ляют с я доп ус т и м ы - м и т очка м и в с оот в ет с т в ующ ейза да че ли н ейн огоп р огр а м м и р ов а н и я (1) - (3), т а кка кн е удов лет в ор яют ус лов и ю н еот р и ца т ельн ос т и (3). П р оцедур уп ер е-

бор а м ож н ом оди фи ци р ов а т ьт а ки м

обр а зом , чт обы п ер еби р а т ьт олько н еот -

р и ца т ельн ы е ба зи с н ы е р еш ен и я. И

зм ен ен и я н еобходи м о в н ес т и

в 1, 3 и 4

п ун кт ы с фор м ули р ов а н н ого а лгор и т м а , кот ор ы е п р и обр ет а ют

с ледующ и й

в и д.

 

 

15

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

1а . П олучи т ь п р ои зв ольн ое н еот р и ца т ельн ое ба зи с н ое р еш ен и е. П олож и т ь

N=1.

3а . Вы бр а т ь k J т а кое, чт о aik > 0 . За м ен и т ьJ н а J\{k}.

4а . Вы бр а т ь l I

т а кое, чт о

bl

= min

bi

. Ес ли т а ки х н ом ер ов

l в I н ет , т о

 

alk

 

 

 

п ер ейт и кп .7.

 

 

 

 

 

 

 

 

i:aik >0

aik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м ер

2. На йт и

н еот р и ца т ельн ы е ба зи с н ы е р еш

ен и я

с и с т ем ы ур а в н ен и й.

 

 

ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

=xx2 +-x

2

+ 4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x4 = 5x31 + x32 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реш ен и е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ос ле экв и в а лен т н ы х п р еобр а зов а н и йда н н а я с и с т ем а

м ож ет

бы т ьп ер еп и с а -

 

н а с ледующ и м обр а зом :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

11

7

 

x3 -=4x2

 

- x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

x 4

 

 

+ x=2

+x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П олож и м

N=1. Тогда I 1={3,4},J 1={1,2}..

 

 

 

 

 

 

 

 

К а ки

 

в

п р и м ер е 1, офор м и м

 

 

р еш

ен и е в

в и де в т а бли цы . Доба в и м

с т олбец Θ ,

 

в кот ор ы йбудем

п ом ещ а т ьот н ош ен и е

bi /aik для aik >0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

b

 

 

 

 

A1

 

 

A2

 

 

A3

 

 

A4

 

 

 

Θ

alk

 

коммент .

 

 

3

 

11/4

 

 

7/2

 

4

 

 

 

 

1

 

 

0

 

11/16

k=2,l=3

 

J1={1,2}

 

 

 

4

 

3/4

 

 

 

-1/2

 

-1

 

 

 

 

0

 

 

1

 

-

a32 =4

 

 

 

 

 

 

2

 

11/16

 

 

7/8

 

1

 

 

1/4

 

 

0

 

11/14

k=1,l=2

 

J2 ={1,3}

 

 

 

4

 

23/16

 

 

3/8

 

0

 

 

1/4

 

 

1

 

23/6

a21 =7/8

 

 

 

 

 

 

1

 

11/14

 

 

1

 

 

8/7

 

 

2/7

 

 

0

 

 

 

 

 

k=2

 

О СТА НО В

 

 

 

4

 

8/7

 

 

 

0

 

 

-3/7

 

 

1/7

 

 

1

 

 

 

 

 

a12 -нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13 -нет

 

 

 

 

 

 

На да н н ы х

и т ер а ци ях п олучен ы

ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы

с оот в ет с т в ен н о

 

1

 

 

 

 

 

11

 

 

3

,

2

 

11

 

3

 

 

3 =

11

 

8

).

= ,0,0,

 

(

),x

,0,

(0,

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

7

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия

 

 

 

 

 

1. На йт и

в с е ба зи с н ы е р еш ен и я с ледующ и х с и с т ем ур а в н ен и й:

 

 

 

 

 

 

а ) x1 − 2x 2 + 4x3 x4 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 ;

б) x1 + x2 + x 3 + x4 = 3 2x1 x 2 + x 3 − 2x 4 = 2 ;

16

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

2. На йт и в с е н еот р и ца т ельн ы е ба зи с н ы е р еш ен и я с ледующ ейс и с т ем ы ур а в - н ен и й:

ax1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x1 + bx 2 + cx 3 + x 4 = 1

 

а

в

с

 

а

в

с

 

а

в

с

 

а

в

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

6

-2

6

2

4

-4

11

3

2

0

16

6

5

-3

2

2

3

0

7

3

5

-2

12

4

5

-3

17

2

6

-1

3

5

4

-1

8

3

4

-1

13

5

2

-1

18

4

2

-4

4

6

2

-3

9

2

5

0

14

4

3

-4

19

5

6

0

5

5

3

-4

10

6

3

-3

15

6

4

-2

20

4

6

-2

 

 

§4. Алго рит м

сим п лек сн о го м ет о да

 

Доп уст има я т очка ЗЛ П

=

1 2

xn ) xнаx зы,...xва, ет( ся, ба зисной, если

вект

ор ы -ст олбцы ма т р ицы A: Ai1

Ai

, k n , соот,...,

 

вет ст вую щ ие ее нену-

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

левы м коор дина т а м, являю т ся линейно неза висимы ми.

 

П ока ж ем ,

ка кп р ов ер яет с я,

яв ляет с я ли

за да н н а я т очка ба зи с н ой, н а

п р и м

ер е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м ер 1.

П ус т ьус лов и я (2) н екот ор ойза да чи

 

ли н ейн огоп р огр а м м и -

р ов а н и я и м еют в и д

 

 

x4 = 3x23x1+- x2 + 2

 

 

ì

 

 

 

 

í

 

 

x2x

 

-= 3x

 

+

 

 

î

 

 

4

3

 

 

 

 

1

 

 

П р ов ер и т ь, яв ляет с я ли т очка x=(1,0 ,0,1)Т

ба зи с н ой.

 

 

Реш ен и е. Та кка ккоор ди н а т ы т очки н еот р и ца т ельн ы и удов лет в ор яют за да н -

н ойс и с т ем е ур а в н ен и й, т оон а

п ооп р еделен и ю яв ляет с я доп ус т и м ой. Вв е-

дем в

р а с с м от р ен и е в ект ор ы

 

 

 

 

, A

4

,-Aс т олбцыA

м а т р и цы огр а н и чен и й:

 

2ö

æ− 1ö

 

 

2 ö

 

æ1

 

 

 

 

31

 

2

 

æ

 

æ

 

ö

 

 

 

 

с и с т емA а ур а в н ен и йп ос ле п од-

= ç

÷,

= ç

÷,

3

= ç

÷, A

= ç

÷ . ТогдаAA

ç ÷

ç

÷

ç

÷

4

ç ÷

 

 

 

1

 

 

2

 

è1 ø

è 0

ø

 

è

-1ø

 

è2

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

с т а н ов ки в н ее коор ди н а т

п р ов ер яем ойт очки п р и м ет

в и д:

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

4

 

 

= b

1

1

x A A x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

В с оот в ет с т в и и

с

оп р еделен и ем

 

 

ба зи с н ойт очки , в ект ор ы A1 и A4 с ле-

дует п р ов ер и т ь н а

ли н ейн ую н еза в и с и м ос т ь. И

з кур с а ли н ейн ойа лгебр ы и з-

в ес т н о, чт о

в ект ор ы

яв ляют с я ли н ейн он еза в и с и м ы м и , ес ли р а н г м а т р и цы ,

с ос т а в лен н ойи з эт и х в ект ор ов , р а в ен и х коли чес т в у.

 

 

Та кка к оп р едели т ельм а т р и цы

 

 

2

1

 

¹ 0, т оее р а н г р а в ен 2, и в ект ор ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

ли н ейн он еза в и с и м ы . Следов а т ельн о, т очка (1,0,0,1)Т яв ляет с я ба зи с н ой.

17

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

 

 

 

 

 

И з оп р еделен и я с ледует , чт очи с лоп олож и т ельн ы х коор ди н а т ба зи с н ой

т очки н е м ож ет бы т ьболее чем

m. Еслиба зисна я т очка содер ж ит р овно m

п олож ит

ельны хкоор дина т

, т

о она на зы ва ет

ся невы р ож денной, в п р от ив-

ном случа е - вы р ож денной.

За да ча на зы ва ет ся невы р ож денной, еслидоп ус-

т имое множ ест во не имеет

вы р ож денны хба зисны хт очек.

 

 

К а кс ледует

и з с оот в ет с т в ующ и х оп р еделен и й, ба зи с н ы е т очки доп ус -

т и м ого м н ож ес т в а

ЗЛ

П

(1) - (3) с ов п а да ют с

н еот р и ца т ельн ы м и ба зи с н ы м и

р еш

ен и ям и с и с т ем ы

ли н ейн ы х ур а в н ен и й(2). Та ки м обр а зом , а лгор и т м п е-

р ебор а

н еот р и ца т ельн ы х ба зи с н ы х р еш ен и йс и с т ем ы с ов п а да ет с а лгор и т -

м ом

п ер ебор а

ба зи с н ы х т очекс оот в ет с т в ующ его доп ус т и м ого м н ож ес т в а .

Следует от м ет и т ь, чт ов

н а ча ле п ер ебор а долж н а бы т ьи зв ес т н а и с ходн а я ба -

зи с н а я т очка . И

т а к, п ус т ьи м еет с я ба зи с н а я

т очка доп ус т и м огом н ож ес т в а

ЗЛ П

T

 

 

 

 

 

 

Î J). j==Коор,дина0xÎ xIт ыi;

(xi ,, Ix, будемi

в да льнейшем

 

 

 

 

 

 

B

 

 

i

 

j

на зы ва т ь ба зисны ми,

j = 0,x J - jнеба зисны ми. Соот вет ст венно множ е-

ст в о I - множ ест вом ба зисны хиндексов, J - множ ест

вом неба зисны хиндек-

сов. В с луча е н ев ы р ож ден н ойза да чи п ока ж дойба зи с н ойт очке в ос с т а н а в ли -

в а ет с я с оот в ет с т в ующ и йба зи с , с ос т оящ и йи з в ект ор ов

i , AI . Оi бозн а чи м

егочер ез B. За м ет и м да лее, чт ока ж да я и т ер а ци я м ет ода

Ж ор да н а -Г а ус с а с о-

от в ет с т в ует п ер еходу от одн ойба зи с н ойт очки кдр угойп р и за м ен е одн ой

ба зи с н ой (за в и с и м ой) п ер ем ен н ой н а одн у н еба зи с н ую (с в ободн ую). П р и

эт ом в ы бор уп одлеж и т н ом ер н еба зи с н ойп ер ем ен н ойk и ж ес т кооп р еделяет -

с я н ом ер ба зи с н ойп ер ем ен н ойl (с м от р и п ун кт ы 3а и 4а

а лгор и т м а ).

К оор ди н а т ы н ов ойба зи с н ойт очки в ы чи с ляют с я с ледующ и м обр а зом :

 

xH

x

i

xl

 

 

 

 

 

 

 

x aI

 

ixl

ikj

 

 

 

 

¹ k)x. j ÎJ

,j=

 

 

, 0 (8)= ; ( Î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

alk

 

 

 

 

 

k

 

 

alk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Та ки м

обр а зом , р а н ее п олучен а лгор и т м , п озв оляющ и йп ер ебр а т ьв с е

ба зи с н ы е т очки

 

ЗЛ П . О дн а ко п р и

 

п ои с ке м а кс и м ум а

н е и м еет

с м ы с ла р а с -

с м а т р и в а т ь т е

т очки , кот ор ы е

обес п ечи в а ют

м ен ьш ее зн а чен и е

 

целев ой

фун кци и , чем

уж е и зв ес т н ы е. С целью в н ес ен и я т а когоуп ор ядочен и я в а лго-

р и т м п ер ебор а

в ы чи с ли м

 

зн а чен и е целев ойфун кци и

в т очке

xBH , п р едс т а в -

лен н ойв в и де (8).

 

 

 

 

 

xl

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О бозн а чи м

Θ =

 

 

= min

.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

alk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aik

>0

aik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

i åi

iki

 

i

 

å

 

- c

)

a c Q- ( x c= Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kåi

 

ik

 

 

 

 

 

 

i I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

I

=

å

i I

c

 

 

 

 

 

 

Н а зовем оценкой вект ор а

A

k

величину

 

kk

(cв aма т

i

р ичной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

T

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

 

 

 

 

 

 

 

 

ф ор ме

k

=

 

k

- c

k

,

 

cAc- вектB

 

ор коэф ф ициент ов целевой ф ункциип р и

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ба зисны хп ер еменны х).

 

В да н н ы х обозн а чен и ях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

xB L) = (L(DxkQ). -

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;=

+

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

 

н а

 

Эт а фор м ула п озв оляет ув и дет ь, чт оес ли в ы бр а н оk т а кое, чт о

k<0, т о

с ледующ ейи т ер а ци и

будет п олучен а

т очка с больш и м

зн а чен и ем

 

целев ой

фун кци и

(т . к. Θ

 

≥0). Ес ли

 

k>0, т оп р ои зойдет ум ен ьш ен и е целев ойфун к-

 

ци и , п р и

 

k=0 зн а чен и е целев ойфун кци и н е и зм ен и т с я.

Eс ли k<0, н ов с е

 

aik ≤ 0, т о, в ы би р а я любое п олож и т ельн ое чи с лов ка чес т в е Θ , будем п олу-

 

ча т ь доп ус т и м ую, н о н е ба зи с н ую т очку(с м . ф-лу

 

(8)). Зн а чен и е целев ой

фун кци и

в

эт ойт очке и зм ен яет с я в с оот в ет с т в и и с

фор м улой(9),

п оэт ом у

ес ли

Θ

 

в ы би р а т ь ка кугодн обольш и м ,

т озн а чен и е фун кци и

цели

будет н е-

 

огр а н и чен н о ув ели чи в а т ьс я. Следов а т ельн о, в

т а ком с луча е м ож н ос дела т ь

в ы в од он еогр а н и чен н ос т и

целев ойфун кци и н а

доп ус т и м ом м н ож ес т в е.

 

 

 

Тео рем а 1. Есливсе оценки,

соот вет ст вую щ ие

 

некот ор ой ба зисной

 

т очке

xB , неот

 

р ица т

ельны ,

т о ест ь

å

 

 

 

 

 

 

 

 

i=

 

,

³т0j,о т-а -

cD c=a

 

 

 

 

 

j

j

ij

,"1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ка я т

очка являет ся оп т

има льной в за да че (1)-(3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сфор м ули р ов а н н ы е фа кт ы

п озв оляют с кон с т р уи р ов а т ьа лгор и т м ба зо-

 

в огос и м п лекс н огом ет ода .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алго рит м

базо в о го сим п лек сн о го м ет о да

 

 

 

 

 

 

На ча ло. За да н а

и с ходн а я ба зи с н а я т очка

xB : BT

 

 

i

 

 

 

 

j

 

Î J). j==

, 0xÎ xI i; (x

 

 

 

 

 

 

 

Вы чи с ли т ьоцен ки п офор м уле

= å

 

 

j ,j ijJ. i j

c

c a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

П р ов ер и т ь, ес ли в с е

 

j ≥0,

т оп ер ейт и кп .8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

П р ов ер и т ь, ес ли

 

 

k

<

и

в с е aik

 

, 0т оп ерk ейт: J и к0п .10.

 

 

 

4.

Вы бр а т ьk:

k<0 и в ект ор Ak и м еет хот я бы одн ус т р ого

 

 

 

 

 

 

 

п олож и т ельн ую коор ди н а т у(в озм ож ен п р ои зв ольн ы йв ы бор т а когон ом ер а k,

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н а п р и м

ер ,

max

 

j

 

k

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j: j<0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xl

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вы чи с ли т ьп а р а м ет р Θ п офор м уле

 

 

=

Q =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

alk

 

 

min

 

aik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i:aik >0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

О с ущ ес т в и т ьп ер еход кн ов ойба зи с н ойт очке с п ом ощ ью м ет ода

 

 

 

Ж ор да н а -Г а ус с а

 

с н а п р а в ляющ и м

 

элем ен т ом

alk.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

И зм ен и т ьи с ходн ую и н фор м а ци ю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

xl

 

 

 

 

 

 

xl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

B

 

x

 

 

x

 

 

 

 

x aI

i

 

ikj

 

 

 

 

 

 

¹ k)x. j ÎJ ,j= , 0 = ; ( Î ;

 

 

i

 

 

alk

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

alk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I \ {l} {k}; J J \ {l} {k}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ер ейт и кп .1.

 

 

 

 

 

 

 

 

s J :

 

 

= 0 ,т ов ы п и с а т ьот в ет : xB

 

 

 

 

 

 

8.

Ес ли

с ущ ес т в ует н ом ер

 

s

- оп т и м а льн а я

 

т очка, в

за да че и м еет с я бес чи с лен н ое м н ож ес т в ор еш ен и й.

 

 

 

 

 

 

9.

Ес ли

для в с ех

 

j J,

 

j > 0, т ов ы п и с а т ьот в ет :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

xB - еди н с т в ен н ое р еш ен и е за да чи .

10. Вы п и с а т ь от в ет : за да ча

р еш ен и йн е и м еет

и з-за

н еогр а н и чен н ос т и

в ойфун кци и н а доп ус т и м ом

м н ож ес т в е: sup z(x) = +¥

 

П р и м ер 2. Реш и т ьза да чу

 

 

 

Ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+ x

5

xmax x x

x 2 2

 

 

 

 

 

4

3 1

2

ì

 

x31

x2 =1

 

+-

+

 

ï

 

 

x4 x1 =1x2 - +

 

 

í

 

 

 

 

ï

 

 

 

x5 = 2x1 + x2 +

 

 

î

 

 

 

 

 

xi ³

i =

 

1

0,

 

 

 

 

5,

 

 

 

 

целе-

3

Реш ен и е. О фор м и м

р еш ен и е за да чи

в

в и де т а бли цы . В п ер в ом с т олбце п о-

м ес т и м

т екущ и е ба зи с н ы е п ер ем ен н ы е, в ов т ор ом

- и х

коэффи ци ен т ы

в це-

лев ойфун кци и , в т р ет ьем -

ба зи с н ы е коор ди н а т ы

т екущ ейт очки

xB . Да лее

п ер еп и с ы в а ем

элем ен т ы м а т р и цы

aij ,

п ом ещ а я н а д ка ж ды м с т олбцом

 

ко-

эффи ци ен т с оот в ет с т в ующ ей п ер ем ен н ой в

целев ой фун кци и .

П ос ледн и й

с т олбец п р едн а зн а ча ет с я для оп р еделен и я зн а чен и я Θ .

В от дельн ойс т р оке

в ы чи с ляют с я

оцен ки в ект ор ов

Aj. В ячейке,

н а ходящ ейс я н а п ер ес ечен и и

оцен очн ойс т р оки и

с т олбца

x

,

п ом ещ а ем зн а чен и е целев ойфун кци и

 

в т е-

кущ ейба зи с н ойт очке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

CB

 

x

 

2

 

 

-1

3

 

 

-2

 

1

 

 

Θ

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

A2

A3

 

 

A4

 

A5

 

 

 

 

x3

 

 

3

 

 

1

 

 

-1

 

 

1

 

1

 

 

0

 

0

 

 

 

 

x4

 

 

-2

 

 

1

 

1

 

 

-1

0

 

 

1

 

0

 

 

1

 

 

x5

 

 

1

 

 

2

 

1

 

 

1

 

0

 

 

0

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

j

 

3

 

 

-6

 

 

7

 

0

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

3

 

 

2

 

0

 

 

0

 

1

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

x1

 

 

2

 

 

1

 

1

 

 

-1

0

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

x5

 

 

1

 

 

1

 

0

 

 

2

 

0

 

 

-1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

9

 

0

 

 

1

 

0

 

 

6

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ос колькун а

п ер в ойи т ер а ци и

1 <0, в

ба зи с в в оди т с я в ект ор A1.

 

 

 

Θ =

1

2

 

=1, т},. в ка чесmin{т в е н а п р а в ляющ егоэлем ен т а в ы би р а ет с я

a21 .

1

 

1

 

Та кка кн а в т ор ойи т ер а ци и

в с е

j ≥0, т оос т а н ов , п олучен а оп т и м а льн а я

т очка

*

=

 

 

 

). Пxос кольк(1,0,2,0,1ун а н еба зи с н ы х в ект ор а х j > 0, т ор еш е-

н и е в за да че еди н с т в ен н о.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м ер

3. Реш и т ьза да чу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

+

+

ì

 

 

1

ï

 

 

 

 

í

 

 

 

 

ï

3

 

 

 

î

 

 

 

xi ³

i =

 

 

1 0,

 

6,

Реш ен и е.

Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е

 

+ x

6

xmax x

4

2 x

x 2

3

 

 

 

 

5

 

 

31

2

 

x42

x3 =1x

 

 

+

+

 

 

x5

 

=1x1

 

x2

-

+

 

 

 

x

6

= 2 xx -

x

2

+

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

B

CB

 

x

 

2

-1

 

1

3

-2

1

 

 

Θ

 

 

A1

 

A2

 

A3

A4

A5

A6

 

 

x4

3

1

 

-1

 

1

 

-1

1

0

0

 

 

x5

-2

1

 

1

-1

 

0

0

1

0

 

 

1

x6

1

2

 

1

-3

 

1

0

0

1

 

 

2

 

j

3

 

-6

3

 

-3

0

0

0

 

 

 

x4

3

2

 

0

0

 

-1

1

1

0

 

 

 

x1

2

1

 

1

-1

 

0

0

1

0

 

 

 

x6

1

1

 

0

-2

 

1

0

-1

1

 

 

 

 

j

9

 

0

 

-3

 

-3

0

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На в т ор ойи т ер а ци и п олуча ем , чт ооцен ка 2 <0, н ов с т олбце A2 н ет п оло- ж и т ельн ы х элем ен т ов . Эт оозн а ча ет , чт оцелев а я фун кци я н е огр а н и чен а н а

доп ус т и м ом

м н ож ес т в е, т .е. sup z(x) = +¥ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия

 

 

 

1.

Реш и т ьс и м п лекс- м ет одом

за да чуЛ П , п р едв а р и т ельн оп р и в едя ее кка н о-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ax

 

xmax x

 

 

 

н и чес ком ув и ду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− + 2 − + x

4

x2x

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ + − 2x4 ≤ 12x31

 

 

x2

 

bx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

£ 62x;

31

x+2 cx+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x j

³

 

 

 

 

1

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j =

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

в

 

с

 

 

 

а

в

 

 

с

 

 

 

 

 

а

 

 

 

в

 

 

 

с

 

 

а

в

с

1

 

2

3

 

-1

 

6

 

5

2

 

3

 

11

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

16

3

3

1

2

 

3

1

 

1

 

7

 

4

3

 

6

 

12

 

 

3

 

 

3

 

 

 

4

 

17

4

1

2

3

 

4

2

 

-1

 

8

 

6

1

 

5

 

13

 

 

5

 

 

2

 

 

 

-1

 

18

3

1

0

4

 

7

2

 

3

 

9

 

2

2

 

2

 

14

 

 

7

 

 

1

 

 

 

5

 

19

4

1

3

5

 

8

3

 

4

 

10

 

5

3

 

7

 

15

 

 

6

 

 

3

 

 

 

8

 

20

5

2

6

21

Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е

2. П р ов ер и т ь, яв ляет с я ли

т очка

x0 р еш

 

ен и ем

 

 

за да чи Л П :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

x

 

 

→ maxx

x

 

 

x

a3 x

 

 

4

) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 3

 

 

4

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

-7x= x +14x+

 

- 75 + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

31

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

-10=x

 

 

x+x 20 -x- 4-5

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

3 1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x j

³

j =

 

1

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

=

 

)

x

(2,0,0,3,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

 

→ minx

2x

31

3x

b

x

4)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

x31-1=x 2

+ - +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

5

= x4x- 2x

3

 

-2 6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x j

³

j =

 

 

 

1

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

=

 

)

x

(2,1,0,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. И

с п ользуя т еор и ю с и м п лекс - м ет ода ,

н а йт и

 

в с е зн а чен и я к, п р и

кот ор ы х

 

т очка

*

=

) яв ляетx с(1,2,0,1,0я р еш ен и ем

за да чи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

 

 

 

 

 

kx

5

 

→ maxx

 

 

kxx

2x

5

3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1 3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− + +

 

 

 

− + 3x5 = 0 x4

2x3x1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

x53=x15x4

x3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x+ -7=x;x

x

2

 

+- -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x j ³

 

j =

 

 

1

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. М ет о д иск усст в ен н о го базиса и M-м ет о д реш ен ия

 

 

 

 

 

 

п ро изв о льн о й задачи лин ейн о го п ро грам м иро в ан ия

 

 

 

 

 

В с луча е,

ес ли

за да ча

ли н ейн ого п р огр а м м и р ов а н и я за да н а

 

в п р ои з-

 

в ольн ойфор м е,

т оот с ут с т в ует н еобходи м а я и н фор м а ци я для и с п ользов а н и я

 

ба зов огос и м п лекс н огом ет ода ,

т оес т ь и с ходн ы йба зи с . Для от ы с ка н и я н а -

 

ча льн ойба зи с н ойт очки

м ож ет

бы т ь и с п ользов а н

п р и ем , за ключа ющ и йс я в

 

с озда н и и

с п еци а льн ой за да чи ,

с в яза н н ой с

и с ходн ой с ледующ и м

 

обр а зом :

 

п р и

р еш ен и и с озда н н ойза да чи

с и м п лекс н ы м

 

 

 

м ет одом

ли бобудет

п олучен а

 

и с ком а я ба зи с н а я т очка ,

ли бо будет

 

обн а р уж ен а

п ус т от а

 

доп ус т и м огом н о-

 

ж ес т в а

и с ходн ойза да чи .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П ус т ьЗЛ П

за да н а

в

ка н он и чес ком в и де (1)-(3). Вв едем н ов ы е (и с кус с т -

 

в ен н ы е)

п ер ем ен н ы е в

огр а н и чен и я за да чи т а к,

 

чт обы

в

р езульт а т е обр а зо-

 

в а лс я еди н и чн ы йба зи с

(п ояв и ла с ь в озм ож н ос т ь в ы п и с а т ь и с ходн ую ба зи с -

 

н ую т очку):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax + Ez=b (b³ 0)

x ³0, z ³0.

22