Лин. програм. учеб. пособие (Азарнова Т. В
.).pdf
|
Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е |
|
|
В за ключен и е от м ет и м , чт о за м ен а п ер ем ен н ы х п ор ож да ет |
н ееди н с т - |
в ен н ос т ь р еш ен и я п олучен н ой ка н он и чес кой за да чи да ж е, ес ли |
и с ходн а я |
|
и м ела |
еди н с т в ен н ое р еш ен и е. Эт от фа кт долж ен бы т ьв ы делен п р и |
фи кс и р о- |
в а н и и |
от в ет а . Си м п лекс н ы йм ет од п озв оляет эт ос дела т ь, чт обудет от м ечен о |
|
в да льн ейш ем п р и оп и с а н и и с оот в ет с т в ующ егоа лгор и т м а . |
|
Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия
1. П р и в ес т и кка н он и чес койфор м е с ледующ и е за да чи ли н ейн огоп р огр а м м и - р ов а н и я:
а ) x1 - x 2 + 3x3 ® min |
б) 2x1 + x 2 - x 3 ® max |
|
2x1 - x 2 + 3x 3 £ 5 |
x1 - 2x 2 + x 3 ³ 4 |
|
x1 |
+ 2x 3 = 8 |
x1 + x 2 - 3x 3 £ 9 |
- x1 - 2x 2 |
³1 |
x1 ³ 0, x 2 ³ 0, x3 ³ 0;
в) 2x1 - x 2 + 3x 3 + x 4 - 2x 5
x1 + 2x 2 - x 3 - 2x 4 + x 5
-2x2 + 4x3 + x4
x1 + 3x2 + 2x3 =10 x1 ³ 0, x 3 ³ 0 ;
® min
=-5
£4
|
x 2 ³ 0, x 3 ³ 0, x 5 ³ 0 ; |
|
|
||
г) |
x1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + x 5 ® max |
|
|||
- |
+ + |
- |
+ x5 ³ x64 |
x33x1 2x2 |
4 |
|
- |
+ |
+ 4 + x5 = x2 x13 2x2 |
3 |
x1 ³ 0, x3 ³ 0, x 4 ³ 0, x 5 £ 0;
2. П р и в ес т и кс и м м ет р и чн ойфор м е с ледующ и е за да чи ли н ейн огоп р огр а м -
ми р ов а н и я:
а) 2x1 - x 2 + 3x 3 + x 4 - 2x 5 ® min
2x1 - x 2 - 3x 3 + x 4 - x 5 = 4
x1 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 4 + x 5 =15
2x1 - 2x2 - x3 - 6x4 + 2x5 = 8
x1 ³ 0, x 2 ³ 0, x 3 ³ 0, x 4 ³ 0, x 5 ³ 0; б) x1 - 2x 2 + 2x 3 + x 4 + 2x 5 ® max
x1 - x 2 + 2x 3 - 3x 4 + x 5 = -2
- x1 + 2x2 - x 3 + 2x4 + 7x5 = 3
2x1 + 3x 2 - 4x 3 + x 4 - x 5 £ 6
x1 ³ 0, x 2 ³ 0, x 3 ³ 0, x 4 ³ 0, x 5 ³ 0
13
Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
§3. |
|
А лго рит м |
|
п еребо ра базисн ы хреш ен ий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сист ем |
лин ейн ы хурав н ен ий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
В § 2 бы ла в в еден а |
ка н он и чес ка я фор м а |
ЗЛ П , кот ор а я в |
м а т р и чн ом |
в и - |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
де м ож ет бы т ьп ер еп и с а н а с ледующ и м |
обр а зом : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= T x ®c maxz x |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax = b , (b ³ 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|||||||
где |
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
,=j , m1 |
, i)= |
||||
1 |
|
n |
1 |
|
|
n |
1 |
|
|
|
m |
ij |
|
|
|
|
|
, 1n |
||||||||||||||||||
О чев и дн о, чт ор еш ен и я за да чи |
|
Л П |
(1) - (3) н а ходят с я с р еди |
|
р еш ен и йс и с т е- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
м ы |
ли н ейн ы х ур а в н ен и йAx = b. Ра с с м от р и м |
с п ос обп ер ебор а |
р еш ен и йда н - |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
н ойс и с т ем ы для с луча я, когда р а н г м а т р и цы r(A) = m. И |
з кур с а |
|
ли н ейн ойа л- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
гебр ы и зв ес т н о, чт о с и с т ем а |
(2) с п ом ощ ью п р еобр а зов а н и йЖ ор да н а - Г а ус - |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
с а м ож ет бы т ьп р и в еден а кв и ду |
+ ~~ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x A Ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где E - еди н и чн а я м |
а т р и ца р а зм |
|
ер а |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
еет р а зм ер ы |
m×(n-m) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
m× m , м а т р и ца A и м |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и элем ен т ы |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
р езульт а т е п р еобр а зов а н и йЖ ор да н а -Г а ус с а , |
|
|
||||||||||||||||||||||||
aij , п олучен н ы е в |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- в ект ор р а зм ер а |
m, п олучен н ы йи з в ект ор а |
b в с ледс т в и е п р еобр а зов а н и й. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Си с т ем а |
ур а в н ен и й(4) м ож ет |
бы т ь п ер еп и с а н а в коор ди н а т н ойфор м е с ле- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
дующ и м |
обр а зом : |
|
|
- å ~ij |
~j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
È n}, |
,...J , |
|
I1{I ,i |
x,(5)a |
x |
b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
i |
|
|
i |
Î = |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I - м н ож ес т в ои н декс ов за в и с и м ы х п ер ем ен н ы х , J - м н ож ес т в ои н декс ов |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
с в ободн ы х п ер ем ен н ы х, |
|
æ x |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x = ç |
|
÷ Î Rn . Ф ор м ула (5) п р едс т а в ляет с обойфор - |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç ~ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è x |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м улу общ его р еш ен и я с и с т ем ы |
(2). На п ом н и м , чт олюбое ча с т н ое р еш ен и е |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
с и с т ем ы м ож ет бы т ьп олучен ои з фор м улы общ егор еш ен и я п ут ем фи кс и р о- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
в а н и я любы х зн а чен и йс в ободн ы х п ер ем ен н ы х с п ос ледующ и м |
|
в ы чи с лен и ем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
п о фор м уле (5) зн а чен и йза в и с и м ы х п ер ем ен н ы х. В да льн ейш ем н а с будут |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
и н т ер ес ов а т ь ча с т н ы е р еш ен и я в и да |
|
|
|
|
|
|
j |
i |
Î J ), j=т .=е. ,в0ектxÎо(-I ,xi |
b, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
р ы , |
с в ободн ы е п ер ем ен н ы е кот ор ы х п олож ен ы р а в н ы м и 0. |
|
Та ки е в ект ор ы |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
н а зы в а ют с я ба зи с н ы м и |
р еш |
ен и ям и |
с и с т ем ы |
ли н ейн ы х ур а в н ен и й(2). М а к- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
с и м а льн ое коли чес т в оба зи с н ы х р еш ен и йн е п р ев ос ходи т в ели чи н ы |
Cnm . П е- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
р ебр а т ьв с е ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы ли н ейн ы х ур а в н ен и йм ож н о, |
ор га н и - |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
зов а в п ер ебор фор м ул общ егор еш ен и я. О чев и дн о, чт оэт о м ож н оос ущ ес т - |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
в и т ь с и с п ользов а н и ем |
м ет ода |
Ж ор да н а -Г а ус с а , н а п р и м ер , |
п о с ледующ ей |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
с хем е. |
|
|
|
|
|
|
|
Алго рит м |
п еребо ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. П олучи т ьм ет одом Ж ор да н а -Г а ус с а |
п р ои зв ольн ую фор м улуобщ егор еш е- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
н и я в и да (5). П олож и т ьN=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
|
|
|
|
Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е |
2. |
За п ом н и т ьм н ож ес т в о I N . П олож и т ь |
= N , |
= J N . JI I |
|
3. |
Вы бр а т ьн ом ер k и з м н ож ес т в а J. За м ен и т ьJ н а |
J\{k}. |
||
4. |
Вы бр а т ь l I т а кой, чт о alk ¹ 0 . Ес ли т а ки х н ом ер ов l в I н ет , т оп ер ейт и к |
|||
п .7. |
|
|
|
|
5. Ес ли м н ож ес т в о N |
È Ik} уж{ lе}\р{а с с м от р ен о, т оза м ен и т ь I н а I \ {l}и |
|||
п ер ейт и кп .6, и н а че п ер ейт и кп .8. |
|
|
||
6. |
Ес ли I= Ø т оп олож и т ь I N и п ер ейт и кп .7, и н а че п ер ейт и кп .4. |
|||
7. |
Ес ли J=Ø , т о о ст ан о в |
- п олучен ы |
в с е в озм ож н ы е фор м улы общ егор е- |
|
ш ен и я, и н а че п ер ейт и кп .3. |
|
|
|
8. О с ущ ес т в и т ь п р еобр а зов а н и я Ж ор да н а -Г а ус с а с н а п р а в ляющ и м |
элем ен - |
||||||||||||||
т ом |
alk доп олучен и я в |
k-м |
с т олбце еди н и чн огов ект ор а . За м ен и т ьN н а |
N+1. |
|||||||||||
П олож и т ь |
N = |
N |
È k}.{П lерI }\ейт{ Iи кп .2 . |
|
|
|
|
||||||||
П р и м ер 1. На йт и ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы ур а в н ен и й. |
|
|
|||||||||||||
ìx |
= 2 - 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx3 = 4 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Реш ен и е. Здес ь I={1,3},J={2}. О фор м и т ь п р оцедур у р еш ен и я удобн ов |
в и де |
||||||||||||||
с ледующ ей т а бли цы , |
где |
чер ез Aj |
обозн а чен ы |
в ект ор ы -с т олбцы |
м а т р и цы |
||||||||||
(с т олбцы коэффи ци ен т ов п р и п ер ем ен н ойxj). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
B |
|
A1 |
|
A2 |
|
A3 |
alk |
|
коммент . |
|
|
||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
0 |
k=2 |
|
J1={2} |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
0 |
|
|
-1 |
|
1 |
a12 =2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1/2 |
|
1 |
|
0 |
k=1 |
|
J2 ={1} |
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
1/2 |
|
0 |
|
1 |
a21 -нет * |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 =1/2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
-4 |
|
0 |
|
|
1 |
|
-1 |
a23 -нет * |
|
О СТА НО В |
|
|
|
1 |
|
10 |
|
1 |
|
|
0 |
|
2 |
a13 -нет * |
|
|
|
|
|
* (в ы бор эт огоэлем ен т а п ор ож да ет "с т а р ое" м н ож ес т в оI)
На да н н ы х т р ех и т ер а ци ях п олучен ы ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы с оот в ет с т -
в ен н оx1=(2,0,4), x2=(0,1,5), x3=(10,-4,0).
К а кв и дн ои з р а с с м от р ен н огоп р и м ер а , н е в с е п олучен н ы е в р езульт а т е п ер е- бор а ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы ли н ейн ы х ур а в н ен и йяв ляют с я доп ус т и м ы - м и т очка м и в с оот в ет с т в ующ ейза да че ли н ейн огоп р огр а м м и р ов а н и я (1) - (3), т а кка кн е удов лет в ор яют ус лов и ю н еот р и ца т ельн ос т и (3). П р оцедур уп ер е-
бор а м ож н ом оди фи ци р ов а т ьт а ки м |
обр а зом , чт обы п ер еби р а т ьт олько н еот - |
|
р и ца т ельн ы е ба зи с н ы е р еш ен и я. И |
зм ен ен и я н еобходи м о в н ес т и |
в 1, 3 и 4 |
п ун кт ы с фор м ули р ов а н н ого а лгор и т м а , кот ор ы е п р и обр ет а ют |
с ледующ и й |
|
в и д. |
|
|
15
Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е
1а . П олучи т ь п р ои зв ольн ое н еот р и ца т ельн ое ба зи с н ое р еш ен и е. П олож и т ь
N=1.
3а . Вы бр а т ь k J т а кое, чт о aik > 0 . За м ен и т ьJ н а J\{k}.
4а . Вы бр а т ь l I |
т а кое, чт о |
bl |
= min |
bi |
. Ес ли т а ки х н ом ер ов |
l в I н ет , т о |
|
||||||||||||||||||||||||||||
alk |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
п ер ейт и кп .7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
i:aik >0 |
aik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
П р и м ер |
2. На йт и |
н еот р и ца т ельн ы е ба зи с н ы е р еш |
ен и я |
с и с т ем ы ур а в н ен и й. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
=xx2 +-x |
2 |
+ 4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x4 = 5x31 + x32 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Реш ен и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П ос ле экв и в а лен т н ы х п р еобр а зов а н и йда н н а я с и с т ем а |
м ож ет |
бы т ьп ер еп и с а - |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
н а с ледующ и м обр а зом : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ì |
|
11 |
7 |
|
x3 -=4x2 |
|
- x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
+ x=2 |
+x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
î |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П олож и м |
N=1. Тогда I 1={3,4},J 1={1,2}.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
К а ки |
|
в |
п р и м ер е 1, офор м и м |
|
|
р еш |
ен и е в |
в и де в т а бли цы . Доба в и м |
с т олбец Θ , |
|
|||||||||||||||||||||||||
в кот ор ы йбудем |
п ом ещ а т ьот н ош ен и е |
bi /aik для aik >0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
A1 |
|
|
A2 |
|
|
A3 |
|
|
A4 |
|
|
|
Θ |
alk |
|
коммент . |
|
|
|||||||
3 |
|
11/4 |
|
|
7/2 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
11/16 |
k=2,l=3 |
|
J1={1,2} |
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
3/4 |
|
|
|
-1/2 |
|
-1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
- |
a32 =4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
11/16 |
|
|
7/8 |
|
1 |
|
|
1/4 |
|
|
0 |
|
11/14 |
k=1,l=2 |
|
J2 ={1,3} |
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
23/16 |
|
|
3/8 |
|
0 |
|
|
1/4 |
|
|
1 |
|
23/6 |
a21 =7/8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
11/14 |
|
|
1 |
|
|
8/7 |
|
|
2/7 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
k=2 |
|
О СТА НО В |
|
|
|
||||||||||
4 |
|
8/7 |
|
|
|
0 |
|
|
-3/7 |
|
|
1/7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a12 -нет |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13 -нет |
|
|
|
|
|
|
|
На да н н ы х |
и т ер а ци ях п олучен ы |
ба зи с н ы е р еш ен и я с и с т ем ы |
с оот в ет с т в ен н о |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
3 |
, |
2 |
|
11 |
|
3 |
|
|
3 = |
11 |
|
8 |
). |
= ,0,0, |
|
( |
),x |
,0, |
(0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. На йт и |
в с е ба зи с н ы е р еш ен и я с ледующ и х с и с т ем ур а в н ен и й: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а ) x1 − 2x 2 + 4x3 − x4 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 ;
б) x1 + x2 + x 3 + x4 = 3 2x1 − x 2 + x 3 − 2x 4 = 2 ;
16
Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е
2. На йт и в с е н еот р и ца т ельн ы е ба зи с н ы е р еш ен и я с ледующ ейс и с т ем ы ур а в - н ен и й:
ax1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x1 + bx 2 + cx 3 + x 4 = 1
|
а |
в |
с |
|
а |
в |
с |
|
а |
в |
с |
|
а |
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
-2 |
6 |
2 |
4 |
-4 |
11 |
3 |
2 |
0 |
16 |
6 |
5 |
-3 |
2 |
2 |
3 |
0 |
7 |
3 |
5 |
-2 |
12 |
4 |
5 |
-3 |
17 |
2 |
6 |
-1 |
3 |
5 |
4 |
-1 |
8 |
3 |
4 |
-1 |
13 |
5 |
2 |
-1 |
18 |
4 |
2 |
-4 |
4 |
6 |
2 |
-3 |
9 |
2 |
5 |
0 |
14 |
4 |
3 |
-4 |
19 |
5 |
6 |
0 |
5 |
5 |
3 |
-4 |
10 |
6 |
3 |
-3 |
15 |
6 |
4 |
-2 |
20 |
4 |
6 |
-2 |
|
|
§4. Алго рит м |
сим п лек сн о го м ет о да |
||||||
|
Доп уст има я т очка ЗЛ П |
= |
1 2 |
xn ) xнаx зы,...xва, ет( ся, ба зисной, если |
|||||
вект |
ор ы -ст олбцы ма т р ицы A: Ai1 |
Ai |
, k ≤ n , соот,..., |
|
вет ст вую щ ие ее нену- |
||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
левы м коор дина т а м, являю т ся линейно неза висимы ми. |
|||||||||
|
П ока ж ем , |
ка кп р ов ер яет с я, |
яв ляет с я ли |
за да н н а я т очка ба зи с н ой, н а |
|||||
п р и м |
ер е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м ер 1. |
П ус т ьус лов и я (2) н екот ор ойза да чи |
|
ли н ейн огоп р огр а м м и - |
|||||
р ов а н и я и м еют в и д |
|
|
x4 = 3x23x1+- x2 + 2 |
||||||
|
|
ì |
|
|
|||||
|
|
í |
|
|
x2x |
|
-= 3x |
|
+ |
|
|
î |
|
|
4 |
3 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
П р ов ер и т ь, яв ляет с я ли т очка x=(1,0 ,0,1)Т |
ба зи с н ой. |
|
|
Реш ен и е. Та кка ккоор ди н а т ы т очки н еот р и ца т ельн ы и удов лет в ор яют за да н -
н ойс и с т ем е ур а в н ен и й, т оон а |
п ооп р еделен и ю яв ляет с я доп ус т и м ой. Вв е- |
||||||||||||||||||
дем в |
р а с с м от р ен и е в ект ор ы |
|
|
|
|
, A |
4 |
,-Aс т олбцыA |
м а т р и цы огр а н и чен и й: |
||||||||||
|
2ö |
æ− 1ö |
|
|
2 ö |
|
æ1 |
|
|
|
|
31 |
|
2 |
|
||||
æ |
|
æ |
|
ö |
|
|
|
|
с и с т емA а ур а в н ен и йп ос ле п од- |
||||||||||
= ç |
÷, |
= ç |
÷, |
3 |
= ç |
÷, A |
= ç |
÷ . ТогдаAA |
|||||||||||
ç ÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
4 |
ç ÷ |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||
è1 ø |
è 0 |
ø |
|
è |
-1ø |
|
è2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с т а н ов ки в н ее коор ди н а т |
п р ов ер яем ойт очки п р и м ет |
в и д: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
4 |
|
|
= b |
1 |
1 |
x A A x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
В с оот в ет с т в и и |
с |
оп р еделен и ем |
|
|
ба зи с н ойт очки , в ект ор ы A1 и A4 с ле- |
|||||||||||||
дует п р ов ер и т ь н а |
ли н ейн ую н еза в и с и м ос т ь. И |
з кур с а ли н ейн ойа лгебр ы и з- |
|||||||||||||||||
в ес т н о, чт о |
в ект ор ы |
яв ляют с я ли н ейн он еза в и с и м ы м и , ес ли р а н г м а т р и цы , |
|||||||||||||||||
с ос т а в лен н ойи з эт и х в ект ор ов , р а в ен и х коли чес т в у. |
|
||||||||||||||||||
|
Та кка к оп р едели т ельм а т р и цы |
|
|
2 |
1 |
|
¹ 0, т оее р а н г р а в ен 2, и в ект ор ы |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
ли н ейн он еза в и с и м ы . Следов а т ельн о, т очка (1,0,0,1)Т яв ляет с я ба зи с н ой.
17
Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е |
|
|
|
|
||||||||
|
И з оп р еделен и я с ледует , чт очи с лоп олож и т ельн ы х коор ди н а т ба зи с н ой |
|||||||||||
т очки н е м ож ет бы т ьболее чем |
m. Еслиба зисна я т очка содер ж ит р овно m |
|||||||||||
п олож ит |
ельны хкоор дина т |
, т |
о она на зы ва ет |
ся невы р ож денной, в п р от ив- |
||||||||
ном случа е - вы р ож денной. |
За да ча на зы ва ет ся невы р ож денной, еслидоп ус- |
|||||||||||
т имое множ ест во не имеет |
вы р ож денны хба зисны хт очек. |
|
||||||||||
|
К а кс ледует |
и з с оот в ет с т в ующ и х оп р еделен и й, ба зи с н ы е т очки доп ус - |
||||||||||
т и м ого м н ож ес т в а |
ЗЛ |
П |
(1) - (3) с ов п а да ют с |
н еот р и ца т ельн ы м и ба зи с н ы м и |
||||||||
р еш |
ен и ям и с и с т ем ы |
ли н ейн ы х ур а в н ен и й(2). Та ки м обр а зом , а лгор и т м п е- |
||||||||||
р ебор а |
н еот р и ца т ельн ы х ба зи с н ы х р еш ен и йс и с т ем ы с ов п а да ет с а лгор и т - |
|||||||||||
м ом |
п ер ебор а |
ба зи с н ы х т очекс оот в ет с т в ующ его доп ус т и м ого м н ож ес т в а . |
||||||||||
Следует от м ет и т ь, чт ов |
н а ча ле п ер ебор а долж н а бы т ьи зв ес т н а и с ходн а я ба - |
|||||||||||
зи с н а я т очка . И |
т а к, п ус т ьи м еет с я ба зи с н а я |
т очка доп ус т и м огом н ож ес т в а |
||||||||||
ЗЛ П |
T |
|
|
|
|
|
|
Î J). j==Коор,дина0xÎ xIт ыi; |
(xi ,, Ix, будемi |
в да льнейшем |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
B |
|
|
i |
|
j |
|||||||
на зы ва т ь ба зисны ми, |
j = 0,x J - jнеба зисны ми. Соот вет ст венно множ е- |
ст в о I - множ ест вом ба зисны хиндексов, J - множ ест |
вом неба зисны хиндек- |
сов. В с луча е н ев ы р ож ден н ойза да чи п ока ж дойба зи с н ойт очке в ос с т а н а в ли - |
в а ет с я с оот в ет с т в ующ и йба зи с , с ос т оящ и йи з в ект ор ов |
i , AI . Оi бозн а чи м |
егочер ез B. За м ет и м да лее, чт ока ж да я и т ер а ци я м ет ода |
Ж ор да н а -Г а ус с а с о- |
от в ет с т в ует п ер еходу от одн ойба зи с н ойт очки кдр угойп р и за м ен е одн ой |
|
ба зи с н ой (за в и с и м ой) п ер ем ен н ой н а одн у н еба зи с н ую (с в ободн ую). П р и |
|
эт ом в ы бор уп одлеж и т н ом ер н еба зи с н ойп ер ем ен н ойk и ж ес т кооп р еделяет - |
|
с я н ом ер ба зи с н ойп ер ем ен н ойl (с м от р и п ун кт ы 3а и 4а |
а лгор и т м а ). |
К оор ди н а т ы н ов ойба зи с н ойт очки в ы чи с ляют с я с ледующ и м обр а зом : |
|
xH |
x |
i |
xl |
|
|
|
|
|
|
|
x aI |
|
ixl |
ikj |
|
|
|
|
¹ k)x. j ÎJ |
,j= |
|
|
, 0 (8)= ; ( Î |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
alk |
|
|
|
|
|
k |
|
|
alk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Та ки м |
обр а зом , р а н ее п олучен а лгор и т м , п озв оляющ и йп ер ебр а т ьв с е |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ба зи с н ы е т очки |
|
ЗЛ П . О дн а ко п р и |
|
п ои с ке м а кс и м ум а |
н е и м еет |
с м ы с ла р а с - |
||||||||||||||||||||||||||
с м а т р и в а т ь т е |
т очки , кот ор ы е |
обес п ечи в а ют |
м ен ьш ее зн а чен и е |
|
целев ой |
|||||||||||||||||||||||||||
фун кци и , чем |
уж е и зв ес т н ы е. С целью в н ес ен и я т а когоуп ор ядочен и я в а лго- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
р и т м п ер ебор а |
в ы чи с ли м |
|
зн а чен и е целев ойфун кци и |
в т очке |
xBH , п р едс т а в - |
|||||||||||||||||||||||||||
лен н ойв в и де (8). |
|
|
|
|
|
xl |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
О бозн а чи м |
Θ = |
|
|
= min |
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
alk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aik |
>0 |
aik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
i åi |
iki |
|
i |
|
å |
|
- c |
) |
a c Q- ( x c= Q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kåi |
|
ik |
||||||
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
I |
= |
å |
i I |
− c |
|
|
|
|
|
|
|
Н а зовем оценкой вект ор а |
A |
k |
величину |
|
kk |
(cв aма т |
i |
р ичной |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
|
||||
|
|
|
T |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф ор ме |
k |
= |
|
k |
- c |
k |
, |
|
cAc- вектB |
|
ор коэф ф ициент ов целевой ф ункциип р и |
|||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ба зисны хп ер еменны х). |
|
В да н н ы х обозн а чен и ях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
xB L) = (L(DxkQ). - |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;=
+
18
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е |
|
||||||||||
н а |
|
Эт а фор м ула п озв оляет ув и дет ь, чт оес ли в ы бр а н оk т а кое, чт о |
k<0, т о |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
с ледующ ейи т ер а ци и |
будет п олучен а |
т очка с больш и м |
зн а чен и ем |
|
целев ой |
||||||||||||||||||||||||||||||||
фун кци и |
(т . к. Θ |
|
≥0). Ес ли |
|
k>0, т оп р ои зойдет ум ен ьш ен и е целев ойфун к- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ци и , п р и |
|
k=0 зн а чен и е целев ойфун кци и н е и зм ен и т с я. |
Eс ли k<0, н ов с е |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
aik ≤ 0, т о, в ы би р а я любое п олож и т ельн ое чи с лов ка чес т в е Θ , будем п олу- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ча т ь доп ус т и м ую, н о н е ба зи с н ую т очку(с м . ф-лу |
|
(8)). Зн а чен и е целев ой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
фун кци и |
в |
эт ойт очке и зм ен яет с я в с оот в ет с т в и и с |
фор м улой(9), |
п оэт ом у |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ес ли |
Θ |
|
в ы би р а т ь ка кугодн обольш и м , |
т озн а чен и е фун кци и |
цели |
будет н е- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
огр а н и чен н о ув ели чи в а т ьс я. Следов а т ельн о, в |
т а ком с луча е м ож н ос дела т ь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в ы в од он еогр а н и чен н ос т и |
целев ойфун кци и н а |
доп ус т и м ом м н ож ес т в е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Тео рем а 1. Есливсе оценки, |
соот вет ст вую щ ие |
|
некот ор ой ба зисной |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
т очке |
xB , неот |
|
р ица т |
ельны , |
т о ест ь |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
i= |
|
, |
³т0j,о т-а - |
cD c=a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j |
j |
ij |
,"1n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ка я т |
очка являет ся оп т |
има льной в за да че (1)-(3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Сфор м ули р ов а н н ы е фа кт ы |
п озв оляют с кон с т р уи р ов а т ьа лгор и т м ба зо- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
в огос и м п лекс н огом ет ода . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Алго рит м |
базо в о го сим п лек сн о го м ет о да |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
На ча ло. За да н а |
и с ходн а я ба зи с н а я т очка |
xB : BT |
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
Î J). j== |
, 0xÎ xI i; (x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вы чи с ли т ьоцен ки п офор м уле |
= å |
|
− |
|
j ,j ijJ. i j |
c |
c a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
П р ов ер и т ь, ес ли в с е |
|
j ≥0, |
т оп ер ейт и кп .8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
П р ов ер и т ь, ес ли |
|
|
k |
< |
и |
в с е aik ≤ |
|
, 0т оп ерk ейт: J и к0п .10. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
Вы бр а т ьk: |
k<0 и в ект ор Ak и м еет хот я бы одн ус т р ого |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
п олож и т ельн ую коор ди н а т у(в озм ож ен п р ои зв ольн ы йв ы бор т а когон ом ер а k, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
н а п р и м |
ер , |
max |
|
j |
|
k |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
j: j<0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xl |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вы чи с ли т ьп а р а м ет р Θ п офор м уле |
|
|
= |
Q = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
alk |
|
|
min |
|
aik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i:aik >0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
О с ущ ес т в и т ьп ер еход кн ов ойба зи с н ойт очке с п ом ощ ью м ет ода |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ж ор да н а -Г а ус с а |
|
с н а п р а в ляющ и м |
|
элем ен т ом |
alk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7. |
И зм ен и т ьи с ходн ую и н фор м а ци ю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
H |
|
|
|
xl |
|
|
|
|
|
|
xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
|
B |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x aI |
i |
|
ikj |
|
|
|
|
|
|
¹ k)x. j ÎJ ,j= , 0 = ; ( Î ; |
|||||||||||||||
|
|
i |
|
|
alk |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
alk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I ← I \ {l} {k}; J ← J \ {l} {k} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
П ер ейт и кп .1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
s J : |
|
|
= 0 ,т ов ы п и с а т ьот в ет : xB |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
Ес ли |
с ущ ес т в ует н ом ер |
|
s |
- оп т и м а льн а я |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
т очка, в |
за да че и м еет с я бес чи с лен н ое м н ож ес т в ор еш ен и й. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Ес ли |
для в с ех |
|
j J, |
|
j > 0, т ов ы п и с а т ьот в ет : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е
xB - еди н с т в ен н ое р еш ен и е за да чи .
10. Вы п и с а т ь от в ет : за да ча |
р еш ен и йн е и м еет |
и з-за |
н еогр а н и чен н ос т и |
|||||
в ойфун кци и н а доп ус т и м ом |
м н ож ес т в е: sup z(x) = +¥ |
|
||||||
П р и м ер 2. Реш и т ьза да чу |
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
+ |
|
− |
+ x |
5 |
→xmax x x |
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 1 |
2 |
|
ì |
|
x31 |
x2 =1 |
|
+- |
+ |
|
|
ï |
|
|
x4 x1 =1x2 - + |
|
|
|||
í |
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
x5 = 2x1 + x2 + |
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|||
xi ³ |
i = |
|
1 |
0, |
|
|
|
|
5, |
|
|
|
|
целе-
3
Реш ен и е. О фор м и м |
р еш ен и е за да чи |
в |
в и де т а бли цы . В п ер в ом с т олбце п о- |
||||||||||||||||||||||
м ес т и м |
т екущ и е ба зи с н ы е п ер ем ен н ы е, в ов т ор ом |
- и х |
коэффи ци ен т ы |
в це- |
|||||||||||||||||||||
лев ойфун кци и , в т р ет ьем - |
ба зи с н ы е коор ди н а т ы |
т екущ ейт очки |
xB . Да лее |
||||||||||||||||||||||
п ер еп и с ы в а ем |
элем ен т ы м а т р и цы |
aij , |
п ом ещ а я н а д ка ж ды м с т олбцом |
|
ко- |
||||||||||||||||||||
эффи ци ен т с оот в ет с т в ующ ей п ер ем ен н ой в |
целев ой фун кци и . |
П ос ледн и й |
|||||||||||||||||||||||
с т олбец п р едн а зн а ча ет с я для оп р еделен и я зн а чен и я Θ . |
В от дельн ойс т р оке |
||||||||||||||||||||||||
в ы чи с ляют с я |
оцен ки в ект ор ов |
Aj. В ячейке, |
н а ходящ ейс я н а п ер ес ечен и и |
||||||||||||||||||||||
оцен очн ойс т р оки и |
с т олбца |
x |
, |
п ом ещ а ем зн а чен и е целев ойфун кци и |
|
в т е- |
|||||||||||||||||||
кущ ейба зи с н ойт очке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
CB |
|
x |
|
2 |
|
|
-1 |
3 |
|
|
-2 |
|
1 |
|
|
Θ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
A2 |
A3 |
|
|
A4 |
|
A5 |
|
|
|
|
|||||||
x3 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
― |
|
|
|
x4 |
|
|
-2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
-1 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||
x5 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
j |
|
3 |
|
|
-6 |
|
|
7 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x3 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
x1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
-1 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
x5 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
-1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
j |
|
9 |
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П ос колькун а |
п ер в ойи т ер а ци и |
1 <0, в |
ба зи с в в оди т с я в ект ор A1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Θ = |
1 |
2 |
|
=1, т}.е,. в ка чесmin{т в е н а п р а в ляющ егоэлем ен т а в ы би р а ет с я |
a21 . |
||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
Та кка кн а в т ор ойи т ер а ци и |
в с е |
j ≥0, т оос т а н ов , п олучен а оп т и м а льн а я |
|||||||||||||||||||||||
т очка |
* |
= |
|
|
|
). Пxос кольк(1,0,2,0,1ун а н еба зи с н ы х в ект ор а х j > 0, т ор еш е- |
|||||||||||||||||||
н и е в за да че еди н с т в ен н о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П р и м ер |
3. Реш и т ьза да чу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
− |
+ |
+ |
||
ì |
|
|
1 |
|
ï |
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
ï |
3 |
|
|
|
î |
|
|
|
|
xi ³ |
i = |
|
|
1 0, |
|
6, |
Реш ен и е.
Л и нейн ое п р огр а м м и р ов а ни е
− |
|
+ x |
6 |
→xmax x |
4 |
2 x |
x 2 |
3 |
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
31 |
2 |
|
||
x42 |
x3 =1x |
|
|
+ |
− |
+ |
|
|
|||
x5 |
|
=1x1 |
|
x2 |
- |
+ |
|
|
|
||
x |
6 |
= 2 xx - |
x |
2 |
+ |
|
|
|
|
||
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
B |
CB |
|
x |
|
2 |
-1 |
|
1 |
3 |
-2 |
1 |
|
|
Θ |
|
|
|
A1 |
|
A2 |
|
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
|
|
||||
x4 |
3 |
1 |
|
-1 |
|
1 |
|
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
― |
|
x5 |
-2 |
1 |
|
1 |
-1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
||
x6 |
1 |
2 |
|
1 |
-3 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
2 |
||
|
j |
3 |
|
-6 |
3 |
|
-3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
x4 |
3 |
2 |
|
0 |
0 |
|
-1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
||
x1 |
2 |
1 |
|
1 |
-1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||
x6 |
1 |
1 |
|
0 |
-2 |
|
1 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
||
|
j |
9 |
|
0 |
|
-3 |
|
-3 |
0 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На в т ор ойи т ер а ци и п олуча ем , чт ооцен ка 2 <0, н ов с т олбце A2 н ет п оло- ж и т ельн ы х элем ен т ов . Эт оозн а ча ет , чт оцелев а я фун кци я н е огр а н и чен а н а
доп ус т и м ом |
м н ож ес т в е, т .е. sup z(x) = +¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Задачи длясам о ст о ят ельн о го реш ен ия |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. |
Реш и т ьс и м п лекс- м ет одом |
за да чуЛ П , п р едв а р и т ельн оп р и в едя ее кка н о- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
+ ax |
|
→ xmax x |
|
|
|
н и чес ком ув и ду. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− + 2 − + x |
4 |
≤x2x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + − 2x4 ≤ 12x31 |
|
|
x2 |
|
bx |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
£ 62x; |
31 |
x+2 cx+ 4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
³ |
|
|
|
|
1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
а |
в |
|
с |
|
|
|
а |
в |
|
|
с |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
в |
|
|
|
с |
|
|
а |
в |
с |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
-1 |
|
6 |
|
5 |
2 |
|
3 |
|
11 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
16 |
3 |
3 |
1 |
||||
2 |
|
3 |
1 |
|
1 |
|
7 |
|
4 |
3 |
|
6 |
|
12 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
17 |
4 |
1 |
2 |
||||
3 |
|
4 |
2 |
|
-1 |
|
8 |
|
6 |
1 |
|
5 |
|
13 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
|
18 |
3 |
1 |
0 |
||||
4 |
|
7 |
2 |
|
3 |
|
9 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
14 |
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
19 |
4 |
1 |
3 |
||||
5 |
|
8 |
3 |
|
4 |
|
10 |
|
5 |
3 |
|
7 |
|
15 |
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
8 |
|
20 |
5 |
2 |
6 |
21
Л и нейное п р огр а м м и р ов а ни е
2. П р ов ер и т ь, яв ляет с я ли |
т очка |
x0 р еш |
|
ен и ем |
|
|
за да чи Л П : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+ |
x |
|
|
→ maxx |
x |
|
|
x |
a3 x |
|
|
4 |
) 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
|
|
4 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
-7x= x +14x+ |
|
- 75 + 6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
31 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
-10=x |
|
|
x+x 20 -x- 4-5 |
10 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
³ |
j = |
|
1 |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
= |
|
) |
x |
(2,0,0,3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
x |
5 |
|
→ minx |
2x |
31 |
3x |
b |
x |
4) |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
x31-1=x 2 |
+ - + |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
5 |
= x4x- 2x |
3 |
|
-2 6 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x j |
³ |
j = |
|
|
|
1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
= |
|
) |
x |
(2,1,0,0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. И |
с п ользуя т еор и ю с и м п лекс - м ет ода , |
н а йт и |
|
в с е зн а чен и я к, п р и |
кот ор ы х |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
т очка |
* |
= |
) яв ляетx с(1,2,0,1,0я р еш ен и ем |
за да чи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
− |
|
|
− |
kx |
5 |
|
→ maxx |
|
|
kxx |
2x |
5 |
3 |
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− + + |
|
|
|
− + 3x5 = 0 x4 |
2x3x1 |
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
+ |
|
|
|
− x53=x15x4 |
x3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ -7=x;x |
x |
2 |
|
+- - |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x j ³ |
|
j = |
|
|
1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
§5. М ет о д иск усст в ен н о го базиса и M-м ет о д реш ен ия |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
п ро изв о льн о й задачи лин ейн о го п ро грам м иро в ан ия |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
В с луча е, |
ес ли |
за да ча |
ли н ейн ого п р огр а м м и р ов а н и я за да н а |
|
в п р ои з- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
в ольн ойфор м е, |
т оот с ут с т в ует н еобходи м а я и н фор м а ци я для и с п ользов а н и я |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ба зов огос и м п лекс н огом ет ода , |
т оес т ь и с ходн ы йба зи с . Для от ы с ка н и я н а - |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ча льн ойба зи с н ойт очки |
м ож ет |
бы т ь и с п ользов а н |
п р и ем , за ключа ющ и йс я в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
с озда н и и |
с п еци а льн ой за да чи , |
с в яза н н ой с |
и с ходн ой с ледующ и м |
|
обр а зом : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
п р и |
р еш ен и и с озда н н ойза да чи |
с и м п лекс н ы м |
|
|
|
м ет одом |
ли бобудет |
п олучен а |
|
||||||||||||||||||||||||||
и с ком а я ба зи с н а я т очка , |
ли бо будет |
|
обн а р уж ен а |
п ус т от а |
|
доп ус т и м огом н о- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
ж ес т в а |
и с ходн ойза да чи . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
П ус т ьЗЛ П |
за да н а |
в |
ка н он и чес ком в и де (1)-(3). Вв едем н ов ы е (и с кус с т - |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
в ен н ы е) |
п ер ем ен н ы е в |
огр а н и чен и я за да чи т а к, |
|
чт обы |
в |
р езульт а т е обр а зо- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
в а лс я еди н и чн ы йба зи с |
(п ояв и ла с ь в озм ож н ос т ь в ы п и с а т ь и с ходн ую ба зи с - |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
н ую т очку): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + Ez=b (b³ 0)
x ³0, z ³0.
22