Лабораторные работы по ТВиМС

вы борк а

объ е ма N =

100 и з знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны ,

и ме ющ е й

нормальное расп ре де ле ни е N(1,2). Для уровня знач и мости

α=0.1

вы ч и сле ны

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области , Xright = 1.645, Xleft

=

-1.645,

и

оце нк а

мате мати ч е ск ог о ож и дани я Х mean = 1.12. В ы ск азана нулева я гипо т еза

о т о м,

ч т о знач е ни е п араме тра М ξ =a равно а0 = 1, т.е . Н0: a0

= 1. З ате м вы ч и сле но

знач е ни е

к ри те ри я ϕ =

-1.505

и , п оск ольк у -1.505 (-1.645,1.645),

нуле вая

г и п оте за п ри ни мае тсяна уровне

знач и мости

α =0.1.

В рассматри вае мом случ ае

к ри ти ч е ск ая область знач е ни и к ри те ри я ϕ, п ри

к оторы хг и п оте за H0 отве рг ае тся, п равосторонняя(ри с. 3).

32

К ри ти ч е ск ая точ к а удовле творяе т услови ю

P(ϕ > xr,α ) = α и находи тсяк ак

ре ше ни е уравне ни я ϕ(xr,α ) = 1− α .

К ог да

к ри ти ч е ск ая

область

най де на, мож но

вы ч и сли ть п о

вы борк е

знач е ни е к

ри те ри я ϕ и

п рове ри ть,

п оп адае т ли

оно

в к ри ти ч е ск ую

область.

Ни ж е

п ри ве де

н фраг ме нт

рабоч е г о док уме нта Mathcad,

соде рж ащ и й

п рове рк у

г и п оте зы

H0: a

= a1

о

ве ли ч и не мате мати ч е ск ог о

ож и дани я а

нормально

расп ре де ле нной

случ ай ной

ве ли ч и ны п ри альте рнати вной ги п оте зе

В

тре тье м случ ае

с

нуле вой

г и п оте зой

H0: a = a1

и

альте рнати вной

г и п оте зой

H1: a < a1

оп ять задади мся не к оторы м уровне м знач и мости α и

вы ч и сли м п о вы борк е

x = (x1, x2 ,.., xn ) знач е ни е

к ри те ри яϕ =

x

− a0

,

σ 2

x = 1 n

n

г де

x .

i

n åi=1

к ри те ри я ϕ п ри

В

рассматри вае мом случ ае к ри ти ч е ск ая область знач е ни и

к оторы хг и п оте за H0 отве рг ае тся, ле восторонняя(ри с. 4).

К ри ти ч е ск ая точ к а удовле творяе т услови ю P(ϕ < xl,α ) = α

и находи тся п о

формуле

xl,α

= − xr ,α ,

г де

xr,α –

ре ше ни е

уравне ни я Φ(xr,α ) = 1− α . К ог да

к ри ти ч е ск аяобластьнай де на, мож но вы ч и сли тьп о вы борк е

знач е ни е

к ри те ри я

ϕ и

п рове ри ть, п оп адае т

ли

оно

в к ри ти ч е ск ую область.

Е сли ϕ < xl,α , то

г и п оте за

H0

отве рг ае тся

и

п ри ни мае тся г и п оте за H1. Е сли

ж е

ϕ > xl,α ,то

г и п оте за H0 не

отве рг ае тся.

Ни ж е

п ри ве де н

фраг ме нт

рабоч е г о док уме нта Mathcad,

соде рж ащ и й

п рове рк у

г и п оте зы

о ве ли ч и не

мате мати ч е ск ог о

ож и дани я а

нормально

расп ре де ле нной случ ай ной ве ли ч и ны H0: a = 6 п ри

альте рнати вной г и п оте зе

H1: a < 6.

34

З АДАН И Е 7 а

Смоде ли руй те

вы борк у

100

знач е ни й

нормально

расп ре де ле нной

случ ай ной

ве ли ч и ны

с

ук азанны ми

п араме трами .

Сформули руй те

нуле вую

г и п оте зу о

ве ли ч и не

мате мати ч е ск ог о

ож и дани я и

п рове рьте

для заданны х

уровне й

знач и мости

три альте рнати вны е

ги п оте зы .

П ор я д ок вы полнени я зад ани я

1.

Смоде ли руй те оп и санную в услови и вы борк у.

2.

Най ди те п о вы борк е

точ е ч ную оце нк у мате мати ч е ск ог о ож и дани я.

3.

Сформули руй те

нуле вую

г и п оте зу о знач е ни и мате мати ч е ск ог о ож и дани я

4.

H0: a = a0.

знач е ни е

к ри те ри я.

В ы ч и сли те

5.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области

для

альте рнати вной

ги п оте зы

H1: a ¹ a0.

знач е ни е

к ри те ри я

с

г рани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

6. Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е

утве рж де ни е .

7.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области

для

альте рнати вной

ги п оте зы

8.

H1: a > a0.

знач е ни е

к ри те ри я

с

г рани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е

утве рж де ни е .

9.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области

для

альте рнати вной

ги п оте зы

H1: a < a0.

знач е ни е

к ри те ри я

с

г рани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

10. Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е

утве рж де ни е .

П р и мер вы полнени я

зад ани я

В

к аж дом

и зп ри ве де нны х вы ше

тре х фраг ме нтов рабоч и х док уме нтов

Mathcad п рове де ны п рове рк и дляодной

и зальте рнати вны хги п оте з.

5.2

П р овер ка

ги потезы

о ч и словом

знач ени и

математи ч еского

ож и д ани я

пр и

неи звестнойд и спер си и

М е тоди к а п рове рк и

г и п оте зв этом

случ ае

п рак ти ч е ск и

не

отли ч ае тся от

оп и санной

вы ше . О днак о те п е рьк ри те ри й

j и ме е т расп ре де ле ни е

Стью де нта, а

не стандартное

нормальное , к ак

в п ре ды дущ е м случ ае .

Е сли

x = (x1, x2 ,.., xn )

—

вы борк а и з нормальног о

расп ре де ле ни я и

x =

1

n

s2 =

1

n

− x )2

ве ли ч и ны

x

(x

i

,то п ри п рове рк е

нуле вой

г и п оте зы

1 и

n − 1 åi=1

n åi=1

H0: a = a0 и сп ользуе тсяк ри те ри й ϕ =

x − a

0

, к оторы й

п ри вы п олне ни и

г и п оте зы

s2

H0 и ме е т расп ре де ле ни е

n

Стью де нта с ч и слом сте п е не й свободы n - 1.

К ак

и в оп и санной

вы ше

ме тоди к е , рассмотри м три случ аяальте рнати вны х

г и п оте зп ри п рове рк е

ги п оте зы

H0: a = a0:

В п е рвом и зэти хслуч ае в,

H1: a ¹ a0, к ри ти ч е ск аяобластьдвусторонняя, и

е е

г рани цы

оп ре де ляю тсяи зуслови й

P(ϕ < xl,α ) = 0.5α, P(ϕ > xr,α ) = 0.5α . П ри ч е м

в

си лу

си мме три ч ности

расп ре де ле ни я Стью де нта

достаточ но вы ч и сли ть

тольк о xr,α, п оск ольк у xl,α = - xr,α.

α и

З адади мсяне к оторы м уровне м знач и мости

вы ч и сли м знач е ни е xr,α к ак

ре ше ни е

уравне ни я

Fn−1 xr,α

= 1 − 0 5α , г де

(Fn−1()x)

– . функ ци я

расп ре де ле ни я

Стью де нта с n

- 1 сте п е нями

свободы . К ог да к ри ти ч е ск ая область най де на,

мож но вы ч и сли ть п о

вы борк е

знач е ни е

к ри те ри я j и

п рове ри ть,

п оп адае т ли

оно в к ри ти ч е ск ую область. Е сли ϕ< xl,α и ли

ϕ> xr,α, то ги п оте за H0 отве рг ае тся

и

п ри ни мае тсяги п оте за H1. Е сли

ж е

xl,α < ϕ < xr,α, то п ри ни мае тсяг и п оте за H0.

В о

втором

случ ае ,

к ог да альте рнати вной

являе тся г и п оте за H1: a > a0,

к ри ти ч е ск ая

область

знач е ни й

к ри те ри я

j,

п ри

к оторы х

г и п оте за

H0

отве рг ае тся,

п равосторонняя. О на п ре дставляе т собой

и нте рвал (xr,α,+ ),

г де

к ри ти ч е ск ая точ к а удовле творяе т услови ю

P(ϕ > xr,α ) = α

и

находи тся к ак

ре ше ни е

уравне ни я

Fn−1

xr,α

= 1− α

(п ри )

не к оторы м

заданном

уровне

знач и мости α.

x = (x1, x2 ,.., xn ) знач е ни е

Т е п е рь

вы ч и сли м

п о

вы борк е

к ри те ри я

ϕ =

x − a0

,

s2

n

г де

x =

1

n

x

, s2 =

1

n

(x

− x)2 ,

и

п рове ри м,

п оп адае т

ли

оно

в

n

åi=1

n −1

i

åi=1

i

к ри ти ч е ск ую

область. Е сли

ϕ > xr ,α ,

то ги п оте за H0 отве рг ае тся и

п ри ни мае тся

г и п оте за H1.

H1: a < а 0 к ри ти ч е ск аяобласть

В тре тье м случ ае

альте рнати вной г и п оте зы

ле восторонняяи

п ре дставляе т собой

и нте рвал (− , xl,α). К ри ти ч е ск ая точ к а xl,α

удовле творяе т услови ю P(ϕ < xl,α) = α и

находи тся п о формуле

xl,α = - xr,α, г де

xr,α – ре ше ни е

уравне ни яFn−1

xr,α

= 1 − α . (

)

Е сли

вы бороч ное

знач е ни е

к ри те ри яп оп адае т в к ри ти ч е ск ую

область,

т.е .

j < <xl,α, то ги п оте за H0 отве рг ае тся и

п ри ни мае тся ги п оте за H1. Е сли ж е

j >

xl,α, то ги п оте за H0 не

отве рг ае тся.

З АДАН И Е 7 б

Смоде ли руй те

вы борк у

100

знач е ни й

нормально

расп ре де ле нной

случ ай ной

ве ли ч и ны

с ук азанны ми

п араме трами .

Сформули руй те

нуле вую

г и п оте зу

о

ве ли ч и не

мате мати ч е ск ог о

ож и дани я и

п рове рьте

для заданны х

уровне й

знач и мости три альте рнати вны е

ги п оте зы .

36

2.

Най ди те

п о вы борк е

точ е ч ную оце нк у мате мати ч е ск ог о ож и дани я.

3.

Най ди те

п о вы борк е

точ е ч ную оце нк у ди сп е рси и .

4.

Сформули руй те

нуле вую г и п оте зу

о

знач е ни и

мате мати ч е ск ог о

ож и дани яH0 : a=a0.

к ри те ри я.

5.

В

ы ч и сли те знач е ни е

6.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области

для альте рнати вной

ги п оте зы

H1: a ¹ a0.

знач е ни е

к ри те ри я с грани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

7.

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е

утве рж де ни е .

8.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области

для альте рнати вной

ги п оте зы

H1 : a > a0.

знач е ни е

к ри те ри я с грани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

9.

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е

утве рж де ни е .

10. Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой области

для альте рнати вной

ги п оте зы

H1 : a > a0.

знач е ни е к ри те ри я с грани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

11.

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е

утве рж де ни е .

5.3 П р овер ка ги потезы о ч и словом знач ени и д и спер си и

П усть x = (x1,x2,..,xn) – вы борк а объ е ма n и знормальног о расп ре де ле ни я.

Т ре буе тся п рове ри ть нуле вую

г и п оте зу о том, ч то

п араме тр

нормальног о

расп ре де ле ни яs2 раве нзаране е заданному ч и слу s02, т.е . H0 : s2>s02 .

В

п роце дуре

п рове рк и

г и п оте зы и сп ользуе тсяк ри те ри й ϕ = (n − 1)

s2

,

σ 0

2

s2

=

1

n

(xi

− x )2

–

не сме щ е нная

точ е ч ная оце нк а

ди сп е рси и ,

n −1 åi=1

1

n

x =

xi

– оце нк а мате мати ч е ск ог о

ож и дани я. П оск ольк у

рассматри вае тся

n åi=1

j

c2

вы борк а

и з

нормальног о

расп ре де ле ни я,

то

к ри те ри й

и ме е т

-

расп ре де ле ни е с n - 1 сте п е нями

свободы .

К ак

и

ране е , рассмотри м три случ аяальте рнати вны хг и п оте зп ри п рове рк е

г и п оте зы H0 : s2>s02:

l) H1 : s2 ¹ s02;

(ри с. 5) и е е

г рани цы оп ре де ляютсяи зуслови й P(j < xl,α) = 0.5a, P(j > xr,α) =

0.5a.

a и най де м знач е ни е xl,α к ак

З адади мся не к оторы м уровне м знач и мости

ре ше ни е уравне ни яFn-1(xl,α) = 1 - 0.5a., а xr,α – к ак

ре ше ни е уравне ни яFn-1(xr,α) =

1 - 0.5a., г де

Fn-1(x) – функ ци яc2-расп ре де ле ни яс n-1 сте п е нями свободы .

К ог да

к ри ти ч е ск ая область най де на,

мож но вы ч и сли ть п о вы борк е

знач е ни е к ри те ри яϕ и п рове ри ть, п оп адае т ли

оно в к ри ти ч е ск ую область. Е сли

ϕ < xl,α и ли

ϕ > xr,α, то г и п оте за H0 отве рг ае тсяи п ри ни мае тсяг и п оте за H0. Е сли

область знач е ни й

к ри те ри я

ϕ,

п ри

к оторы х

г и п оте за

H0

отве рг ае тся,

п равосторонняяи п ре дставляе т собой

и нте рвал (xr,α,+∞ ), г де к ри ти ч е ск аяточ к а

удовле творяе т услови ю Р(ϕ>xr,α) = α и

находи тся к ак

ре ше ни е

уравне ни я Fn-

1(xr,α) = 1 - α п ри не к отором заданном уровне

знач и мости α.

к ри те ри я ϕ и

Т е п е рь вы ч и сли м

п о

вы борк е

x = (x1, x2 ,.., xn )

знач е ни е

п рове ри м, п оп адае т ли

оно в к ри ти ч е ск ую область. Е сли

ϕ>xr,α , то г и п оте за H0

отве рг ае тсяи п ри ни мае тсяги п оте за H0.

H1: σ2 <

σ02

В

тре тье м случ ае

альте рнати вной

ги п оте зы

к ри ти ч е cк ая

областьле восторонняяи п ре дставляе т собой

и нте рвал (0, xl,α), г де

к ри ти ч е ск ая

точ к а

xl,α

удовле творяе т

услови ю

Р(ϕ<xr,α)

=

α и

находи тся к ак

ре ше ни е

уравне ни я

Fn-1(xl,α)

=

α.

Е сли

вы бороч ное

знач е ни е

к ри те ри я п оп адае т в

к ри ти ч е ск ую область,

т.е . ϕ<xl,α, то

ги п оте за H0 отве рг ае тся и

п ри ни мае тся

г и п оте за H1. Е сли ж е

ϕ > xl,α, то г и п оте за H0 не отве рг ае тся.

З АДАН И Е 7 в

Смоде ли руй те

вы борк у

100

знач е ни й

нормально

расп ре де ле нной

случ ай ной

ве ли ч и ны

с ук азанны ми

п араме трами .

Сформули руй те

нуле вую

г и п оте зу о ве ли ч и не

ди сп е рси и

и п рове рьте длязаданны хуровне й

знач и мости

три альте рнати вны е

ги п оте зы .

2.

Най ди те

п о вы борк е

точ е ч ную оце нк у мате мати ч е ск ог о ож и дани я.

3.

Най ди те

п о вы борк е

точ е ч ную оце нк у ди сп е рси и .

4.

Сформули руй те

нуле вую г и п оте зу о знач е ни и мате мати ч е ск ог о

38

36.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области для альте рнати вной

ги п оте зы

H1: s2 ¹ s02.

знач е ни е

к ри те ри я

с грани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

7.

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е утве рж де ни е .

8.

Най ди те

г рани цы к ри ти ч е ск ой

области для альте рнати вной

ги п оте зы

H1: s2 > s02.

знач е ни е

к ри те ри я

с грани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

9.

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е утве рж де ни е .

10.

Най ди те

г рани цы

к ри ти ч е ск ой

области для альте рнати вной

ги п оте зы

H1: s2 < s02.

знач е ни е к ри те ри я с грани цами

к ри ти ч е ск ой

области

и

11.

Сравни те

сформули руй те

соотве тствую щ е е утве рж де ни е .

1. П ли с А.И . MathСad: мате мати ч е ск и й

п рак ти к ум для эк ономи стов и

и нж е не ров / А.И . П ли с, Н.А. Сли ви на.—

М .: Фи нансы и стати сти к а, 2000.

3. Т ю ри н Ю .Н. Стати сти ч е ск и й

анали з данны х на к омп ью те ре ⁄Ю .Н.

Т ю ри н, А.А. М ак аров. — М .: И

НФРА-М , 1998.— 528с.

39

С О ДЕ РЖ

АН И

Е

1. И спользуемы е и нстр ументы

М

athcad …

…

…

…

…

…

…

…

…

... .3

М оде ли ровани е вы борок

и зстандартны храсп ре де ле ни й …

…

…

...…

.4

2. О сновны езад ач и стати сти ки . В ы бор ки . Ги стогр аммы .

П оли гоны ч астот…

…

..…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.…

…

…

…

…

…

..…

....5

З адани е

1…

… … …

…

…

…

…

…

…

…

…

..…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

..…

…

7

Ч и словы е харак те ри сти к и

вы борк и

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

..…

11

З адани е

2…

… … …

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.…

.13

О це нк а

функ ци и

расп ре де ле ни я…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.…

…

.15

З адани е

3…

… … …

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.18

3. Т оч еч ны еоценки пар аметр ов р аспр ед елени й…

…

…

…

…

…

...19

З адани е

4…

… … … … … …

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.…

21

4. М етод ы

получ ени я точ еч ны хоценок …

…

…

…

…

…

…

…

...…

..23

М е тод мак си мальног о п равдоп одоби ядляди ск ре тной

случ ай ной

З

адани е 5… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

… … … … ..24

М

е тод мак си мальног о п равдободоби я дляне п ре ры вной

случ ай ной

З адани е

6…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

..26

5. П р овер ка стати сти ч ески хги потезо пар аметр ахнор мально

р аспр ед еленнойслуч айнойвели ч и ны …

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

..28

З адани е

7а…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

34

З адани е

7б…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

....35

З адани е

7в…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

37

Ли тер атур а…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

.38