Лабораторные работы по ТВиМС

12

и сп ользуе тсяве ли ч и на

1

n

s2 =

å(xi − x)2.

n −1 i=1

Ра зма хвыбо рки вы ч и сляе тсяп о формуле

R= xmax-xmin

75%-ная к варти ль,

М еж ква рт ильный ра зма х раве н x0.75-x0.25

г де x0.75 –

ре ше ни е уравне ни яFn(x0.75) = 0.75, x0.25 – 25%-наяк варти ль, ре ше ни е

уравне ни я

Fn(x0.25) = 0.25.

В ы бороч ны й эк сце сс

оп ре де ляе тся

сле дующ и м

образом.

Снач ала

оты ск и вае тсяве ли ч и на вы бороч ног о це нтральног о моме нта 4-г о п орядк а

μˆ4 = 1

n

å xi −( x 4 . )

n

i=1

А зате м п о сле дую щ е й

формуле

вы ч и сляе тсявы бороч ны й эк сце сс:

ˆ

2

)

−2

− 3.

E = μˆ4 (s

П оказатели

аси мметр и и .

На

основани и

эти х п ок азате ле й

и зуч аю т

и нформаци ю о

си мме три и

расп ре де ле ни я вы бороч ны х данны х ок оло це нтра

1

n

μˆ3 =

å(xi − x)3

n

г де

i=1

— вы бороч ны й це нтральны й моме нт 3-г о п орядк а, а

σ –

стандартное

отк лоне ни е , формула для вы ч и сле ни я к оторог о п ри ве де на

вы ше .

13

З АДАН И Е 2

Для вы борк и , сформи рованной в п ре ды дущ е м

задани и , вы ч и сли те все

оп и санны е вы ше вы бороч ны е харак те ри сти к и .

П орядок вы п олне ни язадани я

1.

П роч ти те сохране нны й ране е фай л, соде рж ащ и й

вы борк у.

2.

В ы ч и сли те мак си мальны й и ми ни мальны й эле ме нты и размахвы борк и .

5.

В ы ч и сли те

вы бороч ную ди сп е рси ю и стандартное отк лоне ни е .

6.

Най ди те вы бороч ны е моме нты 3-г о и 4-г о п орядк ов.

7.

В ы ч и сли те

вы бороч ны й

эк сце сс.

8.

О п ре де ли те к оэффи ци е

нт аси мме три и .

П р и мер вы полнени я

зад ани я

Ни ж е

п ре дставле н фраг ме нт рабоч е г о док уме нта Mathcad, соде рж ащ и й

вы ч и сле ни е

харак те ри сти к

вы бороч ны хданны х, п ри ве дённы хв нач але разде ла.

Ука за ние. В

Mathcad не т встрое нны х функ ци й для вы ч и сле ни я вы бороч ны х

моме нтов.

Для оп ре де ле ни я сре дне к вадрати ч ног о отк лоне ни я в Mathcad

15

расп ре де ле ни я Fξ(x),

е сли

она не п ре ры вна. Боле е

тог о,

сп раве дли ва те оре ма

К олмог орова:

е сли

функ ци я расп ре де ле ни я

Fξ(x)

случ ай ной

ве ли ч и ны

ξ

не п ре ры вна, a Fn(x) – е е вы бороч наяфунк ци ярасп ре де ле ни я, то п ри

n→∞

æ

z

ö

ì

z £

, 0

0,

ˆn

ï

∞

çsup

-

n

x

<FP

x÷ ®F K z) =( í

) 2 (2

(

)

è x

n ø

ï

å -

e−k2 z

k z >

. 0

,

( )1

îk =−∞

Функ ци яK(z) п ре дставляе т собой

функ ци ональны й

ряд, к оторы й

сле дуе т

п ротабули ровать.

Сразу

обрати м вни мани е

на

то,

ч то

этот

ряд

сходи тся

абсолю тно длявсе хz>0, но не равноме рно на п роме ж утк е

[0, +∞ ]. Это означ ае т,

ч то длядости ж е ни язаданной

точ ности п ри вы ч и сле ни и

K(z) ч и сло N ч ле нов в

соотве тствую щ е й

ч асти ч ной

сумме зави си т от z. Е сли

ε – тре буе мая точ ность

é1

ù

ч и сло N вы ч и сляе тся п о

1

1

вы ч и сле ни я К (z),

то

формуле

N = ê

ln

ú + 1,

г де

2

ε

си мволом [ ] обознач е на це лаяч астьч и сла.

ë z

û

Ни ж е

п ри ве де н

фраг ме нт

рабоч е г о

док уме нта

Mathcad,

соде рж ащ и й

п ри бли ж е нное

оп ре де ле ни е

функ ци и

K(z)

для ε

=

0.001,

N

= 3,

и

соотве тствую щ и е

г рафи к и .

16

И зп ри ве де нны х в док уме нте

г рафи к ов ви дно, ч то для малы х z ве ли ч и ну

K(z) мож но п олож и ть равной

нулю , а для z > 2 мож но сч и тать K(z) равной

е ди ни це .

α

З адади мся ве роятностью

так ой , ч то собы ти е , п рои сходящ е е с

ˆ

zα

ˆ

zα

Fn x

ξ

) ( n (x) +FF(

)

x

< −

<

n

n

к 1-α.

вы п олняе тсядлявсе хде й стви те льны ххс ве роятностью , бли зк ой

Т ак и м

образом,

в

ок ре стности эмп и ри ч е ск ой

функ ци и

расп ре де ле ни я

п острое н

"к ори дор",

в

к отором

ле ж и т

и сти нная,

те оре ти ч е ск ая функ ци я

В ме сто

эмп и ри ч е ск ой

функ ци и

расп ре де ле ни я

буде м и сп ользовать

функ ци ю нак оп ле нны хотноси те льны хч астот, п оск ольк у

ˆ

Fn (x) = Fk, для x (ξk-

1,ξk] и знач е ни яфунк ци й

совп адают вне

п роме ж утк а [xmin, xmax].

На сле дую щ е й

страни це п ри ве де нфраг ме нт рабоч е г о док уме нта Mathcad с

п острое ни е м

95%-ног о

"к ори дора" для функ ци и

расп ре де ле ни я случ ай ной

ве ли ч и ны п о п ри ве де нной вы борк е .

Ука за ние.

К ак

уж е

отме ч алось вы ше , в к ач е стве эмп и ри ч е ск ой функ ци и

расп ре де ле ни я

и сп ользована

эмп и ри ч е ск ая функ ци я нак оп ле нны х ч астот.

З аме ти м, ч то

Mathcad вме сто

г рафи к а ступ е нч атой

функ ци и

строи т ломаную

ли ни ю , сое ди няя

"ступ е ньк и "

ве рти к альны ми

отре зк ами

п рямы х. К оре нь

уравне ни я 1 – К (z)

=α

п рощ е

все г о

най ти г рафи ч е ск и ,

и сп ользуя оп е раци ю

Trace п унк та

Graph ме ню Format), к ак точ к у

п е ре се ч е ни я г рафи к а K(z) и

Для

оце нк и

п лотности

расп ре де ле ни я

случ ай ной

ве ли ч и ны

мож но

восп ользоваться п оли г оном ч астот, к оторы й п ре дставле н вы ше .

П ри не

оч е нь

строг и х ог рани ч е ни ях док азано, ч то

вы бороч ная п лотность ве роятносте й , т.е .

п оли г он ч астот, с

ростом

объ е ма

вы борк и

до бе ск оне ч ности

стре ми тся к

и сти нной , те оре ти ч е ск ой

п лотности

расп ре де ле ни я и ссле дуе мой

случ ай ной

ве ли ч и ны .

З АДАН И Е 3

П острой те длявы борк и , сформи рованной

в задани и 1, 95%-ны й

"к ори дор"

дляфунк ци и

расп ре де ле ни яи ссле дуе мой

случ ай ной

ве ли ч и ны .

П ор я д ок вы полнени я

зад ани я

1. П роч и тай те

фай л, сохране нны й

п ри вы п олне ни и задани я1.

2. О п ре де ли те

стати сти к у К олмог орова —

функ ци ю

K(z) и

п острой те е е

г рафи к .

α.

3. О п ре де ли те

знач е ни е ве ли ч и ны

4. Ре ши те г рафи ч е ск и уравне ни е

1 - K(z) = α.

5. П острой те "к ори дор" дляте оре ти ч е ск ой

функ ци и расп ре де ле ни я.

П р и мер вы полнени я

зад ани я

П ри ме р

п острое ни я 95%-ног о

"к ори дора" функ ци и

расп ре де ле ни я для

и ссле дуе мой

во все хп ри ме рахэтог о разде ла вы борк и

250 знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны п ри ве де нвы ше .

3. Т О Ч Е Ч Н Ы

Е О Ц Е Н КИ

П АРАМ

Е Т РО В РАС П РЕ ДЕ ЛЕ Н И Й

П ре дп олож и м, ч то функ ци ярасп ре де ле ни я случ ай ной

ве ли ч и ны

ξ зави си т

от не и зве стног о п араме тра θ: P(ξ<X)

=

Fξ(x,θ). Е сли

x1,x2,..,xn

– вы борк а и з

г е не ральной

совок уп ности

случ ай ной

ве ли ч и ны ξ,

то

оце нк ой

θˆ п араме тра θ

назы вае тся п рои звольная функ ци я от вы бороч ны х знач е ни й

θˆ =θˆ (

x1,x2,..,xn).

К оне ч но,

и сп ользуе мы е

на

п рак ти к е

оце нк и

θˆn (x1,x2,..,xn)

не

совсе м

п рои звольны е функ ци и : они обладаю т рядом свой ств,

к оторы е

обе сп е ч и ваю т в

19

не к отором

смы сле

оп ти мальное

и звле ч е ни е

и нформаци и и з

вы борок .

Рассмотри м эти свой ства.

Т оч еч ны еоценки математи ч еского ож и д ани я

Сле дуе т отме ти ть, ч то знач е ни е

оце нк и

θˆ ме няе тсяот вы борк и к

вы борк е

и , знач и т,

θˆ

е сть

случ ай ная ве ли ч и на.

Е сте стве нно п отре бовать,

ч тобы

знач е ни яэтой

случ ай ной ве ли ч и ны

в больши нстве

эк сп е ри ме нтов бы ли

бли зк и

знач е ни я

n

мате мати ч е ск ое

ож и дани е

ве ли ч и ны

θˆn

равно

и сти нному

(те оре ти ч е ск ому) знач е ни ю п араме тра θˆ : Mθˆn = θ.

О це нк и

θˆn ,

удовле творяющ и е

услови ю

Mθˆn =θ,

назы ваю тся

нес мещ енными. Не сме щ е нностьоце нк и

означ ае т, ч то эта оце нк а не

не се т в се бе

си сте мати ч е ск ой

оши бк и .

оце нк и , —

Е щ е

одно

важ ное

свой ство,

к оторы м

долж ны

обладать

состояте льность.

О це нк а θˆn назы вае тся с о с т о ят ельно й оце нк ой

п араме тра θ,

е сли длялю бог о ε>0 сп раве дли во: lim P(|θn^-θ|<ε) =1.

П оясни м

смы сл п осле дне г о

раве нства. П усть ε>0 – к ак

уг одно малое

п олож и те льное

ч и сло. Т ог да с ростом п расте т наша уве ре нность в том, ч то

знач е ни е

оце нк и

θˆn отли ч ае тся от и сти нног о знач е ни я п араме тра θ не боле е

ч е м на ве ли ч и ну ε,

т.е . с ростом

объ е ма вы борк и

уве ли ч и вае тся точ ность

ре зультата. П равда,

зде сь п ри ходи тся отой ти

от

тради ци онног о п оняти я

точ ности :

не т г аранти и ,

ч то

|θˆn -θ|<ε,

однак о

утве рж дае тся,

ч то,

нач и ная с

не к оторог о п, собы ти е |θˆn -θ|<ε станови тсяп рак ти ч е ск и достове рны м.

В ообщ е

г оворя, дляоце нк и одног о и тог о ж е

п араме тра мож но п ри думать

мног о разли ч ны х

не сме щ е нны х

и

состояте льны х

оце нок .

Рассмотри м

не ск ольк о п ри ме ров.

П усть

x1,

x2, .., xn

–

вы борк а

и з

г е не ральной

совок уп ности ,

соотве тствую щ е й

случ ай ной

ве ли ч и не

ξ

с

не и зве стны м

мате мати ч е ск и м

ож и дани е м Mξ=θ и и зве стной

ди сп е рси е й Dξ=σ2. П острои м не ск ольк о оце нок

не и зве стног о

п араме тра Mξ=θ. Нап ри ме р, е сли

θˆn

(1) =x1, то

Mθˆn

(1) =x1, т.е .

20

æ

ξ

+ 2ξ

+ ... + nξ

ö

Mθˆn(2) = M

ç

n

÷

=

ç

1

2

÷

ç

n(n +1)

÷

2

è

ø

2

×θ (1 + 2 + ... + n) =

=

n(n +1)

=

2θ

× n(n +1)

=θ ,

n(n +1)

2

æ

ö

Dθˆn

)(2

ç

1

2

2

...+ + nξ+ ÷

ξ

ξ4

σ

2

2

2

2

= Dç

n

÷

=

n

) =

...+×

+ 2

+(1

n n(+

)1

n

2

n(+

2

ç

÷

)1

ç

÷

2

4σ 2

è

ø

+

+ )1

2(n)(+1)1 2

2(n

n n

=

×

=

σ

.

n

2

n(+

2

6

)1

n n + )1 3 (

П оск ольк у

Dθˆn

)(2→ 0 п ри

n®∞ , то, сог ласно зак ону больши х ч и се л, для e> 0

сп раве дли во

lim P(

$(2)

- θ

< ε )

= 1, т.е . и ме е м состояте льную оце нк у.

θ n

θˆn(3)

=

x1

+ x2 + ... + xn

,

у к оторой

n

1

1

(3)

(Mξ1

+...+ Mξ n ) =

Mθ n

=

+ Mξ2

θ n = θ

n

n

σ 2

(3)

1

(Dξ1 + Dξ2 +...+Dξn ) =

1

2

Dθ n

=

nσ

=

n → 0

n2

n2

п ри n®∞ , т.е . п осле дняяоце нк а так ж е

не сме щ е ннаяи состояте льная. К ак ой

ж е

оце нк е

отдатьп ре дп оч те ни е ? Длятог о ч тобы отве ти тьна этот воп рос, сравни м

ди сп е рси и п осле дни хдвухоце нок .

$(3)

σ 2

$(2)

2(2n +1)

2

σ 2

æ

n -1

ö

П оск ольк у

Dθ n

=

, Dθ n

=

σ

=

ç1 +

÷

,

то

n

3n(n

+1)

n

(2)

(3)

è

3(n +1)ø

т.е .

оце нк а

ˆ

(3)

дае т ме ньши й

разброс

ок оло

знач е ни й

Dθ n

> Dθ n

,

θn

п араме тра q и ,

сле довате льно,

п ре дп оч ти те льне е . В так ом случ ае

г оворят, ч то

оце нк а θˆn

(3)эффект ивнее оце нк и

θˆn

(2). Т е п е рь е сте стве нно п остави ть воп рос о

п острое ни и

самой эффе к ти вной

оце нк и – об оце нк е

с ми ни мальной

ди сп е рси е й .

Т ак ая оце нк а назы вае тся эффект ивно й оце нк ой .

Док азано,

ч то эффе к ти вной

оце нк ой

мате мати ч е ск ог о ож и дани я

нормально

расп ре де ле нной

случ ай ной