Лабораторные работы по ТВиМС

21

ве ли ч и ны

являе тся оце нк а

θˆn =(x1+x2+…

+xn)/n. И ме нно п оэтому

п осле дняя

оце нк а так

ши рок о

и сп ользуе тся в мате мати ч е ск ой

стати сти к е . И так ,

вп ре дь

для

оце нк и

не и зве стног о

мате мати ч е ск ог о

ож и дани я случ ай ной

ве ли ч и ны

буде м и сп ользоватьвыбо ро ч но е с реднее, т. е :

θˆn

= x =

x1+ + x2

+ ... + xn

.

n

Т оч еч ны еоценки д и спер си и

Для ди сп е рси и

σ2

случ ай ной ве ли ч и ны ξ мож но п ре длож и ть сле дую щ ую

оце нк у:

=

1

n

x −( x

2 , )

DX

x

– вы бороч ное

сре дне е ,

i

г де

n åi =1

Док азано, ч то эта оце нк а состояте льная, но с мещ енна я.

В

к ач е стве состояте льной

не сме щ е нной

оце нк и

ди сп е рси и

и сп ользую т

ве ли ч и ну

2

1

n

2

1

æ

n

2

2

ö

s

=

å(xi - x)

=

ç

åxi

- nx

÷.

n

n -1

-1 i=1

è i=1

s2

ø

И ме нно

не сме щ е нностью

оце нк и

объ ясняе тся е е

боле е

ч астое

и сп ользовани е

в к ач е стве

оце нк и ве ли ч и ны Dξ.

З аме ти м, ч то

Mathcad п ре длаг ае т в к ач е стве

оце нк и ди сп е рси и

ве ли ч и ну

DX

, а не s2: функ ци яvar(x) вы ч и сляе т ве ли ч и ну:

n

1

n

1n åi=1

(xi − mean(x))2

, г де

mean(x) - вы бороч ное

сре дне е :

åi=1

xi .

n

З АДАН И Е 4

Най ди те

состояте льны е

не сме щ е нны е

оце нк и мате мати ч е ск ог о

ож и дани я

М ξ

и

ди сп е рси и

Dξ

случ ай ной

ве ли ч и ны

ξ

п о

п ри ве де нны м

в задани и

вы бороч ны м знач е ни ям x1, x2, .., xn.

П ор я д ок вы полнени я

зад ани я

1.

П роч и тай те

с

ди ск а фай л,

соде рж ащ и й

вы бороч ны е

знач е ни я,

и ли

вве ди те

заданную вы борк у с к лави атуры .

2. В

ы ч и сли те

точ е ч ны е

оце нк и

М ξ и

Dξ.

П р и мер вы полнени я

зад ани я

Най ди те

состояте льны е

не сме щ е нны е

оце нк и мате мати ч е ск ог о

ож и дани я

М ξ

и

ди сп е рси и

Dξ

случ ай ной

ве ли ч и ны

ξ

п о

вы бороч ны м

знач е ни ям,

заданны м сле дующ е й табли це й .

X

904.3

910.2

916.6

928.8

935.0

941.2

947.4

953.6

959.8

966.0

972.2

978.

4

N

1

3

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

24

В сп омни м,

ч то

мате мати ч е ск ое

ож и дани е

случ ай ной ве ли ч и ны

ξ,

и ме ю щ е й расп ре де ле ни е П уассона с п араме тром λ, равно

М ξ

= λ и

ч то

эффе к ти вной ,

не сме щ е нной , состояте льной

оце нк ой

мате мати ч е ск ог о

1

ож и дани яξ п о вы борк е m1,m2,.. mn являе тсяве ли ч и на m =

= λ .

n(m1

+...+mn )

В Mathcad для моде ли ровани я вы борк и знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны ,

расп ре де ле нной

п о

зак ону П уассона,

п ре дназнач е на

функ ци я

rpois(k,λ)),

З АДАН И Е 5

Смоде ли руй те не ск ольк о вы борок объ е ма п знач е ни й случ ай ной

ве ли ч и ны

ξ, и ме ю щ е й расп ре де ле ни е П уассона с п араме тром λ=0.1N, N – номе р вари анта.

Дляодной вы борк и п острой те г рафи к функ ци и п равдоп одоби я. Най ди те оце нк у

мак си мальног о п равдоп одоби я п араме тра λ к ак функ ци ю объ е ма

вы борк и .

10N п ри N > 15. И зобрази те

на г рафи к е

зави си мостьоце нк и от объ е ма вы борк и .

Сравни те п олуч е нны е

оце нк и с заданны м знач е ни е м п араме тра.

П ор я д ок вы полнени я

зад ани я

1.

Смоде ли руй те

вы борк у

знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны ,

и ме ющ е й

расп ре де ле ни е

П уассона с заданны м знач е ни е м п араме тра λ.

2.

О п ре де ли те

лог ари фм

функ ци и

мак си мальног о

п равдоп одоби я и

и зобрази те е г о г рафи к .

3.

Смоде ли руй те

не ск ольк о

вы борок разног о объ е ма знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны , и ме ю щ е й

расп ре де ле ни е

П уассона

с

заданны м

знач е ни е м

п араме тра λ.

п равдоп одоби я п араме тра λ к ак

4.

В ы ч и сли те

оце нк у

мак си мальног о

функ ци ю объ е ма вы борк и .

5.

И зобрази те

на

г рафи к е

зави си мость

оце нк и

мак си мальног о

п равдоп одоби яот объ е ма вы борк и .

П р и мер вы полнени я зад ани я

В

п ри ве де нном

ни ж е фраг ме нте

рабоч е г о

док уме нта

вы п олне ны

26

4.2 М

етод макси мального пр авд опод оби я д ля непр ер ы внойслуч айной

вели ч и ны

П устьξ – случ ай наяве ли ч и на, расп ре де ле ннаяп о п ок азате льному зак ону с

не и зве стны м п араме тром λ:

ì

x < 0

0,

Pξ (x) = í

îλe−λx , x ³ 0

З адач а состои т

в

п острое ни и

ме тодом

мак си мальног о

п равдоп одоби я

оце нк и

λ п араме тра λ п о вы бороч ны м знач е ни ям x1,x2,..,xn.

П о аналог и и

с п ре ды дущ и м разде лом оп ре де ли м функ ци ю п равдоп одоби я

раве нством

n

L(x1, x2 ,.., xn ) = ∏ pξ (xi ) = λne−λ( x1 +...+ xn ) .

i=1

К ак ви дно,

функ ци я п равдоп одоби я зави си т не

тольк о

от вы бороч ны х

знач е ни й ,

но и от не и зве стног о п араме тра расп ре де ле ни я λ.

К ак

и

вы ше , за

оце нк у не и зве стног о

п араме тра λ п ри ме м так ое ч и сло

доставляе т

λ , к оторое

мак си мум

функ ци и

п равдоп одоби я.

Снова п е ре ходи м

к лог ари фму функ ци и

п равдоп одоби я,

п ри ме няе м

не обходи мое

услови е

эк стре мума

и п осле

не слож ны хвы ч и сле ни й

п олуч ае м:

ln L = nln λ − (x + ... + x )λ,

∂ ln L

=

n

− (x + ... + x ) = 0

1

n

∂λ

λ

1

n

ˆ

n

1

λ =

=

,

x + ... + x

x

1

n

ч то е сте стве нно,

п оск ольк у

мате мати ч е ск ое

ож и дани е

случ ай ной

ве ли ч и ны ,

и ме ю щ е й

п ок азате льное

расп ре де ле ни е с п араме тром λ, равно 1/λ.

В

Mathcad для моде ли ровани я вы борк и

знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны ,

и ме ю щ е й

п ок азате льное

расп ре де ле ни е , п ре дназнач е на функ ци я

rexp(k,λ),

З АДАН И Е 6

Смоде ли руй те не ск ольк о вы борок объ е ма n знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны

ξ, и ме ю щ е й п ок азате льное расп ре де ле ни е с п араме тром

λ == 0.1N, г де N –

номе р вари анта.

Для

одной

вы борк и

п острой те

г рафи к

функ ци и

п равдоп одоби я. Най ди те

оце нк у мак си мальног о п равдоп одоби я п араме тра λ

к ак

функ ци ю объ е ма вы борк и . В ы п олни те вы ч и сле ни ядляn = 10N, 20N,.... 50N

п ри

N < =15 и для n = N, 2N,..., 10N п ри

N > 15. И зобрази те на г рафи к е

зави си мость оце нк и

от

объ е ма

вы борк и .

Сравни те п олуч е нны е

оце нк и с

заданны м знач е ни е м п араме тра.

27

П ор я д ок вы полнени я

зад ани я

1.

Смоде ли руй те

вы борк у

знач е ни й

случ ай ной ве ли ч и ны ,

и ме ющ е й

эк сп оне нци альное

расп ре де ле ни е

с заданны м знач е ни е м п араме тра λ.

2.

О п ре де ли те

лог ари фм

функ ци и

мак си мальног о п равдоп одоби я и

и зобрази те

е г о г рафи к .

3.

Смоде ли руй те

не ск ольк о

вы борок разног о объ е ма знач е ни й

случ ай ной

ве ли ч и ны ,

и ме ю щ е й

эк сп оне нци альное расп ре де ле ни е

с

заданны м

знач е ни е м п араме тра λ.

п равдоп одоби я п араме тра λ к ак

4.

В ы ч и сли те

оце нк у

мак си мальног о

функ ци ю объ е ма вы борк и .

5.

И зобрази те

на

г рафи к е

зави си мость оце нк и

мак си мальног о

п равдоп одоби яот объ е ма вы борк и .

П р и мер вы полнени я зад ани я

В п ри ве де нном ни ж е

фраг ме нте

рабоч е г о док уме нта вы п олне ны тре буе мы е

28

5. П РО В Е РКА С Т АТ И С Т И Ч Е С КИ Х ГИ П О Т Е З О П АРАМ

Е Т РАХ

Н О РМ АЛЬ Н О РАС П РЕ ДЕ ЛЕ Н Н О Й С ЛУ Ч АЙ Н О Й В Е ЛИ Ч И Н Ы

вы борк е

и з случ ай ной

П усть дана не к оторая оце нк а θ , п острое нная п о

ве ли ч и ны ξ.

Е сть основани я сч и тать,

ч то и сти нное

знач е ни е

оце ни вае мог о

п араме тра равно θ0. О днак о вы бороч ное

знач е ни е θ вряд ли буде т совп адатьс

θ0, п оск ольк у

В связи с эти м возни к ае т воп рос, п ри

θ – случ ай ная ве ли ч и на.

к ак ом отк лоне ни и θ от θ0 и с к ак ой сте п е нью уве ре нности мож но утве рж дать,

ч то и сти нное

знач е ни е оце ни вае мог о п араме тра θ отли ч но от θ0. О тве том на

тог о, ч то

θ0 больше не к оторог о фи к си рованног о ч и сла, о ве ли ч и не к оторог о

θ -

буде т ск азано ни ж е . Е сли

эта ве роятность мала, то мы являе мся сви де те лями

малове роятног о

собы ти я,

т.е .

отли ч и е

эмпирич ес ко го

знач е ни я

от

θ

гипо т ет ич ес ко го

знач е ни яθ0 п ре дставляе тсязна ч имым, и

г и п оте за о том, ч то θ

= θ0 , долж на бы тьотве рг нута. Е сли

ж е

эта ве роятность ве ли к а, то отк лоне ни е

от

θ0,

п о-ви ди мому,

обусловле но

е сте стве нной

случ ай ностью ,

и ,

θ

сле довате льно, г и п оте за о том, ч то

= θ0, мож е т бы тьп ри нята.

θ

Наша задач а состои т в вы работк е

общ е г о п одхода к

п роце дуре , к оторая

назы вае тся п рове рк ой

– вы бороч ное знач е ни е

оце ни вае мог о

г и п оте з. П усть θ

п араме тра θ и п усть

p – п лотность ве роятносте й случ ай ной

ве ли ч и ны

п ри

θ

θ =

θ

θ

p

услови и ,

ч то

0

На ри с. 1

и зображ е н г рафи к

функ ци и

, на к отором

отме ч е ны точ к и θleft и

θright

,

дляк оторы хвы п олне ны

услови я:

θ

) = 0.5α ,

P(θ ≤ θ left

г де

α –

не к оторое

малое

ч и сло.

Это ч и сло

и ме е т п ростой

P(θ > θ right ) = 0.5α ,

смы сл: е сли

ве роятность собы ти я не

п ре вы шае т α,

то собы ти е

малове роятно,

т.е . е сли

вы ч и сле нное

ок аж е тсявне

п роме ж утк а (θleft , θright ), то е сть

знач е ни е θ

все

основани яусомни тьсяв том,

ч то и сти нное

знач е ни е п араме тра θ равно θ0, и

в этом случ ае

г и п оте зу о том, ч то θ = θ0 , сле дуе т отве рг нуть(отк лони ть). Е сли

ж е

θ п оп адае т в и нте рвал(θleft , θright ), то г и п оте за о том, ч то θ = θ0 , мож е т бы ть

назы вае тся уро внем зна чимо с т и;

области

знач е ни й

к оторы х г и п оте за

θ , п ри

отве рг ае тся и ли

п ри ни мае тся,

назы ваю тся соотве тстве нно

о бла с т ью

о т кло нения(крит ич ес ко йо бла с т ью) и о бла с т ью принят иягипо т езы.

В

п ри ве де нном

на ри с. 1 п ри ме ре

к ри те ри й

п рове рк и г и п оте зы бы л

двус т о ро нним, п оск ольк у знач и мы ми бы ли

от

θ0 в обе

стороны .

отк лоне ни я θ

Е сли

отк лоне ни я знач и мы тольк о

θ0

< θ0), то

в одну сторону (θ >

и ли θ

Ри с. 1. О бласти п ри няти яи отк лоне ни яги п оте з

Сле дуе т обрати ть вни мани е

на то, ч то в рассматри вае мы х нами

задач ах

п ри няти е

и ли

отк лоне ни е

г и п оте зы

не носят к ате г ори ч е ск ог о

харак те ра.

Ре ше ни е

об отк лоне ни и и ли

п ри няти и

г и п оте зы мож е т ок азаться оши боч ны м:

г и п оте за отк лоняе тся, хотя она на самом де ле

ве рна (оши бк а перво го

ро да ), и

г и п оте за п ри ни мае тся, хотяона на самом де ле не ве рна (оши бк а вт о ро го

ро да ).

5.1

П р овер ка

ги потезы

о ч и словом

знач ени и

математи ч еского

ож и д ани я пр и

и звестнойд и спер си и

П усть М ξ = a –

не и зве стная ве ли ч и на, а ди сп е рси я Dξ = σ2 и зве стна.

Сформули руе м нуле вую г и п оте зу

H0 о том, ч то не и зве стны й п араме тр а раве н

заданному ч и слу a0

, т.е . H0: a=a0.

Альте рнати вную

г и п оте зу

H1

мож но

сформули роватьтре мясп особами :

α и вы ч и сли м п о вы борк е

x = (x1, x2 ,.., xn )

знач е ни е к ри те ри яϕ =

x

− a0

.

σ 2

Е сли г и п оте за H0 ве рна, то случ ай ная ве ли ч и на j и ме е т

n

стандартное

нормальное расп ре де ле ни е , и

здравы й смы сл п одск азы вае т, ч то в больши нстве

эк сп е ри ме нтов ве ли ч и на

j

буде т мало

отли ч аться от нуля.

Е сли ж е е е

Ри с. 2. К ри ти ч е ск аяобластьдляальте рнати вной

г и п оте зы H1 :a¹a0

О п ре де ли м г рани цы к ри ти ч е ск ой области

xl,α и

xr,α

так , ч тобы

P(ϕ < xl,α ) =

α , P(ϕ > xr,α ) =

α .

2

2

К ри ти ч е ск и е

точ к и xl,α и xr,α расп олож е ны

си мме три ч но

относи те льно

нуля, п раваяявляе тсяк орне м уравне ни яФ(x

)= 1 —

0.5α, а ле ваявы ч и сляе тся

п о формуле xl,α = - xr,α.

r,α

область

най де на,

мож но

вы ч и сли ть

п о

вы борк е

К ог да

к ри ти ч е ск ая

знач е ни е к ри те ри яj и п рове ри ть, п оп адае т ли оно в к ри ти ч е ск ую область.

Е сли

ϕ< xl,α

и ли

ϕ> xr,α, то

г и п оте за

H0

отве рг ае тся и

п ри ни мае тся

г и п оте за H1. Е сли

ж е xl,α<ϕ<xr,α то п ри ни мае тсяг и п оте за H0.

соде рж ащ и й

Ни ж е

п ри ве де н

фраг ме нт рабоч е г о

док уме нта

Mathcad,

п рове рк у

г и п оте зы

о

ве ли ч и не

мате мати ч е ск ог о

ож и дани я нормально

расп ре де ле нной

случ ай ной

ве ли ч и ны

H0: а

= 1 п ри

альте рнати вной

ги п оте зе

H1: а

¹ 1.

H0:

а

= a0 и

Рассмотри м

второй

случ ай

с

нуле вой

г и п оте зой

альте рнати вной

ги п оте зой

H1: а > a0. Снова задади мся не к оторы м

уровне м

знач и мости α и

вы ч и сли м

п о вы борк е

= (x1, x2 ,.., xn )

знач е ни е

к ри те ри я

x

x − a

1

n

j =

0

,

г де

x =

åxi .

s

2

n i=1