Несобственные интегралы функции одной переменной
Несобственные интегралы первого и второго рода функции одной вещественной переменной. Определения, примеры. Главное значение несобственного интеграла.
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла функции одной вещественной переменной.
Несобственные интегралы первого и второго рода функции одной вещественной переменной. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла.
Общий признак сравнения для несобственных интегралов в форме неравенств
Общий признак сравнения для несобственных интегралов в предельной форме.
Частные признаки сравнения для несобственных интегралов первого и второго рода в форме неравенств, предельной форме.
Замена переменной и интегрирование по частям в несобственных интегралах.
Признак Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла.
Дифференциальное исчисление функций многих вещественных переменных
Остаточные знания из 1-го семестра. Определение пространства Rn. Основные понятия и определения. Расстояние в Rn. Окрестности. Виды точек и множеств в Rn. Открытые и замкнутые множества. Операция замыкания. Компакты в Rn. Определение пространства Rn. Основные понятия и определения. Расстояние в Rn. Окрестности. Теорема о вложении окрестностей. Последовательности точек в Rn. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий сходимости последовательности точек в Rn в терминах координатных последовательностей. Последовательности точек в Rn. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности точек в Rn. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Предельные точки множества. Функции нескольких действительных переменных. Отображения из Rn в Rm. Определение предела функции и отображения в точке. Критерий существования предела отображения в терминах пределов координатных функций. Арифметические свойства пределов функций. Повторные пределы. Непрерывность функции n переменных и отображений из Rn в Rm. Арифметические операции над непрерывными функциями. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Терема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции n переменных. Теоремы Вейерштрасса о непрерывной функции n переменных. Обобщение на случай отображений. Равномерная непрерывность функций многих переменных. Теорема Кантора.
Определение предела функции многих переменных по Коши и по Гейне. Пределы по множествам, подмножествам, по направлениям. Пример функции, имеющей одинаковые пределы по всем направлениям в точке и не имеющей предела в этой точке.
Повторные пределы. Пример функции двух переменных, имеющей совпадающие повторные пределы в точке не имеющей предела в этой в точке. Пример функции, имеющей предел в точке, но не имеющей повторных пределов в этой в точке. Теорема о достаточном условии существования повторного предела функции двух переменных.
Частные производные функции нескольких переменных Дифференцируемость в точке. Понятие дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. Связь дифференцируемости с существованием частных производных (необходимое условие дифференцируемости).
Геометрический смысл частных производных, дифференциала и условия дифференцируемости в случае функций двух переменных.
Достаточные условия дифференцируемости.
Дифференцируемость сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Отсутствие инвариантности формы дифференциалов высших порядков.
Формула Тейлора для функций одной вещественной переменной с остаточным членом в интегральной форме (вывод).
Формула Тейлора для функций одной вещественной переменной с остаточным членом в интегральной форме (без вывода). Формула Тейлора для функций одной вещественной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши (вывод).
Формула Тейлора для функций нескольких переменных с дополнительным членом в форме Лагранжа и Пеано.
Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие экстремума в терминах первого дифференциала.
Достаточные условия строгого экстремума. Условие, достаточное для отсутствия экстремума в точке.
Неявные функции. Теорема о неявных функциях, определяемых одним уравнением. Якобиан системы функций. Теорема о неявных функциях, определяемых системой уравнений. Вычисление производных неявных функций, определяемых системой уравнений.
Отображения из Rn в Rm. Отображения, дифференцируемые в точке. Дифференциал отображения. Матрица производной отображения. Непрерывно дифференцируемые отображения. Непрерывная дифференцируемость композиции отображений. Якобиан отображения.
Условный экстремум функции многих переменных. Методы подстановки функций и подстановки дифференциалов.
Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Необходимое условие экстремума.
Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Достаточное условие экстремума.