ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

1 Курс, 2 семестр 2013-2014 уч. Г.

Экзаменатор - доц. Половинкин И.П.

Комментарии

1. Темы «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл Римана», «Несобственные интегралы функции одной переменной» составляют программу коллоквиума № 1.

2. Каждое утверждение, входящее в вопрос контрольно-измерительного материала, студентом на экзамене должно быть доказано, каждая формула должна быть выведена, если не сказано иное.

Неопределенный интеграл.

Остаточные знания из 1-го семестра. Определение первообразной функции на промежутке. Неопределенный интеграл. Свойства первообразной функции. Свойства неопределенного интеграла. Табличное интегрирование. Интегрирование подстановкой и по частям. Обзор случаев применения интегрирования по частям.

1. Многочлен одной переменной. Корень многочлена. Необходимое условие существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Кратность корня. Критерий корня заданной кратности. Разложение многочлена на линейные и неприводимые квадратичные множители. Рациональная функция одной переменной. Правильные и неправильные рациональные дроби. Разложение неправильной дроби в сумму многочлена и правильной дроби.

2. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

3. Рациональная функция многих переменных. Интегрирование рациональной функции от рациональных степеней дробно-линейной функции. Интегралы вида , гдеR(x, u₁, u₂,...,u_s) – рациональная функция, r₁,r₂,...,r_s – рациональные числа.

4. Интегрирование функций, содержащих корень из квадратного трехчлена. Подстановки Эйлера. Частные случаи.

5. Интегрирование дифференциального бинома.

6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Обзор частных случаев. Интегрирование гиперболических функций. Тригонометрические и гиперболические подстановки.

Определенный интеграл Римана.

7. Разбиение отрезка. Мелкость разбиения. Интегральная сумма Римана функции, определенной на отрезке. Геометрический смысл интегральной суммы Римана. Определение предела интегральной суммы Римана. Интегрируемость функций по Риману. Определение определенного интеграла Римана функции по отрезку в терминах интегральных сумм Римана. Интегрируемость функции, постоянной на отрезке. Интеграл Римана от функции многих переменных по параллелепипеду.

8. Ограниченность интегрируемой на отрезке функции. Пример ограниченной функции, неинтегрируемой по Риману.

9. Верхние и нижние суммы Дарбу ограниченной на отрезке функции. Геометрический смысл сумм Дарбу. Свойства сумм Дарбу: оценки интегральных сумм Римана, приближение сумм Дарбу суммами Римана.

10. Монотонность сумм Дарбу, оценка разностей сумм Дарбу при измельчении разбиения. Неравенства для верхних и нижних сумм Дарбу различных разбиений. Ограниченность сумм Дарбу.

11. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Определение. Лемма о неравенстве для верхнего и нижнего интегралов Дарбу.

12. Понятие предела суммы Дарбу. Основная лемма Дарбу.

13. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману ограниченной функции в терминах верхнего и нижнего интегралов Дарбу (вспомогательная теорема).

14. Основная теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции (в терминах сумм Дарбу).

15. Интегрируемость по Риману монотонных на отрезке функций.

16. Интегрируемость по Риману непрерывных на отрезке функций.

17. Достаточное условие интегрируемости разрывной функции. Следствия. Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечно много точек разрыва.

18. Интегрируемость сложной функции. Следствие.

19. Простейшие свойства определенного интеграла Римана (линейность, интегрируемость произведения, интегрируемость на подмножествах, аддитивность определенного интеграла).

20. Свойства интеграла Римана, связанные с неравенствами.

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла Римана.

22. Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом.

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной на промежутке функции. Дифференцирование интеграла с переменным пределом.

24. Формула Ньютона-Лейбница.

25. Методы вычисления определенного интеграла (интегрирование подстановкой и по частям).

26. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.

27. Вычисление площади криволинейного сектора с помощью определенного интеграла.