- •Министерство образования Российской Федерации
- •Из формулы (6) при получаем
- •3. Метод Рунге-Кутта.
- •4. Общий одношаговый метод.
- •4. Методы полиномиальной аппроксимации.
- •Коэффициенты метода определяются из условия корректности (24). В этом случае (24) примет вид
- •Коэффициенты метода определяются из условия корректности (24). В этом случае (24) примет вид
Из формулы (6) при получаем
Этот алгоритм называется явным методом Эйлера. Здесь .
Метод Тейлора второго порядка.
При из формулы (6) получаем
где
3. Метод Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта имеет тот же порядок точности, что и метод Тейлора, но исключает необходимость вычисления значений частных производных от правой части дифференциального уравнения . Основная идея метода состоит в замене функциив формуле (6) другой функцией, не требующей вычисления частных производных оти удовлетворяющей условию
где - константа, не зависящая от. Таким образом, алгоритм метода Рунге-Кутта имеет вид:
где удовлетворяет условию (9). Очевидно, метод (10) имеет ту же алгоритмическую ошибку, что и метод Тейлора. Алгоритм (10) принято называтьметодом Рунге-Кутта порядка .
Функциюразыскивают в виде:
где
В формулах (11) коэффициенты инаходятся из условия (9).
Метод Рунге-Кутта первого порядка.
При получаем из (11)
Сравнивая с, немедленно получаем из условия (9), что. Таким образом метод Рунге-Кутта первого порядка совпадает с явным методом Эйлера:
Метод Рунге-Кутта второго порядка.
При получаем из (11)
Разлагая во втором слагаемом в (12) по формуле Тейлора в точкеполучаем
Подставляя (13) в (12), имеем
Сравниваяи (14), получаем из условия (9) нелинейную систему уравнений для определения коэффициентов:
Отсюда следует, что для различных существует целое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка с коэффициентамии
:
Приведем примеры алгоритмов метода Рунге-Кутта второго порядка.
Метод Хьюна (модифицированный метод трапеций).
В этом случае ,Из (15) получаем алгоритм метода Хьюна
Модифицированный метод Эйлера.
В этом случае ,Из (15) получаем алгоритм модифицированного метода Эйлера
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
Наиболее часто в вычислительной практике используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого определяется формулами
где
Отметим, что если правая часть дифференциального уравнения не зависит от, то формула (18) совпадает с квадратурной формулой Симпсона. (Решение задачи Коширавносильно вычислению интеграла).
Замечание. Метод (18) часто называют просто «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на порядок. Локальная алгоритмическая ошибка этого метода не превосходит, где- константа, не зависящая от. Однако оценитьне просто. Это существенный недостаток метода Рунге-Кутта. Грубое оценочное правило выбора шагапредложено Коллатцом: если для некоторой точкивеличинабольше нескольких сотых, то шагуменьшают.
4. Общий одношаговый метод.
Метод, алгоритм которого определяется формулой
где - функция аргументовзависит от правой части дифференциального уравнения, называетсяобщим одношаговым методом.
Очевидно, что методы Тейлора и Рунге-Кутта являются частными случаями общего одношагового метода.
Обозначим через - решение уравнения
с начальным условием.
Теорема(оценка глобальной погрешности общего одношагового метода).
Пусть выполнены следующие условия:
1. Функция определена и непрерывна в областии существует константа, не зависящая оти, такая, что в области
2. Существует константаи целоетакие, что в области
где - решение уравненияна отрезке, удовлетворяющее начальному условию.
Тогда для глобальной ошибки метода (19) справедлива оценка
где,-локальная ошибка округления на-ом шаге.
Из (20) следует, что глобальная ошибка общего одношагового метода (19) состоит из трех частей:
ошибка при вычислении начального условия,
2) суммарная алгоритмическая ошибка метода, характеризуемая величиной , убывающая с уменьшением,
3) ошибка округления, представленная членом , который растет с уменьшением.
Из (20) следует, что попытка уменьшить алгоритмическую ошибку метода приводит к уменьшению и, следовательно, к увеличению ошибки округления. Кроме того, глобальная ошибка растет с увеличением длины интервала, на котором разыскивается решение дифференциального уравнения.