Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный медицинский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6 _случайные величины

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

198.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Известно, что если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b) равна

b	b − μ		a − μ
P(a ≤ X < b)= ∫f(x)dx = = Ф			−Ф		, где Ф(х) – функция Лапласа.
		σ		σ
a

Используя полученную формулу можно также вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε, равна

			ε

P(	X − μ	< ε )= 2Ф		−1
			σ

Правило «трех сигм»: практически все возможные значения сл.вел., подчиненной нормальному закону с параметрами µ, σ, (Х ~ N(µ, σ)) заключены в интервале

(µ-3σ, µ+3σ).

Примеры решения задач

Пример 1. В семье трое детей. Случайная величина Х- число мальчиков в семье. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х б) построить многоугольник распределения случайной величины Х в) найти её функцию распределения F(х)

г) построить график F(х)

д) найти вероятность события Р(1<Х≤3)

е) найти М(Х), D(X), σ (X).

Решение: В семье может быть один, два, три или не быть мальчиков, то есть случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3.

Пусть Аiсобытие, состоящее в том, что i-тый ребёнок мальчик, i=1,2,3.

Р(Х=0)=Р(Ā1Ā2Ā3)=1/8 Р(Х=1)=Р(А1Ā2Ā3+Ā1А2Ā3+Ā1Ā2А3)=3/8 Р(Х=2)=Р(Ā1А2А3+А1Ā2А3+А1А2Ā3)=3/8

Р(Х=3)=Р(А1А2А3)=1/8

а) закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Х	0	1	2	3

Р	1/8	3/8	3/8	1/8

б)


в)		0, при х≤0
		1/8, при 0<х≤1
F(х)=		1/2, при 1<х≤2
		7/8, при 2<х≤3
		1, при х>3
г)

д) Р(1<Х≤3)=Р(Х=2)+Р(Х=3)=3/8+1/8=1/2

е) М(Х)= 0 ×1/ 8 +1× 3 / 8 + 2 × 3 / 8 + 3 ×1/ 8 = 1,5

М(Х2)=02.1/8+12.3/8+22.3/8+32.1/8=3 D(X)=3-1,52=0,75

3 σ ( Х) = 0,75 = 2

Пример 2 .

0, x ≤ 0

Дана плотность вероятности случайной величины Х f (x) = a sin x,0 < x ≤ π .

0, x > π

Определить коэффициент а, функцию распределения F(x), построить график

F(x), f(x).

Решение. По условию нормировки

+∞ 0 π +∞

1. ∫ f(x)dx = ∫ 0dx + ∫ asinxdx + ∫ 0dx = 1

-∞ -∞ 0 π

a(− cos π + cos 0) = 1

a =	1
a =
2											0, x £ 0
											0, x £ 0

Следовательно,								f (x)			=	1			sin x,0 < x £ π
Следовательно,								f (x)			=				sin x,0 < x £ π
											2
											0, x > π

2. x≤0;
		x
F(X) = ∫ 0dx = 0
		-∞
0<x≤π
		0	x		1									1		(− cos x)						1	(cos x − cos 0) = −							1	(cos x −1) =					1			1
F(X) = ∫ 0dx + ∫							sinxdx = =													0x = −																	−				cos x


		-∞	0		2								2									2							2							2		2
x> π			π
		0	π		1							x						1	(− cosπ + cos 0) = 1
F(X) = ∫ 0dx + ∫					1		sinxdx + ∫ 0dx =											1
F(X) = ∫ 0dx + ∫							sinxdx + ∫ 0dx =
		-∞	0		2						π						2
				0, x £ 0
									1
Итого,			F(X) =	1				-	1	cos x,0 < x							£ π

						2			2
						2			2
				1, x > π

																			F(x)
f(x)																	1
																	1
1																	1
1																	1
2																	2
2																	2
																																								x

																										π							π
			π									π						x
			π
			2																							2
			2																							2
Пример 3.
		Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности
f (x) =		2								π
			sin 3x,		на				0;		. Вне этого интервала равна нулю. Найти вероятность
			sin 3x,		на				0;		. Вне этого интервала равна нулю. Найти вероятность
		3							3																	π		π
того, что Х примет значение, принадлежащее																										π		π
того, что Х примет значение, принадлежащее																												;	.
																										6		4
Решение.
			b
P(a ≤ X < b) = ∫ f(x)dx
			a
			π																		π					3π				π
			4 2										2 1								π			2										2		2							2
			4 2										2 1											2										2		2							2
P(a £ X < b) = ∫																	(- cos 3x)				4				cos							= -
P(a £ X < b) = ∫							sin3xdx = ×										(- cos 3x)				π	= -			cos		- cos					= -			-			- 0				=
			π		3								3 3				6							9		4			2					9		2							9
			6

Пример 4.

Случайная величина имеет плотность распределения ax, при 0≤х≤1

f(x)={

0, при х>1 или х<0

Требуется а) найти постоянную а

б) найти функцию распределения F(x) в) построить графики f(x) и F(x)

г) найти Р(0<х<1/4)

д) найти параметры распределения

Решение:

										+∞
а) используем свойство плотности распределения ∫ f (x)dx =1.
										−∞
+∞	0	1	+∞	1	ax	2			1	а=1, следовательно а=2.
∫ f (x)dx = ∫0dx + ∫axdx + ∫0dx = ∫axdx =					ax		\|10	=	1
∫ f (x)dx = ∫0dx + ∫axdx + ∫0dx = ∫axdx =					2		\|10	=
−∞	−∞	0	1	0	2			2
−∞	−∞	0	1	0
		х
б) при х≤0		F(х)= ∫0dt = 0
		−∞
			0	x
	при 0<х≤1 F(x)= ∫0dt + ∫2tdt = x 2
			−∞	0
		0	1	+∞
	при х>1 F(x)= ∫0dt + ∫2tdt + ∫0dt =1
		−∞	0	1

в)



		1 / 4																1
г) Р(0<х<1/4)= ∫ 2хdx = x 2														\|10/ 4 =				1
г) Р(0<х<1/4)= ∫ 2хdx = x 2														\|10/ 4 =
		0													16
		0
		b							1							2x			3			2
д) М(Х)= ∫хf (x)dx = ∫2х2 dx =																2x				\|10	=	2
д) М(Х)= ∫хf (x)dx = ∫2х2 dx =																				\|10	=
		a							0						3						3
		a							0
1				x		4					1
М(Х2)= ∫2х3 dx =				x			\|10		=		1
М(Х2)= ∫2х3 dx =							\|10		=
0		2							2
0
D(X)= М(Х2)- М2(Х)=												1	−	4	=		1
D(X)= М(Х2)- М2(Х)=													−	9	=
									2					9	18

σ ( Х) =			=		1			=		1
	D( X )				1					1
	D( X )
		18							3				2

Пример 5.

1)Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно µ = 4 и среднее

квадратическое отклонение σ = 1. Написать плотность

вероятности Х.

Решение.

Функция

плотности

вероятности:

-(x-μ)2

-(x-4)2

f (x) =

e 2σ 2

e 2×12 =

e 2 .

2π

1× 2π

2π

2)Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 5 и 3. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10, 16).

Решение. Используем							формулу
	b - μ				a - μ
Р(a < X < b) = Ф				- Ф			, учитывая, что а = 10, b =
		σ				σ
16, µ = 5, σ = 3.
16 - 5				10 - 5			= Ф(3,67)-Ф(1,67)
Р(12 < X < 14) = Ф			-Ф
		3				3

По таблице для значений функции Лапласа находим

Ф(3,67)-Ф(1,67)=0,4999 - 0,4525 = 0,0474

Контрольные задания:

1)Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество

яблок в них составляет 10,9,11,10,12,8,11,9,10,10,11,8,9,10,9,11,12,10,9 и 11

штук. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.

2) Число фармацевтов в каждой из 15 аптек некоторого района составляет соответственно 4,7,5,6,4,5,3,6,4,5,5,4,6,5 и 6 человек. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число фармацевтов в произвольно выбранной аптеке (из этих 15 аптек), построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.

3) Число фармацевтов в каждой из 15 аптек некоторого района составляет соответственно 4,7,5,6,4,5,3,6,4,5,5,4,6,5 и 6 человек. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число фармацевтов в произвольно выбранной аптеке (из этих 15 аптек), построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.

4) К задаче №2 составить функцию распределения, построить ее график и найти вероятность того, что количество яблок в произвольно выбранной корзине окажется более 10.

5)	Дана функция распределения непрерывной случайной
величины Х

	0	при x ≤ 0,
F ( X ) =		при 0 < x ≤ π/2, . Найти плотность распределения f (x).
F ( X ) =	sinx	при 0 < x ≤ π/2, . Найти плотность распределения f (x).
	1	при x > π/2

6)		Дана функция распределения непрерывной случайной
величины Х		при x ≤ 0,
	0	при x ≤ 0,
F ( X ) =		при 0 < x ≤ π/4, . Найти плотность распределения f (x).
F ( X ) =	sin2x	при 0 < x ≤ π/4, . Найти плотность распределения f (x).
	1	при x > π/4

7)		Для функции распределения непрерывной случайной
величины		при x ≤ 0,
	0	при x ≤ 0,
F ( X ) =	ax 2	при 0 < x ≤ 2,

	1	при x > 2

найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х в интервал (0; 1).

8) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

0	при	x ≤ 0,

f (x) = cosx при 0 < x ≤ π / 2, . Найти функцию распределения F(x).
0	при	x > π / 2

9)Непрерывная случайная Х задана плотностью распределения

f (x) = 3 sin 3x в интервале (0; π /3); вне этого интервала f (x) = 0 . Найти

2
вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
(π /6,π /4).
10)	Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)

= 2x в интервале [0,1]. Вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание, и среднее квадратичное отклонение величины X.

11) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=1/2x в интервале [0,2]; вне этого интервала. f(x) = 0. Найти М(X) и Д(X). 12) Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = С(x2+2x) в интервале [0,1]; вне этого интервала. f(x) = 0. Найти: а) параметр С; б) математическое ожидание величины X.

13) Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно µ = 3 и среднее квадратическое отклонение σ=2. Написать плотность вероятности Х.

14) Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М(Х)= 3, D(Х)=16.

15)	Нормально распределенная случайная величина Х задана
	1				−(x −1)2

плотностью	f (x) =			e	50 . Найти математическое ожидание и дисперсию.
		5
			2π
16)	Математическое ожидание и среднее квадратическое

отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

17)Случайная величина задана плотностью распределения

0,	при		x ≤ 0,


cos x
f (x) =		,	при 0 < x ≤ π / 4,
	2
			x > π / 4
1,	при

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале [0; π/4]

18) Производятся измерения случайной величины X-давления жидкости манометром. Случайная величина распределена нормально; математическое ожидание величины давления μ=160 мм. рт. ст., δ=5 мм. рт. ст. Найти вероятность того, что найденное во время опыта значение давления жидкости будет заключено в интервале [150, 165]мм 19) Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение

c математическим ожиданием µ = 5 и средним квадратическим отклонением σ = 2. найти вероятность того, что Х примет значения в интервале (4, 7).

20) Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ = 25 и средним квадратическим отклонением σ = 2. найти интервалы для Х, если вероятность интервала | Х - µ| < ε равна

0,95 и 0,99.

21) В результате большого числа измерений установлено, что длина l бюретки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет математическое ожидание µ = 30 см и среднее квадратическое отклонение σ = 0,2 см. Найти: 1) вероятность того, что длина бюретки будет находиться в пределах от 29,6 до 30,4 см; 2) интервалы для длины l бюретки при р = 0,95.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019105.47 Кб195.doc
#
19.03.201631.23 Кб951 диаг-ка и лечение внуутриутроб.гипоксии.doc
#
19.03.2016434.66 Кб275ballov-30201.rtf
#
20.05.2015241.73 Кб195к_6Т.rtf
#
19.03.2016616.52 Кб346 (ДСВ).pdf
#
20.05.2015198.82 Кб786 _случайные величины.pdf
#
20.05.2015514.6 Кб456 Гормоны и медиаторы им сист-лекция 6.pdf
#
20.05.201542.4 Кб8063-65.docx
#
19.03.201628.16 Кб5765 понятие о сегментах головки.doc
#
19.03.201653.25 Кб1466 введение 2 периода родов.doc
#
19.03.2016908.06 Кб357 (НСВ).pdf