6 (ДСВ)
.pdfМетодические рекомендации для студентов 1 курса стоматологического факультета
по самоподготовке и проведению практического занятия по математике
Тема: Дискретные случайные величины и их характеристики.
Актуальность темы: ознакомление с основными понятиями и методами теории вероятностей и случайных величин как средств решения задач физического, химического, биологического и иного характера, встречающихся как в процессе изучения профильных дисциплин, так и в дальнейшей профессиональной деятельности
Цель занятия: научиться составлять закон и функцию распределения дискретной случайной величины, строить их графики, определять числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, находить с помощью функции распределения вероятность событий.
План изучения темы
1.Случайные величины: дискретная и непрерывная.
2.Числовые характеристики дискретной случайной величины.
3.Закон и функция распределения дискретной случайной величины.
Рекомендуемая литература:
Основная литература:
1. Морозов, Ю.В. Основы высшей математики и статистики: учеб. для студентов мед. и фаpмацевт. вузов и фак./Ю.В. Морозов.-
М.:Медицина, 2004.-232 с.
2. Основы высшей математики и математической статистики: учеб. для студентов мед. и фармацевт. вузов/И.В. Павлушков, Л.В.Розовский, А.Е.Капульцевич и др.-2-е изд., испр.-М.:ГОЭТАР-Медиа, 2006.-423 с.
Дополнительная литература:
1.Лобоцкая, Н.Л. Высшая математика : учеб. для вузов/ Н.Л.Лобоцкая, Ю.В.Морозов, А.А.Дунаев. – Мн. : Высш. шк., 1987. – 319 с.
2.Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пособие для вузов/ авт.- сост. : Т.А.Новичкова; ГОУ ВПО "Курск. гос. мед. ун-т", каф. физики, информатики и математики.-Курск:КГМУ, 2009.
Вопросы для самоконтроля:
1.Что называют дискретной случайной величиной? В чем ее отличие от непрерывной случайной величины?
2.Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
3.Задайте закон распределения дискретной случайной величины таблично, аналитически, графически.
4.Дайте понятие ряда распределения, многоугольника распределения.
5.Что такое функция распределения дискретной случайной величины?
6.Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины?
7.Перечислите свойства математического ожидания.
8.Что называют дисперсией дискретной случайной величины? Запишите
формулу.
9.Перечислите свойства дисперсии случайной величины.
10.Что называют средним квадратическим отклонением? Запишите
формулу.
11.Что такое мода дискретной случайной величины?
12.Что такое медиана дискретной случайной величины?
13.Какая дискретная величина имеет биномиальное распределение?
14.Какая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона?
Задания на самоподготовку:
1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно
12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов.
а) Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе.
б) построить многоугольник распределения случайной величины Х в) найти её функцию распределения F(х)
г) построить график F(х)
д) найти вероятность события Р(9<Х≤11)
е) найти М(Х), D(X),
(X).
Ориентировочные основы действий:
1.Изучить основные понятия по теме
2.Ответить на вопросы для самоконтроля
3.Проработать примеры решения задач по теме
4.Выполнить задания для самостоятельного контроля
5.Решить контрольные задания по теме
После изучения данной темы студент должен знать: понятия функции и плотности распределения вероятности случайных
величин, научиться определять числовые характеристики непрерывных
случайных величин и вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал.
уметь: составлять закон и функцию распределения дискретной случайной величины, строить их графики, определять числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, находить с помощью функции распределения вероятность событий.
Краткая теория
Величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение (при этом заранее не известно какое именно), называют
случайной.
Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, YZ,…, а их вероятности соответствующими строчными буквами x, y, z,…
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Законом распределения ДСВ называется соответствие между её возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения чаще всего задается в табличной форме.
Xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
|
|
|
|
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
|
|
|
|
|
Такая таблица также называется рядом распределения.
Для наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi,pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют
многоугольником распределения (графическое изображение закона распределения).
pi
p3
p1
x1 x2 x3 x4 |
x5 |
xi |
Числовые характеристики ДСВ
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто он неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, выражая в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Эти числа называют числовыми характеристиками случайной величины.
Математическим ожиданием ДСВ X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности.
M(X) =μ= x1p1 + x2p2 +...+ xnpn =
n |
|
|
|
|
|
p |
i |
1 |
- условие нормировки |
|
|
|||
i 1 |
|
|
|
|
n |
|
xi |
pi |
i 1 |
|
;
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной
M(C) = C.
2. Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых
M(X1 ± X2 ±...± Xn) = M(X1) ± M(X2) ± … ± M(Xn).
3.Константу можно вынести за знак математического ожидания
M(CX) = CM(X).
4. Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин
M(X1X2...Xn) = M(X1)M(X2)...M(X)n.
Модой М0 дискретного распределения называют такое значение xm случайной величины, что предшествующее и следующее за ним значения имеют вероятности меньше P(xm).
Дисперсией ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.
D X |
|
M X |
|
n |
x |
|
|
|
p |
||||
|
2 |
2 |
|
i |
i |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Для вычисления дисперсии более удобна формула:
D(X) =
M X |
M X |
, |
2 |
2 |
|
|
n |
|
2 |
2 |
pi |
где M X |
xi |
|
|
i 1 |
|
т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания.
Свойства дисперсии.
1.Дисперсия постоянной величины равна нулю
D(С) = 0.
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
D(CX) = C2D(X).
3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X±Y)=D(X)±D(Y).
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из её дисперсии.
|
D X |
n |
i |
i |
|
|
|||
|
|
2 |
p |
|
|
x |
|||
|
|
i 1 |
|
|
Основные законы распределения ДСВ
Биномиальное распределение
Пусть величина Х – число появлений события А в n повторных независимых испытаниях, причем для каждого испытания P(A)=p, P(Ā)=q.
Тогда вероятности значений случайной величины Х (x0=0, x1=1, …, xn=n)
можно определить по формуле Бернулли |
P |
x C x px qn x |
n! |
|
px qn x |
|
x! n x ! |
||||||
|
n |
n |
|
|||
|
|
|
|
|||
M(X)=np |
|
|
|
|
|
|
D(X)=npq |
|
|
|
|
|
|
σ(X)=√npq |
|
|
|
|
|
|
Распределение Пуассона
Когда вероятность событий А много меньше единицы и число испытаний n – велико (n≥50, p≤0,1) формула Бернулли неуместна. Тогда используется формула Пуассона
|
|
|
|
|
|
P x |
x |
|
|
|
|
|
e |
|
, |
где np |
|
|
|
||||
n |
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение такой величины называется распределением Пуассона
Функцией распределения ДСВ (кумулятивной) называется функция F(X), равная вероятности события, в котором случайная величина Х приняла значение меньше х, F(X)=P(X<x).
0, x x1
p1 , x1 x x2 F X p1 p2 , x2 x x3
...
1, xn x
F(X)
1
p1+p2 p1
|
|
|
|
x |
|
0 |
x1 x2 x3 |
||||
|
|||||
Примеры решения задач
|
Пример 1. |
В семье трое детей. Случайная величина Х- число мальчиков в |
||||||
семье. Требуется: |
|
|
|
|
|
|||
|
а) найти закон распределения случайной величины Х |
|
||||||
|
б) построить многоугольник распределения случайной величины Х |
|||||||
|
в) найти её функцию распределения F(х) |
|
|
|||||
|
г) построить график F(х) |
|
|
|||||
|
д) найти вероятность события Р(1<Х≤3) |
|
|
|||||
|
е) найти М(Х), D(X), |
|
(X). |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
Решение: В семье может быть один, два, три или не быть мальчиков, то есть |
|||||||
случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3. |
|
|||||||
|
Пусть Аiсобытие, состоящее в том, что i-тый ребёнок мальчик, i=1,2,3. |
|||||||
|
Р(Х=0)=Р(Ā1Ā2Ā3)=1/8 |
|
|
|
|
|||
|
Р(Х=1)=Р(А1Ā2Ā3+Ā1А2Ā3+Ā1Ā2А3)=3/8 |
|
|
|||||
|
Р(Х=2)=Р(Ā1А2А3+А1Ā2А3+А1А2Ā3)=3/8 |
|
|
|||||
|
Р(Х=3)=Р(А1А2А3)=1/8 |
|
|
|
|
|||
|
а) закон распределения случайной величины Х имеет вид: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
0 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
1/8 |
|
|
3/8 |
3/8 |
1/8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
0, при х≤0 |
|
1/8, при 0<х≤1 |
F(х)= |
1/2, при 1<х≤2 |
|
7/8, при 2<х≤3 |
|
1, при х>3 |
г) |
|
д) Р(1<Х≤3)=Р(Х=2)+Р(Х=3)=3/8+1/8=1/2
е) М(Х)= |
0 1/ 8 1 3/ 8 2 3/ 8 3 1/ 8 1,5 |
|
М(Х2)=02.1/8+12.3/8+22.3/8+32.1/8=3
D(X)=3-1,52=0,75
(Х )
|
0,75 |
=
3 2
Контрольные задания:
1) Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество яблок в них составляет 10,9,11,10,12,8,11,9,10,10,11,8,9,10,9,11,12,10,9 и 11 штук. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.
2) Число фармацевтов в каждой из 15 аптек некоторого района составляет соответственно 4,7,5,6,4,5,3,6,4,5,5,4,6,5 и 6 человек. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число фармацевтов в произвольно выбранной аптеке (из этих 15 аптек), построить многоугольник распределения и найти математическое ожидание, дисперсию среднее квадратическое отклонение и моду этой величины.
3) Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2 и составить закон распределения этой величины.
4) К задаче №1 составить функцию распределения, построить ее график и найти вероятность того, что количество яблок в произвольно выбранной корзине окажется более 10.
5) |
К задаче №2 составить функцию распределения, построить ее |
график. |
|