Информатика

61

производятся в килограммах, то единица измерения дисперсии будет «килограмм в квадрате».

Стандартное отклонение. Стандартное (среднеквадратичное) отклонение ( ) – это положительный квадратный корень из дисперсии. Оно вычисляется в тех же единицах (размерностях), что и исходные данные и характеризует степень рассеивания вариационного ряда вокруг средней. Чем меньше , тем более типична, точна средняя.

На практике часто приходится сравнивать изменчивость признаков, выраженных разными единицами, например, рост в см и масса в кг. Если разделить стандартное отклонение на среднее арифметическое и выразить результат в процентах, получится коэффициент вариации. Он является мерой рассеяния, не зависящей от единиц измерения (безразмерной) (5.3).

разнообразие признака.

Стандартная ошибка среднего. Случайные ошибки выборок возникают за счет того, что для анализа всей совокупности используется только ее часть. Хотя выборочный метод и позволяет обоснованно судить о средней арифметической некоторого количественного признака генеральной совокупности по средней арифметической, исчисленной по выборке, это, однако, не означает, что выборочная средняя совпадает с генеральной средней. Она, как правило, в той или иной степени от нее отличается. Величина ошибки выборки представляет собой разность между генеральной и выборочной средними. Ошибки выборки различны для каждой конкретной выборки и в принципе могут быть обобщенно охарактеризованы с помощью средней из всех таких отдельных ошибок. В математической статистике получены формулы, которые позволяют приближенно вычислить среднюю ошибку выборки, основываясь на данных только той выборки, которая имеется в распоряжении исследователя.

Стандартная ошибка среднего отражает точность оценки среднего значения признака в популяции по его выборке. Небольшая стандартная ошибка (существенно меньше соответствующего среднего значения) означает достаточно точную оценку. Стандартная ошибка уменьшится, т. е. оценка станет более точной, если объем выборки увеличится или данные имеют небольшое рассеяние (дисперсию). При неограниченном увеличении объема выборки стандартная ошибка среднего обращается в 0. Следовательно, эта величина не имеет никакого биологического смысла.

Cтандартная ошибка среднего арифметического может быть найдена по

где – среднее квадратическое отклонение, n – количество параметров в выборочной совокупности.

63

В случае распределения, отличного от нормального, вычисляют медиану x50, квартили (x25, x75) и статистически значимый диапазон — например:

;

.

«Ящик» рисуется от квартиля до квартиля, внутри него проводится риска

– медиана. «Усы» тянутся от квартилей до статистически значимых крайних точек x1 и x2. Не входящие в статистически значимый диапазон точки (выбросы) изображаются отдельно (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Доверительный интервал для среднего (медианы) в случае распределения, отличного от нормального.

Доверительные интервалы представляют оценку в некоторой перспективе и позволяют избежать необходимости указывать одно и то же число как точное значение, в то время как фактически в биологии это число точным никогда и не является.

При интерпретации ДИ исследователь формулирует следующие вопросы:

1.Насколько широк ДИ? Широкий ДИ указывает на менее точную оценку, узкий - на более точную оценку.

2.Какой клинический (биологический) смысл можно извлечь из рассмот-

рения ДИ? Верхние и нижние пределы показывают, будут ли результаты клинически (биологически) значимы.

3.Включает ли ДИ какие-либо значения, представляющие особый интерес?

Можно проверить, попадает ли вероятное значение для параметра попу-

ляции в пределы ДИ. Если да, то результаты согласуются с этим вероятным значением. Если нет, то маловероятно (для 95% ДИ шанс меньше 5%), что параметр имеет это значение.

Понятие вероятности. Вероятность того или иного события при числе наблюдений N оценивается по простой формуле. Если число наблюдаемых

конкретных событий при числе наблюдений N равно n , то вероятность

равна отношению числа наблюдений, в которых было обнаружено событие к общему числу наблюдений (5.5):

65

В рассмотренном нами случае вариационного ряда систолического давления математическое ожидание исследуемой величины составляет:

M f ( x) 115 3/11 120 6 /11 125 2 /11 119,55 .

Таким образом, наиболее вероятной будет величина, составляющая

119,55 мм рт. ст.

Распределение вероятности. Случайная переменная – это величина, ко-

торая может принимать любое из набора взаимоисключающих значений с определенной вероятностью. Распределение вероятности показывает вероятности всех возможных значений случайной переменной. Это теоретическое распределение, которое выражено математически и имеет среднее и дисперсию – аналоги среднего и дисперсии в эмпирическом распределении. Каждое распределение вероятности определяется некоторыми параметрами. Параметры служат обобщающими величинами (например: среднее, дисперсия), характеризующими данное распределение (т.e. их знание позволит подробно описать распределение) С помощью соответствующей статистики можно произвести оценку этих параметров в выборке. В зависимости от того, является ли случайная переменная дискретной или непрерывной, распределение вероятности может быть либо дискретным, либо непрерывным.

Функция F(x), связывающая значения xi переменной случайной величины Х с их вероятностями pi называется законом распределения (или функцией распределения) этой случайной величины. Закон распределения описывает распределение вероятностей случайной переменной Х.

С понятием закона распределения случайной величины неразрывно связано понятие плотности распределения, которую можно представить себе как предельную кривую р(х), аппроксимирующую выборочную гистограмму распределения данной случайной величины (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Функция плотности распределения вероятности.

Нормальное (гауссово) распределение. Одним из самых важных распре-

делений в статистике является нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна ()

66

()

где m - математическое ожидание случайной величины;

Его функция плотности распределения вероятности представлена на рис.

5.6.

Рис. 5.6. Функция плотности нормального распределения вероятности.

Функция плотности нормального распределения вероятности симметрична относительно среднего . Результат изменения 2 ( 12 22 32 ).

Свойства функции плотности нормального распределения вероятности:

• полностью определяется двумя параметрами – средним ( ) и дисперсией ( 2 );

•колоколообразная (унимодальная) форма;

•симметричная относительно среднего;

•сдвигается вправо, если среднее увеличивается, и влево, если среднее уменьшается (при постоянной дисперсии);

•сплющивается, если дисперсия увеличивается, но становится более остроконечной, если дисперсия уменьшается (для постоянного среднего).

•среднее и медиана нормального распределения равны.

Нормальное распределение не является единственным известным распределением. Ниже мы приводим краткие сведения о некоторых других законах распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

t-распределение (рис. 5.7)

•получено Вильямом Госсетом, который публиковал свои работы под псевдонимом «Student» («Студент»), поэтому его часто называют t- распределением Стьюдента;

•t-распределение характеризуется степенями свободы (df);

•форма кривой подобна форме кривой стандартизованного нормального распределения, но более приплюснута и с более длинными «хвостами». Форма приближается к нормальной кривой по мере увеличения степеней свободы;

•t-распределение применяют для вычисления доверительных интервалов

иисследования гипотез с одной или двумя средними.

67

Рис. 5.7. t-распределение со степенями свободы df=1, df=5, df=50.

Хи-квадрат ( 2 ) распределение Пирсона (рис. 5.8)

•скошено вправо, принимает только положительные значения;

•характеризуется степенями свободы;

•форма кривой зависит от числа степеней свободы. Кривая становится более симметричной и приближается к нормальной с увеличением числа степеней свободы;

•особенно часто используется для анализа категориальных данных.

Рис. 5.8. Хи-квадрат распределение Пирсона со степенями свободы df=2, df=5, df=10

F-распределение (рис. 5.9)

кривая скошена вправо;

определяется как отношение. Распределение отношения двух оценок дисперсий, вычисленных для нормально распределенных данных, аппроксимируется F-распределением;

характеризуется степенями свободы числителя d1 и знаменателя d2 отношения;

особенно полезно для сравнения двух дисперсий и более чем двух средних при использовании дисперсионного анализа.

68

Рис. 5.9. F- распределение с разными степенями свободы числителя и знаменателя.

Логнормальное распределение (рис. 5.10)

• распределение вероятности случайной переменной, логарифм которого (по основанию 10 или е) имеет нормальное распределение;

•сильно скошено вправо;

•если набор данных имеет логнормальное распределение, то используют среднее геометрическое как обобщающий показатель.

Рис. 5.10. Логнормальное распределение с разными показателями стандартного отклонения.

Многие переменные в медицине имеют логнормальное распределение. Поэтому можно использовать свойства нормального распределения для того, чтобы сделать выводы относительно этих переменных после логарифмического преобразования данных.

Биномиальное распределение (рис. 5.11)

Предположим, что существуют только два результата – «успех» и «неудача». Например, нас интересует, забеременеет ли женщина в результате экстракорпорального оплодотворения. Если мы примем п = 100 не имеющих отношения друг к другу женщин, перенесших процедуру экстракорпорального оплодотворения (каждая с одинаковой вероятностью забеременеть), то биноми-

70

Большинство критериев и статистических тестов относятся к так называемым параметрическим критериям. Это значит, что они могут применяться только к нормально распределенным рядам данных. Во всех остальных случаях используются так называемые непараметрические критерии. В случае, кода распределение ряда параметров является отличным от нормального или о природе распределения ничего не известно, необходимо обращаться именно к таким методам. Говоря более специальным языком, непараметрические методы не основываются на оценке параметров (таких как среднее или стандартное отклонение) при описании выборочного распределения интересующей величины. Поэтому эти методы иногда также называются свободными от параметров или свободно распределенными.

Если данные не являются нормально распределенными, а измерения, в лучшем случае, содержат ранжированную информацию, то вычисление обычных описательных статистик (например, среднего, стандартного отклонения) не слишком информативно. Например, в психометрии хорошо известно, что воспринимаемая интенсивность стимулов (например, воспринимаемая яркость света) представляет собой логарифмическую функцию реальной интенсивности (яркости, измеренной в объективных единицах - люксах). В данном примере, обычная оценка среднего (сумма значений, деленная на число стимулов) не дает верного представления о среднем значении действительной интенсивности стимула.

Непараметрическая статистика вычисляет разнообразный набор мер положения (среднее, медиану, моду и т.д.) и рассеяния (дисперсию, гармоническое среднее, межквартильный размах и т.д.), позволяющий представить более "полную картину" данных.

Альтернативное распределение признака. Если из всей массы наблю-

дений использовать для статистического анализа только наблюдения за исходами, например, получен эффект от проводимой терапии – да или нет; выявлены побочные эффекты – да или нет; отмечено появление определенных симптомов – да или нет и т.д., то необходим способ учета реакций в альтернативной форме (реакция, которая или наступает, или – нет).

Альтернативное распределение – это распределение элементов совокупности на 2 части (2 альтернативы) по какому-либо признаку, чаще по качественному. Единственный способ описания качественных признаков состоит в том, чтобы подсчитать число объектов, имеющих одно и то же значение, или долю от общего числа объектов, которая приходится на то или иное значение.

В отношении доли вариант в альтернативном распределении возникают те же статистические задачи, что и для параметров, представленных в количественной форме:

оценка доли р в генеральной совокупности по выборочным данным, нахождение доверительного интервала для р;

выявления различия между генеральными долями р1 и р2 двух совокупностей по выборочным данным, т.е. сравнение двух выборочных долей вариант.