1.3 Определение третьей коммутации

Решение:

По условиям нам даны Е=100 В; L=125 мГн; С=140 мкФ;r₂=r₃= 25 Ом. Составим схему для третьей коммутации (рисунок 4).

Рисунок 4 – Схема третьей коммутации

Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до третьей коммутации:

Составим характеристическое уравнение по выражению для комплексного сопротивления схемы после коммутации при замене jωна p:

,

то есть характеристическое уравнение имеет вид:

Преобразовав его и подставив данные, получим:

Теперь найдем корни характеристического уравнения:

Корни характеристического уравнения получились комплексно-сопряжёнными: р₁₂ = − 400±200j, с^-1 . Отсюда знаем, что α = 400 с^-1, ω₀= 200 с^-1.

Определение выражения искомого тока i₁(t) в переходном процессе:

. (1.3.1)

Ток установившегося режима , так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв. Постоянные интегрирования Aиопределяются из начальных условий.

Так как в уравнении (1.3.1) две неизвестные величины нам нужно, составить систему из двух уравнений, поэтому дифференцируем его:

.

Cоставляем систему из двух уравнений приt=0:

(1.3.2)

Нам не известна первая производная тока в момент коммутации . Чтобы ее найти, мы составим уравнения по законам Кирхгофа для любого момента времени, при этом контуры выбираем таким образом, чтобы индуктивность входила только в один контур:

(1.3.3)

Записываем первое и второе уравнения системы (1.3.3) при t= 0:

Используя независимые начальные условия, нашли токи ветвей при t= 0:i₁(0) =i₃(0) = 0,52 А.

Дифференцируем первое и второе уравнения системы (1.3.3) и записываем их при t= 0; третье уравнение системы (1.3.3) записываем приt= 0:

(1.3.4)

Найдем значение первой производной напряжения на конденсаторе приt= 0:

Подставим найденное значение и другие данные в систему уравнений (1.3.4):

Решив его, получим ;;

Теперь найдем постоянные интегрирования А и , подставив найденные значения в систему уравнений (1.3.2):

Решив его, имеем А = 0,52; .

Тогда искомый ток в переходном процессе:

(1.3.5)

Определение выражения искомого тока i₂(t) в переходном процессе:

. (1.3.6)

Ток установившегося режима , так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв. Постоянные интегрирования Bиопределяются из начальных условий.

Так как в уравнении (1.3.6) две неизвестные переменные нам нужно, составить систему из двух уравнений, поэтому дифференцируем его:

.

Cоставляем систему из двух уравнений приt=0:

(1.3.7)

Подставим известные значения:

Решив его, найдем постоянные интегрирования: В = 0,52; .

Тогда искомый ток в переходном процессе:

(1.3.8)

Определим постоянную времени цепи ₃:

2 Расчет тока третьей коммутации операторным методом

При расчёте переходных процессов классическим методом требуется в общем случае многократное решение систем алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования по начальным условия, что представляет основную трудность расчета этим методом.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом,ставится в соответствие функцияF(p), которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Поскольку для операторных токов, напряжений и сопротивлений справедливы законы Ома и Кирхгофа, то расчет операторных токов и напряжений будет аналогичным расчету постоянных токов и напряжений в резистивных цепях постоянного тока. В частности, могут быть использованы все известные методы расчета (метод эквивалентных преобразований, метод узловых напряжений и т.д.), которые основаны на законах Ома и Кирхгофа.

Решение: определим ток i₂(t) операторным методом расчета переходных процессов. По условиям нам даны Е=100 В;L=125 мГн; С=50 мкФ;r₁ =r₂=r₃= 25 Ом. Составим схему для третьей коммутации (рисунок 5).

Рисунок 5 – Схема третьей коммутации

Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до третьей коммутации:

Составим операторную схему после коммутации с учетом внутренних ЭДС (рисунок 6).

Рисунок 6 – Операторная схема

Составим систему уравнений по методу контурных током:

Найдем определитель системы, подставив данные:

Находим нужное алгебраическое дополнение:

Следующим шагом найдем изображение тока :

.

Определим корни полинома знаменателя, прировняв его к нулю:

Решив уравнение, получим комплексно-сопряжённые корни:

Р₂₃ = −121±118j, с^-1.

Определим значение полинома числителя N(p₁), N(p₂) и N(p₃) при найденных корнях:

.

Найдем производную полинома знаменателя :

M'(p) = 1250pC+150p²LC+2pL+25

Определим значение производную полинома знаменателя M'(p₁), M'(p₂) и M'(p₃) при найденных корнях:

Нахождение оригинала искомого тока в переходном процессе при использовании формулы разложения: