1.1 Определение первой коммутации
Решение:
По условиям нам даны Е=100 В; L=125 мГн; С=140мкФ;r2 =r3= 25 Ом.
Составим схему для первой коммутации (рисунок 2).
Рисунок 2 – Схема первой коммутации
Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до коммутации:
Составим характеристическое уравнение по выражению для комплексного сопротивления схемы после коммутации при заменеjωна p:
,
то есть характеристическое уравнение имеет вид:
Преобразуем его и получим:
.
После подстановки данных и преобразования уравнения имеем:
Теперь найдем корни характеристического уравнения:
Корни характеристического уравнения получились комплексно-сопряжёнными: р12 = − 200±j131, с-1 . Отсюда знаем, что α = 200 с-1, ω0=131с-1.
Определим выражение напряжения на конденсаторе uc(t) в переходном процессе:
. (1)
Напряжение на конденсаторе в установившемся режима uc уст= Е, так как конденсатор был последовательно включен в цепь с источником ЭДС. Постоянные интегрированияA и ψ определяются из начальных условий.
Так как в уравнении (1) две неизвестные величины нам нужно, составить систему из двух уравнений. Для этого нужно ввести еще одно уравнение:
Теперь составляем систему из двух уравнений при t=0:
Подставим данные в систему уравнений:
Решив систему уравнений, мы получим следующее: ;
Напряжение на конденсаторе в переходном процессе:
. (2)
Определим выражение искомого тока в переходном процессе:
(3)
Ток установившегося режима, так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв. Постоянные интегрирования Bи β определяются из начальных условий.
Так как в уравнении ( 3) две неизвестные величины нам нужно, составить систему из двух уравнений, поэтому дифференцируем его:
.
Cоставляем систему из двух уравнений приt=0:
(4)
Нам не известна первая производная тока в момент коммутации . Чтобы ее найти, мы составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
Подставив известные нам значения и решив уравнение, мы получим: А/с.
Теперь подставляем данные в систему уравнений (4):
Решив систему уравнений, имеем B=6.1; β = 0.
Тогда искомый ток в переходном процессе:
(5)
Определим постоянную времени цепи 1:
Определим напряжение на конденсаторе uc на конец первой и начало второй коммутации, подставив найденное значениев уравнение (2):
Искомый ток в переходном процессе:
.
1.2 Определение второй коммутации
Решение:
По условиям нам даны Е=100 В; L=125 мГн; С=140мкФ;r2 =r3= 25 Ом.
Составим схему для второй коммутации (рисунок 3).
Рисунок 3 – Схема второй коммутации
Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до второй коммутации:
Составим характеристическое уравнение по выражению для комплексного сопротивления схемы после коммутации при замене jωна p:
,
то есть характеристическое уравнение имеет вид:
Преобразуем его и получим:
.
Подставим известные значения:
Решив уравнение, нашли корень характеристического уравнения:
p= -143c-1.
Определим выражение напряжения на конденсаторе uc(t) в переходном процессе:
(1.2.1)
Напряжение на конденсаторе в установившемся режима uc уст= Е, так как конденсатор был последовательно включен в цепь с источником ЭДС.
Запишем уравнение (1.2.1) при t = 0 и найдем постоянную интегрирования A:
.
Подставим известные значения и получим:
.
Напряжение на конденсаторе в переходном процессе:
. (1.2.1)
Определение выражения искомого тока i1(t) в переходном процессе:
. (1.2.2)
Ток установившегося режима , так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв.
Запишем уравнение (1.2.2) при t = 0 и найдем постоянную интегрирования B:
. (1.2.3)
Найдем , составив уравнение поІІзакону Кирхгофа:
Подставив известные нам значения и решив уравнение, мы получим
Теперь запишем полученное значение в уравнение (1.2.3), откуда следует, чтоB= 1,08.
Тогда искомый ток в переходном процессе:
. (1.2.4)
Определим постоянную времени цепи 2:
Определим напряжение на конденсаторе uc на конец второй и начало третьей коммутации, подставив найденное значениев уравнение (1.2.1):
Искомый ток в переходном процессе:
.