умк_Вабищевич_Физика_ч

Окончание табл.

11

1. УЧЕБНЫЙ БЛОК «КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ»

Введение

Кинематика – раздел механики, в котором изучается движение тел, но не рассматриваются причины, вызывающие это движение. Любое сложное движение может быть представлено совокупностью простейших движений: поступательного, колебательного и вращательного. При поступательном и в ряде случаев колебательного движений формой и размерами тела можно пренебречь, так как от них не зависят закономерности движения. В этом случае тела заменяются их моделью – материальной точкой, т.е. объектом, не имеющим размеров, но обладающим массой. В настоящем учебном блоке рассматриваются закономерности поступательного движения, поэтому они рассматриваются с использованием модели материальной точки (м.т.).

Представление движущегося тела материальной точкой возможно только в случае, когда все его элементы движутся по одинаковым траекториям. Это является признаком (критерием) поступательного движения.

Для описания движения используются системы координат. Программа данного учебного блока предусматривает получение навыков использования прямоугольной (декартовой) и сферической систем координат. Критерием выбора той или иной системы координат являются наибольшая простота получаемых уравнений движения и наименьшее их количество.

Для успешного изучения учебного материала данного блока учащийся должен в рамках программы средней школы

иметь представление:

–об основных кинематических характеристиках движения;

обладать навыками:

–использования прямоугольной системы координат;

–сложения и вычитания векторов;

–дифференцирования и интегрирования простейших функций.

Учебная программа блока

12

13

Хотя rG определяет положение м.т., описать это положение с его помощью невозможно, т.к. для этого необходимо описать направление rG. Поэтому для описания положения м.т. используют системы координат, в частности прямоугольную (см. рис. 1.1). В этой системе проекции r на взаимноперпендикулярные оси координат x, y, z полностью определяют модуль и направление r

если выбраны (заданы) орты (единичные векторы) системы координат. В скалярной форме (1) запишется через координаты в виде

В ряде случаев, например – движения м.т. по сферической поверхности, удобно использовать сферическую систему координат, в которой параметрами являются модуль радиус-вектора – r, азимутальный угол – β и полярный угол – α (рис. 1.2).

При этом параметры прямоугольной и сферической систем координат связаны соотношением (2) и (3).

Таким образом в любой выбранной системе координат достаточно трех параметров для описания положения материальной точки. Сферическая система координат в дальнейшем будет привлекаться только в тех случаях, где она более удобна, чем прямоугольная.

При движении материальной точки ее координаты и радиус-вектор изменяются со временем, а сама материальная точка (конец rG) описывает в пространстве линию, которая называется ее траекторией.

Законом движения или уравнением траектории в векторной форме

называется зависимость радиус-вектора материальной точки от времени

14

Это уравнение эквивалентно трем уравнениям для координат

Для получения уравнения траектории материальной точки в явном виде из системы (6) необходимо исключить время t, т.е. получить зависимость координат друг от друга. По форме траектории бывают прямолинейными и криволинейными. Если при движении материальная точка находится все время в одной плоскости, то такое движение называется плоским. При этом можно использовать неполную систему координат, например хоу, хoz или zoy.

Вектор перемещения и отрезок пути материальной точки. Скаляр-

ную величину ∆S, равную расстоянию вдоль траектории, пройденному точкой за данный промежуток времени, называют отрезком пути материальной точки (путем). Путь положителен всегда и в процессе движения может только возрастать.

Пусть за время ∆t материальная точка переместилась из точки М в точку М*, пройдя вдоль траектории отрезок пути ∆S (рис. 1.3). Вектор ∆rG, проведенный из начальной точки М в конечную точку М*, называется вектором перемещения материальной точки за время ∆t

где ∆x = x/ − x ; ∆y = y/ − y ; ∆z = z/ − z .

Из рис. 1.3 видно, что при криволинейном движении отрезок пути ∆S не равен величине вектора перемещения

Направление вектора < υ > совпадает с ∆r (рис. 1.3), а абсолютная величина равна

15

Средней путевой скоростью за время ∆t называется отношение отрезка пути ∆S к ∆t:

Средняя путевая скорость является скалярной величиной.

Так как ∆S = | ∆rG| только в случае движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае средняя путевая скорость не совпадает с модулем вектора средней скорости: υср ≠|< υ >| .

Вектор скорости материальной точки υ(t) в данный момент времени t

определяется как предел, к которому стремится вектор средней скорости < υG > за время от t до t + ∆t при безграничном уменьшении промежутка времени ∆t

где штрих означает производную по времени, которую принято записывать в виде

(11)

где drG – перемещение материальной точки за бесконечно малый промежуток времени dt . G

Заметим, что при ∆t → 0 вектор ∆r → dr и направлен в сторону движения по касательной к траектории материальной точки в момент времени t, а по абсолютной величине

16

Таким образом вектор скорости материальной точки υG(t) направлен

по касательной к траектории в сторону движения, его проекции на оси OX, OY, OZ определяются соотношениями (14), а абсолютная величина – выражением (15).

Модуль вектора скорости (используя (12)) также можно определить с помощью выражения

т.е., взяв производную от пути по времени.

Пусть материальная точка, перемещаясь по своей траектории (рис. 1.4), находилась в момент времени t в точке М, а в момент времени t + ∆t –

Вектором среднего ускорения за время ∆t называют отношение приращения вектора скорости ∆υ ко времени, за которое оно совершено

Направление вектора <a> совпадает с направлением ∆υ (см. рис. 1.4).

Выражение (18) при ∆t, стремящемся к нулю, определяет вектор ускорения материальной точки в момент времени t (мгновенное ускорение)

17

Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси

Следует отметить, что понятие, аналогичное υср (10), для ускорения не используется. Если речь идет о среднем ускорении, то имеется в виду

вектор среднего ускорения < a > (18).

Если траекторияG материальной точки лежит в плоскости XOY, то вектор ускорения a всегда можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 1.5)

(23)

где aGn – нормальное (или центростремительное) и aτ – тангенциальное (или касательное) ускорения материальной точки. Вектор aGn всегда направлен к центру кривизны траектории 0' в точке М, а вектор aGτ лежит на

касательной к траектории в точке М и может быть направлен как в сторону движения, так и в противоположнуюGсторону. Такое разложение вектора ускорения a часто необходимо в связи с тем, что вектор скорости материальной точки υ может изменяться как по направлению, так и по абсолютной величине. Нормальное ускорение an характеризует быстроту изменения

где υ = υG – модуль скорости материальной точки; R – радиус кривизны

траектории в данный момент времени.

18

Из (24) – (25) видно, что an ≥ 0 (причем an = 0 при прямолинейном движении: R → ∞), aτ > 0 при ускоренном движении материальной точки, aτ < 0 , если материальная точка движется замедленно, и aτ = 0 при равно-

мерном движении.

Из (23) и рис. 1.5 следует, что абсолютные значения величин a, an , aτ связаны между собой соотношением

Понятия скорости и ускорения являются относительными и зависят от выбора системы координат. Пусть имеется неподвижная система отсчета

где rG0 – радиус-вектор начала координат О' системы К' в системе К. Взяв производную по времени от левой и правой частей уравнения (27), получим

где υG– скорость материальной точки относительно неподвижной системы

отсчета К; υG/ – скорость материальной точки относительно движущейся системы отсчета К/ – относительная скорость, υ0 – скорость поступа-

тельного движения системы отсчета К' относительно системы К – пере-

носная скорость.

Продифференцировав (28) еще раз по времени, получим

ние (28) представляет собой правило сложения скоростей.

19

Из полученных правил сложения скоростей (28) и ускорений (29),

Кинематика движения материальной точки по окружности

Пусть материальная точка совершает движение по окружности радиусом R. Выберем систему координат, плоскость XOY которой совпадает

сплоскостью движения материальной точки, а начало координат совпадает

сцентром окружности, описываемой материальной точкой (рис. 1.7). Ско-

рость движения материальной точки υ, направленная по касательной к траектории, всегда перпендикулярна радиус-вектору материальной точки rG, а величина радиус-вектора r = R не меняется со временем.

При движении материальной точки по окружности, кроме скорости υ, которую часто называют линейной скоростью, удобно использовать поня-

тие угловой скорости материальной точки ω.

Средней угловой скоростью <ω> материальной точки на данном участке движения называется величина, равная отношению угла поворота ∆ϕ

Рис. 1.7 радиус-вектора точки за некоторый промежуток времени ∆t к этому промежутку времени:

<ω>= ∆∆ϕt ,

аугловую скорость ω определим, как предел, к которому стремится <ω> при ∆t → 0:

где dϕ – угол, на который поворачивается радиус-вектор материальной точки rG за бесконечно малый промежуток времени dt.

20