умк_Вабищевич_Физика_ч

Пример 2.

Внутри диска радиусом R = 105,6 см, изготовленного из плоскопараллельной однородной пластинки, вырезан квадрат таким образом, как показано на рис. 1.8. Найти положение центра тяжести диска с вырезом.

Решение. Нахождение положения центра тяжести однородных тел, имеющих вырез, в рамках школьной программы возможно лишь при условии, что известны положения центров тяжести целого тела и вырезанной части. При этом на чертеже тело с вырезом нужно расположить так, чтобы центры тяжести целого тела и вырезанной части находились в плоскости рисунка на горизонтальной прямой. Тогда силу тяжести целого тела можно представить как сумму двух параллельных сил – силы тяжести вырезанной части и силы тяжести оставшейся фигуры, т.е. тела с вырезом.

Рассмотрим конкретную задачу.

Если бы диск массой m был без выреза, то на него действовала бы сила тяжести mg = m1g + m2 g , где m1, m2 – масса вырезанного квадрата и

масса диска с вырезом соответственно. При этом сила тяжести mg приложена к центру тяжести диска без выреза (к геометрическому центру диска), m1g – к центру тяжести квадрата (к геометрическому центру квадрата), m2 g – в некоторой точке О/, соответствующей центру тяжести диска с выре-

зом. При этом диск находился бы в равновесии.

Запишем уравнение моментов целого диска относительно оси OZ, проходящей через точку О (геометрический центр диска) перпендикулярно плоскости чертежа, считая диск состоящим из двух частей – квадрата и диска с вырезом:

где хс – расстояние от оси OZ до центра тяжести пластинки с вырезом. Выразив массы вырезанного квадрата и диска через плотность и объем

(где h – толщина пластинки; ρ – плотность материала, из которого она изготовлена), из (1) – (2) находим

101

Пример 3.

Лестница массой m = 30 кг прислонена к гладкой вертикальной стене под некоторым углом к полу. Коэффициент трения между лестницей и полом µ = 0,3. Определить наименьший угол наклона лестницы к полу, при котором она может оставаться в равновесии, и силу, с которой лестница давит на стену, когда скользит.

Решение. На лестницу кроме силы тяжести mg , приложенной к ее центру масс (сере-

дине), действуют силы: со стороны пола – сила

102

Преобразуем уравнение (1) с учетом выражений (4):

Обратимся теперь ко второму вопросу задачи.

При скольжении лестницы сила трения будет равна Fтр = µN1 . Следо-

вательно, сила N2/ (по третьему закону Ньютона N2/ = N2 , с которой лестница будет давить на стену

N2/ = Fтр = µN1 = µmg =88,2 H .

Ответ: αmin = arctg 21µ ≈ 59 ; N2/ = µmg =88,2 H .

Пример 4.

На цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости так, как показано на рис. 1.10. Коэффициент трения цилиндра о плоскость – µ. При каком максимальном значении угла α цилиндр не будет скатываться с наклонной плоскости?

Решение. На цилиндр действуют четыре силы: сила тяжести mg , сила натяжения нити Т , сила реакции N и

сила трения Fтр. пок. , препятствующая скольжению цилиндра по плоскости.

103

Выразив из уравнения (1) силу натяжения нити Т и подставив в (2), получим

Поскольку сила трения покоя Fтр. пок. ≤ Fтр. max =µN , то уравнение (4) с учетом (3) можно записать в виде

104

2. УЧЕБНЫЙ БЛОК «ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА»

Введение

Раздел динамики вращательного движения является одним из основных разделов физики, изучаемой в университете. Это обусловлено, вопервых, достаточно новым материалом, который в школьном курсе физики не изучается. Во-вторых, этот раздел имеет большое значение при изучении других дисциплин: теоретической механики, сопротивления материалов, строительной механики, теории машин и т.д. Поэтому материал этого блока, по сравнению с другими блоками, предлагается на лекции, и не выносится на самостоятельное изучение. Вместе с тем для изучения этого блока необходимо наличие у студентов определенных знаний и умений.

При изучении данного блока студенты

должны знать:

–законы динамики поступательного движения материальной точки;

–понятие момента сил и центра масс;

–законы сохранения механики поступательного движения материальной точки;

иметь представление:

–о правилах векторного и скалярного произведений;

–о методах интегрирования;

–о способах определения центра масс;

–о кинематических характеристиках движения по окружности.

Учебная программа блока

105

Цели обучения

2.1. Краткое содержание теоретического материала

где υ – производная скорости точек по времени (ускорение).

Умножим первое уравнение на r1 , а второе – на радиус-вектор второй частицы r2 , которые для мгновения времени, можно считать радиусами окружностей, по которым движутся материальные точки m1 и m2 и получим:

Поскольку векторное произведение rυ эквивалентно dtd [rυ], то получаем уравнение движения в виде

106

будет направлен по направлению большого пальца ладони, отогнутого на угол 90˚.

Обобщая уравнения (1) и (2), связь момента импульса системы материальных точек с моментами сил, действующих на точки, получаем в виде

и момент импульса системы также сохраняется.

Второй закон Ньютона для вращательного движения. Момент инерции тел

На основе уравнений (4) и (5) для материальной точки, движущейся по окружности, можно записать

где левая часть – изменение момента импульса материальной точки под действием импульса момента силы, представленного правой частью уравнения. Так как υ = ωR , то уравнение (6) можно переписать в виде

где величина J = mR2 является мерой инертности при вращательном движении и получила название момента инерции. Таким образом, для вращательного движения твердого тела уравнение (7), выражающее Второй закон Ньютона, можно записать в виде

где JT – момент инерции тела, εT – мгновенное угловое ускорение тела под действием результирующего момента сил, действующих на тело.

108

Так как масса твердого тела распределена по его объему, то для определения момента инерции тела можно поступать следующим образом:

–разбить тело на микрообъемы dVi;

–определить кратчайшее расстояние ri от dVi до оси вращения тела;

–определить массу микрообъема mi = ρi dVi ;

–определить момент инерции такой массы Ji = miri2 ;

–осуществить операцию суммирования Ji

Операцией, эквивалентной суммированию, является интегрирование функции J по объему тела. Поэтому в общем случае

V

где ρ – плотность вещества тела.

Уравнение (9) позволяет определить J для любого тела (формы и распределения массы) и любой оси вращения этого тела. Однако определение J может быть упрощено в ряде случаев, например, если известен момент инерции тела относительно некоторой оси вращения его, проходящей через центр массы – Jo, а реальная ось вращения параллельно смещена (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

АА– ось вращения, для которой известно J0;

ВВ– ось вращения тела, для которой определяется J

Вращение тела относительно оси ВВ с угловой скоростью ω можно представить в виде двух движений:

–движение центра массы mT (точка О) по окружности с радиусом d вокруг оси ВВ;

–вращение тела относительно оси АА.

109

При этом оба движения осуществляются с угловой скоростью ω. Поэтому можно записать

Выражение (10) называется теоремой Штейнера.

Энергия и работа при вращательном движении

Пусть на элементы тела массой mi действуют внутренние fi и внешние Fi силы. Эти силы совершают работу, которая для i-го элемента будет записана в виде формулы

dAi = fiυidt + Fiυidt = fi [ωri ]dt + Fi [ωiri ]dt ,

и которая приводит к движению i-го элемента по окружности относительно некоторой оси с угловой скоростью ω, вектор которой совпадает с осью вращения z.

Тогда для всех элементов тела элементарная работа равна dA = ∑dAi = ω(∑Miвнутр )dt + ω(∑Miвнеш )dt .

Сумма моментов внутренних сил равна 0. Поэтому

dA = ωMdt = ωM ωdt = ωM t dt ,

так как проекция Mω = M z , поскольку ось z совпадает с вектором угловой скорости. Учитывая, что dϕ = ωdt , получаем выражение для работы по повороту твердого тела вокруг оси z на бесконечно малый угол dϕ:

dA = M zdϕ

Для поворота тела на конечный угол ϕ, требуемая работа равна

ϕ

A = ∫dA =M zϕ.

0

Определить энергию вращающегося тела с угловой скоростью ω можно суммированием энергий движения по окружностям всех бесконечно малых элементов (точек) твердого тела, которая является кинетической энергией.

Для одной i-ой точки твердого тела

110