elem_mat_copy

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Горно-Алтайский государственный университет»

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ

МАТЕМАТИКА

(вводный курс в математику)

Учебно-методический комплекс

Для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 010100 Математика

Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета

2010

Печатается по решению редакционно-издательского совета Горно-Алтайского государственного университета

УДК 51

ББК 22.1 П88

Элементарная математика (вводный курс в математику): учебно-методический комплекс (для студентов-бакалавров,

обучающихся по направлению 010100 Математика). ГорноАлтайск: РИО ГАГУ, 2010. 80 с.

Составители:

Пуркина В.Ф., кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и МПМ Горно-Алтайского государственного университета

Кайгородов Е. В., ст. лаборант кафедры алгебры, геометрии и МПМ Горно-Алтайского государственного университета

Рецензенты:

Крылов П. А., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры Томского государственного университета

Деев М. Е., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и МПМ Горно-Алтайского государственного университета

Пособие содержит учебно-методические материалы по дисциплине «Элементарная математика (вводный курс в математику)» для студентов дневного отделения физикоматематического факультета I курса по направлению «010100 Математика» и рассчитано на 1 семестр (первый). Дисциплина «Элементарная математика (вводный курс в математику)» является общепрофессиональной дисциплиной регионального компонента ДН(М).Р.1 для данного контингента студентов.

Пуркина В.Ф., Кайгородов Е. В., 2010

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Квалификационная характеристика бакалавра……… 3

2.Набор компетенций бакалавра………………………... 4

3.Рабочая программа…………………………………….. 5

3.1.Цели и задачи дисциплины ………..…………... 5

3.2.Обязательные требования к минимуму содержания дисциплины……………………….. 6

3.3.Распределение часов …………….……………... 6

3.4.Технологическая карта учебного курса «Элементарная математика»…………………… 7

3.5.Содержание дисциплины………………….…… 7

3.5.1.Практические занятия ………………..…. 8

3.5.2.Самостоятельная работа………………… 10

4.Вопросы к зачету.……………………………………… 11

5.Практикум по элементарной математике …………… 11

6.Глоссарий…………………………………………….… 75

7.Основная и дополнительная литература………….….. 76

1. КВАЛИФИКАЦИОННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА БАКАЛАВРА

Бакалавр математики подготовлен к выполнению деятельности в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления; программно-управленческому обеспечению научно-исследовательской, проектно-конструкторской и эксплуатационно-управленческой деятельности.

Объектами профессиональной деятельности бакалавра математики являются научно-исследовательские центры, органы управления, образовательные учреждения, промышленное производство. Исходя из своих квалификационных возможностей, выпускник по направлению 010100 Математика может занимать

3

должности: математик, инженер-программист (программист) и др. в соответствии с требованиями Квалификационного справочника должностей руководителей, бакалавров и других служащих, утвержденного постановлением Минтруда России от 21.08.98 №37.

2. НАБОР КОМПЕТЕНЦИЙ БАКАЛАВРА

Бакалавр математики отвечает следующим требованиям:

Понимает возможности современных методов познания природы и владеет ими на уровне, необходимом для решения задач, имеющих естественнонаучное содержание и возникающих при выполнении профессиональных функций.

Умеет на научной основе правильно организовывать свой труд.

Способен в условиях развития науки и изменяющейся социальной практики к переоценке накопленного опыта, анализу своих возможностей, умеет приобретать новые знания, использовать другие формы обучения, включая самостоятельные и информационно-образовательные технологии.

Понимает сущность и социальную значимость своей будущей профессии, основные проблемы дисциплин, определяющих конкретную область его деятельности, видит их взаимосвязь в целостной системе знаний.

Способен поставить цель и сформулировать задачи, связанные с реализацией профессиональных функций, умеет использовать для их решения методы изученных им наук.

Способен к совершенствованию своей профессиональной

деятельности в области математики.

После изучения дисциплины «Элементарная математика (вводный курс в математику)» студенты должны:

4

упорядочить, систематизировать, доработать и качественно переосмыслить свои знания по школьному курсу математики;

овладеть понятиями и методами современной математической науки;

приобрести опыт исследования фундаментальных понятий

впроцессе решения задач смежных математических дисциплин (алгебры, геометрии, математического анализа, теории вероятностей и др.).

3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Дисциплина «Элементарная математика (вводный курс в математику)» является общепрофессиональной дисциплиной регионального компонента ДН(М).Р.1. Данный учебнометодический комплекс предназначен для студентов первого курса дневных отделений физико-математических факультетов по направлению «010100 Математика» и рассчитано на один семестр (первый).

Актуальность дисциплины обусловлена необходимостью сообщения студенту основных сведений из теории множеств, математической логики, комбинаторики, без знания которых практически невозможно изучение всех математических дисциплин. Изложение теоретического материала предполагает тесную связь со многими дисциплинами математического цикла: алгебра, геометрия, теория чисел, математический анализ, математическая логика, дискретная математика и др.

3.1.Цели и задачи дисциплины

систематизировать знания студентов по школьному курсу математики;

раскрыть роль и специфику математического языка и базовых понятий математики;

5

заложить основу для последующего изучения базовых курсов: алгебры, геометрии, математического анализа, теории вероятностей.

Основной целью курса «Элементарная математика» является закрепление у студентов знаний по элементарной (школьной) математике, выработка практических навыков решения задач, воспитание у студентов культуры мышления и доказательства математических утверждений, развитие математической культуры и интуиции.

3.2. Обязательные требования к минимуму содержания дисциплины

Курс «Элементарная математика» включает в себя следующие разделы:

элементы математической логики;

множества и элементы комбинаторики;

соответствия и отношения;

операции на множествах и их свойства.

Изучение этих тем позволяет систематизировать и обоб-

щить все знания студентов по школьному курсу математики и заложить основы для дальнейшего освоения математических дисциплин, предусмотренных государственным стандартом, в процессе освоения теоретического материала и решения различного типа задач.

3.3. Распределение часов

6

3.4. Технологическая карта учебного курса «Элементарная математика»

3.5. Содержание дисциплины

Элементы математической логики

О предмете и языке математики. Высказывания, операции над ними, свойства операций. Формулы исчисления высказываний, равносильность формул. Предикаты и кванторы, равносильность формул в исчислении предикатов. Теоремы стандартного вида, необходимые и достаточные условия. Логическое следование. Логические законы. Правила вывода. Понятие доказательства. Методы доказательств: по определению, от противного, метод математической индукции.

7

Множества и элементы комбинаторики

Множества, элементы множества, отношение принадлежности. Способы задания множеств: при помощи характеристического свойства и перечислением элементов. Отношение включения между множествами, подмножества. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность и симметрическая разность, их основные свойства. Диаграммы ЭйлераВенна. Факториал. Правила сложения и умножения. Основные комбинаторные соединения: размещения, перестановки, сочетания с повторениями и без повторений. Основные формулы. Бином Ньютона.

Соответствия и отношения

Бинарные соответствия, их свойства: функциональность, всюду определенность, инъективность, сюръективность, биективность. Бинарные отношения, их свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность и т.д. Классификация отношений по типам. Фактор-множество, разбиения.

Операции на множествах и их свойства

Декартово произведение и декартова степень множеств. n- арные операции. Бинарные операции, их свойства: ассоциативность, коммутативность и др.

3.5.1. Практические занятия — 36 часов

Практическое занятие №1

О предмете и языке математики. Высказывания, операции над ними. Формулы.

Практическое занятие №2

Равносильность формул. Виды формул.

Практическое занятие №3

Предикаты и кванторы.

Практическое занятие №4

Логические законы, правила вывода. Метод математической индукции.

8

Практическое занятие №5

Теоремы стандартного вида. Необходимые и достаточные условия.

Практическое занятие №6

Самостоятельная работа по теме «Элементы математической логики».

Практическое занятие №7

Множества, способы задания множеств. Теоретикомножественные операции. Теоретико-множественные тождества.

Практическое занятие №8

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Практическое занятие №9

Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Практическое занятие №10

Самостоятельная работа по теме «Множества и элементы комбинаторики».

Практическое занятие №11

Бинарные соответствия и операции над ними.

Практическое занятие №12

Свойства и типы соответствий.

Практическое занятие №13

Бинарные отношения и их свойства.

Практическое занятие №14

Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество.

Практическое занятие №15

Самостоятельная работа по теме «Соответствия и отноше-

ния».

Практическое занятие №16

n-арные операции на множествах. Бинарные операции и их свойства.

Практическое занятие №17

Исследование свойств бинарных операций на числовых множествах.

Практическое занятие №18

Зачетная контрольная работа.

9

3.5.2. Самостоятельная работа студентов — 59 часов

Самостоятельная работа студентов рассматривается как вид учебного труда, позволяющий целенаправленно формировать и развивать самостоятельность студента как необходимое личностное качество при выполнении различных видов заданий, упражнений, а также в процессе изучения учебного материала дисциплины.

Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Элементарная математика» состоит из следующих видов деятельности:

повторение содержания школьного курса математики;

изучение нового теоретического материала из основной и дополнительной литературы;

выполнение индивидуальных заданий;

подготовка к практическим занятиям и зачету.

Для успешного выполнения расчетных заданий, написания рефератов и подготовки к коллоквиуму, помимо материалов практических занятий, необходимо использовать основную и дополнительную литературу, указанную на стр. 76 настоящего пособия. Руководство и контроль над самостоятельной работой студентов осуществляется на практических занятиях и индивидуальных консультациях.

10