7.6. Расширение числового множества в начальном обучении математике

7.6.1. Практические и теоретические предпосылки расширения множества чисел в обучении младших школьников. В истории математики называют две основные причины изобретения новых чисел и соответствующего расширения числовых множеств: практические и теоретические. Практическими причинами называют потребности в числовом обозначении результатов измерения и других способов количественного сравнения предметов и групп предметов в случаях, когда эти результаты не могут быть выражены известными числами. Такие потребности можно отнести к материальным потребностям человека. К теоретическим причинам относят потребности разрешения трудностей соответствующих теорий, которые, вообще говоря, имеют личностный характер: эстетический - стремление к красоте, логический – стремление к логической завершенности и непротиворечивости, этический – стремление к справедливости, равноправию, истине. Эти потребности можно отнести к духовным потребностям человека.

Расширение множества натуральных чисел и нуля, исторически происходило за счет изобретения дробей и отрицательных чисел. И то и другое расширение может быть понято учащимися начальной школы, однако расширение основного числового множества в начальной школе происходит за счет добавления дробей, а отрицательные числа изучают в основной школе. Вызвано это тем, что в повседневной бытовой жизни отрицательные числа используются редко. Текстовые сюжетные задачи, отражающие в определенной мере эту повседневную жизнь, формулируются и решаются с использованием только неотрицательных чисел. Исключение составляют задачи со значением отрицательных температур в градусах Цельсия. Но они могут быть решены по шкале и без знания отрицательных чисел.

Рассмотрим названные выше причины изобретения человеком новых чисел по отношению к понятию дроби.

Числа «придуманы» как средства обозначения, хранения, переработки и передачи информации, в частности, информации о количественных отношениях между объектами по дискретной величине – количеству (штук) предметов в множестве, и по одной из непрерывных величин – длине, площади, объему, массе и т.д. Натуральным числом мы обозначаем количество отдельных предметов в множестве при счете по одному и количество мерок, целиком поместившихся в измеряемом объекте (в соответствующем величине смысле) при измерении непрерывной величины. Счет предметов также можно рассматривать как измерение дискретной величины «количество предметов», где единицей может быть один предмет или множество, состоящее из конечного числа предметов. При измерении количества элементов в множестве единицей, состоящей из одного предмета, результат измерения всегда обозначается натуральным числом. Числом 0, как известно, принято обозначать количество предметов (элементов) в пустом множестве. Если в качестве единицы счета, «единичного множества», взято не пустое множество, состоящее более чем из одного элемента, то результат измерения не всегда может быть выражен натуральным числом.

Например, количество яиц мы часто считаем десятками. В этом случае натуральное число может быть использовано, когда речь идёт об 1 дес., 2 дес., 3 дес. и т.д. Если же нужно обозначить и передать информацию о количестве яиц, которых меньше десятка, то у нас есть две возможности: а) изменить единицу счёта (единицу измерения), взяв вместо десятка один предмет или такую группу предметов, которая помещается в измеряемом множестве целое число раз, и обозначить рассматриваемое количество яиц натуральным числом; б) единицу счёта не менять, а придумать обозначения частей единицы.

Изобретая новый способ обозначения, вновь можно пойти двумя путями. Первый: придумать новое слово и графический знак как новое число, специально предназначенное для обозначения ситуации, в которой обозначение натуральным числом невозможно. Но тогда для каждой новой ситуации, когда мерка не укладывается в измеряемом объекте целое число раз, нужно будет изобретать новое слово и новые графические знаки. Их будет так много, что запомнить их и пользоваться ими будет очень трудно или невозможно. Гораздо эффективнее использовать для обозначения уже известные обозначения натуральных чисел.

Главной теоретической трудностью, приведшей к изобретению дробей, явились «недостатки» действия деления: невозможность выполнения деления без остатка для многих пар натуральных чисел. Так, ни одно меньшее натуральное число не может быть разделено без остатка на большее натуральное число. Большее число также не всегда без остатка делится на меньшее. Так без остатка на 5 делится только каждое пятое число натурального ряда, начиная с числа 5, а на 125 только каждое сто двадцать пятое! Мы переживаем невозможность выполнения какого-либо действия как определенное ограничение нашей свободы действий внешними обстоятельствами, как признак собственной слабости. Можно предположить, что люди, занимающиеся числами, стремились избавиться от этого психологического дискомфорта разработкой способов преодоления ограничения действия деления на множестве натуральных чисел. В результате было найдено два способа: изобретение деления с остатком, изобретение дробей.

Деление с остатком делает выполнимым деление для любых натуральных чисел, нуля и натурального числа. Числовое множество, на котором выполняется это действие, остается при этом неизменным. Деление с остатком отличается от сложения, вычитания и умножения и деления нацело: двум данным числам находится не одно число, а два - частное и остаток. Причем, остаток – это то, что мы делили, делили, и не «доделили». Фактически: не справились с делением!

Остаток такая часть числа, которая, вообще говоря, в делении не участвовала, она «осталась», осталась не у дел. Эта часть числа обозначает такое количество предметов (теоретико-множественный смысл) или часть предмета или предметов, которая осталась не поделенной. Деление с остатком - это неполное деление, «недоделенное» деление, в определенном смысле «ущербное». Но оно лучше, чем «не делится». А по внешнему виду выглядит как вполне состоявшееся деление. И даже богаче настоящего! Там-то всего одно число в результате, а тут целых два!! Ну как тут не возгордиться?! Оно и возгордилось! И уже настоящее деление, где все разделилось, где работа доведена до конца, выполнена полностью, становится лишь частным случаем деления «недоделенного»! Для этого всего-то лишь говорят: что деление нацело – это деление с остатком, равным нулю: 24 : 8 = 3 (ост. 0)!! Всего лишь назвали и обозначили по-другому, а грань стерта. И «доделенное» становится как «недоделенное»! Вот так! Правда, в любом хорошем есть плохое, а в плохом хорошее. Деление с остатком оказалось очень интересным действием! Оно несет много новой и, возможно, неожиданной информации о числах, Настолько интересной, что в математике есть целый раздел. Деление с остатком тесно связано с вопросами делимости нацело, с признаками делимости, с алгоритмами деления. В общем, перефразируя строчки стихотворения С. Михалкова, следует сказать: «Действия всякие нужны. Действия всякие важны».

Однако, как ни прячь состояние дел у деления с остатком за красивой вывеской, а деление-то выполнено лишь частично. А хотелось бы, чтобы все могло быть и полностью разделено. Тогда нужно искать способ «доделить не доделенное». Для этого и нужно дополнить множество натуральных чисел и нуля новыми числами, «назначив» их частными в делении без остатка в случаях деления, для которых среди натуральных чисел и нуля полного частного нет.

Изобретение дробей расширяет числовое множество и обеспечивает сходство деления в новом множестве с другими арифметическими действиями: по двум любым числам из этого множества (делитель не равен нулю) находится единственное третье число – частное, которое существует для любой пары чисел (делитель не нуль!) из расширенного множества, содержащего множество натуральных чисел, нуль и множество дробей. Это означает, что деление выполнимо для любых пар натуральных чисел (ради этого и изобретались дроби!), а также для пар, состоящих из нуля и натурального числа, натурального числа и дроби, нуля и дроби, дроби и натурального числа, двух дробей. (После выделения классов (групп) равных дробей, называемых рациональными числами получим множество неотрицательных рациональных чисел.)

К необходимости изобретения новых чисел можно прийти, рассмотрев проблему и с другого ракурса - со стороны чисел. Из математики известно, что деление (нацело) является частично заданной на множестве целых неотрицательных чисел операцией, потому что, как уже было сказано выше, не в любой паре чисел одно из них делится (нацело) на другое. Если же пара чисел такова, что одно число делится нацело на другое, то это другое число на первое уже не делится. А вот сложение и умножение являются алгебраическими операциями на указанном множестве. Эти операции выполнимы для любой пары чисел из этого множества.

Если возможность и невозможность деления одного числа на другое уподобить отношениям между людьми, то в действии деления натуральные числа неравноправны, и «общество натуральных чисел» устроено не вполне демократично, не вполне справедливо. То ли дело сложение и умножение! В сложении любые два числа имеют право и возможность участвовать в сложении и в сложении они абсолютно равноправны. Любое число может быть как первым, так и вторым в сложении. А так как результат не зависит от того, кто первый, а кто второй, то и ни одно число не может считать себя выше по статусу другого. Действие умножения создает аналогичные условия для чисел. Так уж мы, люди, устроены, что неравноправие воспринимается нами как «некрасивость», несправедливость.

Также как при преодолении трудностей измерения, трудностей обозначения результатов деления целого на несколько равных частей, ситуацию трудностей теории можно изменить, дополнив имеющиеся числа новыми, «назначив» их частными в тех случаях деления, в которых натуральные числа и нуль не могут быть частными. Например, если среди натуральных чисел и нуля нельзя найти числа, которые могли бы быть частными чисел 3 и 4, 4 и 3, 12 и 7, 7 и 12, 1 и 2, 4 и 12, и др., то нужно «придумать» для этой роли новые числа для каждого «нехорошего» случая. Можно придумать совсем новые слова и знаки, а можно сконструировать их из названий и цифр натуральных чисел.

Примерно такими могли быть размышления человека, решившего устранить «несправедливость» в числовом «государстве», а заодно и преодолеть собственную неспособность выполнять деление некоторых натуральных чисел. И выход был найден. Среди результатов вероятных этих размышлений самым удачным было решение обозначать, к примеру, результат деления числа 3 на число 4 словосочетанием «три четвёртых» в русском языке, «three-quarters» в английском, «drei vierte» в немецком, «trzy czwarte» в польском и т.д., и знаком ¾, результат деления числа 4 на 3 словосочетанием «четыре третьих», «four thirds», …, и знаком ⁴/₃, результат деления 12 на 7 словосочетанием «двенадцать седьмых» и знаком ¹²/₇ и т.д.

Чтобы новые числа работали не только внутри теории, но и могли моделировать материальные процессы, надо придать им предметные смыслы, аналогично смыслам натуральных чисел. Эти смыслы могут быть получены, если мы перенесем смыслы деления нацело на случаи деления с новыми числами в качестве частных. Так, 6 : 3 может обозначать, например, что 6 одинаковых плиток шоколада мы хотим поделить между тремя учащимися поровну и узнать, по сколько плиток шоколада получит каждый. Тогда и 4 : 3 может обозначать, что 4 одинаковые плитки шоколада мы хотим поделить поровну между тремя учащимися и узнать по сколько плиток шоколада получит каждый. Решить последнюю задачу практически можно двумя способами. Первый. Дадим каждому по одной плитке, а последнюю плитку разломим на 3 равные по массе части. Тогда каждому достанется по 1¹/₃ плитки. Второй. Каждую из 4-х плиток поделим на 3 равные по массе части. Тогда каждому достанется по одной такой третьей части от каждой из четырех плиток. В результате каждый ученик получит по ⁴/₃ плитки шоколада. Это означает, что 4 : 3 = 1¹/₃ и 4 : 3 = ⁴/₃ , т.е. 1¹/₃ = ⁴/₃ , дробь есть обозначение ясной, часто встречающейся материальной, осязаемой ситуации и реальных предметных действий.

Формальное словосочетание и «назначенное» цифровое обозначение превратилось в имеющее предметный смысл обозначение, в знаковое выражение информации о мире, о человеке, его действиях. Кроме того, что мы придали предметный смысл дроби, превратив ее из абстрактного, «выдуманного» знака в знак, обозначающий реальную ситуацию, мы получили еще одно новое число 1¹/₃ , для которого верно равенство: 1¹/₃ = ⁴/₃ , а также новое значение натурального числа 1. Число 1 теперь может быть обозначено дробью ³/₃ , а 2 = ⁶/₃, и т.д. !

Подобные рассуждения, проведенные с учащимися, позволяют им увидеть за сухими цифрами людей с их стремлением к красоте, гармонии, равноправию, справедливости. Выстраивание версий появления дробей как способа решения практических и теоретических проблем позволяет учащимся за символами, знаками, математическими понятиями увидеть человека, его духовные потребности, способы их удовлетворения средствами математики, что и составляет гуманитарный смысл математических понятий. Дети, включенные в проблему недостаточности натуральных чисел для решения задач практики и теории, психологических задач, поиск ее решения, становятся соавторами новых чисел, овладевая при этом многими личностными и метапредметными УУД.

Расширение множества натуральных чисел и нуля дополнением отрицательных чисел, как уже было сказано выше, не рассматривается в начальной школе. Однако ситуации применения и ситуации открытия отрицательных чисел учащимися, вопросы о них в начальной школе могут возникнуть и возникают. Отгораживаться от них, замалчивать, не обращать внимания – значит, противодействовать познанию детей, ограничивать их естественное стремление к познанию тайны. Изучая заданный круг чисел, мы должны создать у учащихся ясное представление о том, что этот круг может быть расширен. Если при изучении дробей мы будем акцентировать внимание учащихся на причинах и способах такого расширения путем изобретения новых чисел, то в связи с появлением дробей как снимающим трудности деления, как «демократизирующих» действие деления, у детей возникнут вопросы и по поводу вычитания. Ведь вычитание тоже не вполне красивое и «демократичное» по отношению к натуральным числам. Натуральные числа при вычитании неравноправны. В любой паре двух разных чисел только большее может быть уменьшаемым, может вычитать меньшее число. А попытка меньшее число сделать уменьшаемым приводит к невозможности вычитания. Так, 7 – 5 = 2, но 5 – 7 невозможно, так как среди натуральных чисел и нуля нет числа, которое бы могло быть их разностью. Но тогда можно по аналогии с дробями, взять, да и придумать числа-разности! Ведь для этого кроме думающей головы ничего больше не нужно!

Учитель должен быть готов к разговору с учащимися о возможном расширении через добавление отрицательных чисел. Систематическое их изучение не предусмотрено ФГОС и нецелесообразно, но показ возможности такого расширения полезен, как и некоторая практика работы с отрицательными числами при рассмотрении отрицательных температур в предмете «Окружающий мир», при выполнении учащимися соответствующих межпредметных заданий.

7.6.2. Планируемые результаты и общие подходы к изучения дробей в начальной школе. Отметим, что согласно ФГОС НОО дроби не входят в математический материал начального курса математики, который должен быть освоен на базовом уровне. Обязательный уровень их изучения носит пропедевтический характер, готовя учащихся к систематическому изучению дробей в основной школе, в 5 – 6 классах. В начальной школе в обязательном порядке всем учащимся должна быть обеспечена возможность познакомиться с дробями, возможность научиться в простейших случаях пользоваться соответствующими обозначениями в устной речи (половина, треть, четверть), решать простейшие задачи на нахождение одной или нескольких равных частей целого и по значению одной из равных частей целого находить часть (на интуитивном уровне, без использования термина «дробь» и обозначения парой чисел). Начальная школа обязана предоставить учащимся возможность освоить дроби и на более высоком уровне в соответствии с возможностями учащегося.

Так как образовательный, воспитательный и развивающий потенциал дробей как математических объектов чрезвычайно высок, то многие учебники математики для начальной школы не ограничиваются только обязательным уровнем. Знакомство с дробями, их изобретение учащимися дают новый импульс и изучению натуральных чисел. Но, умения записывать, сравнивать, выполнять действия с обыкновенными дробями, основанные на формальном освоении соответствующих способов действий и правил мало или вовсе не повышают математическую культуру младших школьников. А участие в построении расширения множества натуральных чисел и нуля, осознание и обобщение благодаря этому свойств множества натуральных чисел и нуля как математической структуры, с определенным набором свойств заданных на нем арифметических действий, знакомство со способами построения новых числовых множеств – это стержневая часть подлинного математического образования.

Идея расширения числового множества для преодоления определенных трудностей практики и теории – это идея развития познания в целом, это понимание того, что новое знание всегда требует и новой системы знаков, дополняющей, расширяющей, переосмысливающей прежнюю. Эта идея делает знания о числах системными, структурированными, живыми (по В.П. Зинченко).

Конкретизируя общие требования к изучению математики, представленные в Примерной основной образовательной программе в требования к изучению дробей и учитывая, что дроби не входят в содержание базового уровня, получим следующие утверждения: «В результате изучения дробей обучающиеся на ступени начального общего образования: получат возможность научиться использовать начальные знания о дробях для описания окружающих предметов, процессов, явлений, оценки количественных и пространственных отношений; для решения простейших учебных задач», «решать задачи на нахождение доли величины и величины по значению её доли (половина, треть, четверть, пятая, десятая часть)»⁶; приобретут начальный опыт применения знаний о дробях в повседневных ситуациях; получат представление о дробях как обозначающих результат измерения, одну или нескольких равных частей целого; накопят опыт решения простейших текстовых задач с использованием простейших дробей или равных частей (долей) целого.

В традиции нашей школы использовать при введении дробей термин «доля». Отметим, что понятие «доля» не является математическим понятием. Значение слова доля: «ДОЛЯ. 1. Часть чего-н. Делить на равные доли. Книга в четвертую долю листа. В его словах не было и доли истины. Нижняя д. правого легкого. Семенная д.|| Часть, полученная при дележе, распределении. На мою долю приходится десять рублей. …» (Толковый словарь Ушакова, 1935-1940). Т.е. доля – это синоним слова «часть». Доли, части могут быть равными и неравными. В современной русской речи слово «доля» используется в юриспруденции, в музыке, а в бытовой, в детской речи – крайне редко. И потому его освоение требует специальных усилий. Оно имеет тот же корень, что и «делить»: «ДЕЛИТЬ. Общеслав. суф. производное от *dělъ "часть" (ср. отдел, раздел и т. д.) > того же корня (с перегласовкой), что идоля> имеющее точные соответствия в ряде др. индоевроп. яз. (ср. нем. Teil "часть, доля"». (Яндекс.Словари›Этимологический словарь, 2004).

Часть – это всегда часть чего-то. Если часть (доля) обозначается в речи как «одна треть», «две трети», то это означает, что речь идет о делении на равные части. Так одна восьмая (¹/₈) часть (доля) - одна из восьми равных по определенному свойству (массе, объему, площади поверхности, длины, и т.п.) частей чего-либо: пирога (по массе, по объему, …), отрезка, пути (по длине), текста (по количеству знаков, слов, строк) и т.п., а три восьмых – этот три из восьми равных между собой в каком-либо смысле частей, на которое поделено целое, например, единица величины, предмет или группа предметов.

Дробь – это обозначение таких частей с помощью пары чисел, определенным образом записанных. Если цифровое письменное обозначение равных частей не используется, то не используется и термин «дробь». В приведенном выше тексте часть «одна восьмая» может быть записана как ¹/₈ . «Одна восьмая пирога» - это сообщение с помощью об одной из восьми равных между собой (по массе, по объему) частей пирога. «¹/₈ пирога» - это письменное сообщение о том же с помощью дроби ¹/₈ . Пара натуральных чисел - дробь, записанная с помощью цифр десятичной системы несет информацию о том, как получена обозначаемая ею часть пирога. Слово «дробь» образовано от слова «дробить»: «ДРОБИТЬ. Общеслав. Суф. производное от той же основы, что дробь со значением "мелкие части чего-л. (раздробленного)", ср. дробный, дребедень. …". (Яндекс.Словари›Этимологический словарь, 2004)

7.6.3. Подготовка к введению и введение дроби. Представим далее возможный вариант изучения дробей, на уровне, реализующем личностный и метапредметный потенциал темы, но не требующем освоения формальных правил и способов действий с дробями. Именно такой уровень изучения дробей обязателен в начальной школе. Формализация освоенных на основании смыслов способов действий с дробями может происходить естественным образом для одних учащихся еще в начальной школе, для других - уже в основной школе

Подготовка к введению дроби заключается в а) включении в речь детей часто употребляемых обозначений «половина», «четверть часа», «без четверти пять», «три четверти дороги», «треть заданий», «две трети учащихся», «десятая часть всех книг» и т.д.; б) накоплении учащимися представлений о ситуациях деления целого на равные части и выбору одной или нескольких частей, об измерении в случаях, когда единица не укладывается целое число раз в измеряемом объекте, о трудностях обозначения в таких ситуациях, формирование потребности в разрешении этих трудностей; в) обнаружении особенностей охвата натуральных чисел делением нацело и делением с остатком, трудностей и «некрасивостей», «несправедливостей» деления нацело по отношению к натуральным числам, формирование потребности в разрешении этих трудностей

Введение дроби на основе идей расширения множества натуральных чисел и нуля, которые мы представили в начале главы, наиболее соответствует математическому содержанию данной темы и наиболее педагогически и психологически оправдано. Во-первых, потому что обеспечивается проживание учащимися происхождения понятия и достижение личностных результатов. Во-вторых, этот подход задает учащимся средства и способы действий для самостоятельного открытия новых чисел, развития числовых представлений, расширения числового множества для себя (личностные и метапредметные результаты).

Подготовительная работа и работа на уроке введения дроби должна обеспечить у учащихся потребность в расширении числового множества, потребность в «новых числах». Чтобы у учащихся формировались личностные, познавательные и регулятивные универсальные учебные действия при изучении дробей, необходимо еще при подготовке к введению дробей создать условия, ситуации для появления у каждого учащегося собственного повода, положительного внутреннего мотива, потребности в создании новых

Ситуации первого вида ставят перед учащимися проблемы практического, материального характера, разрешение которых возможно путем введения новых обозначений – введения новых чисел. Такие ситуации возможны не только на уроках математики, но и на уроках технологии, в повседневной жизни. Это ситуации деления предмета или группы предметов на равные по некоторому свойству, заданному явно или неявно, с помощью интуитивно понятного визуального, текстового или бытового контекста (языковое явление эллипсиса, см., например: Реформатский А.А. Введение в языкознание. М., 1996. С. 83). На уроках математики ситуации могут быть представлены реально в действиях детей с материальными объектами, их изображениями, геометрическими фигурами, а также как мысленное воспроизведение соответствующих практических ситуаций, произошедших ранее или смоделированных на уроке на основе прежнего опыта.

Ситуации второго вида ставят проблемы теоретического, а по сути личностного, эстетического и социального, плана. Они возникают при обобщении информации о множестве натуральных чисел, оценке «поведения» натуральных чисел в арифметических действиях с эстетических и ценностных позиций – позиций истины, добра, красоты, справедливости, равенства прав и возможностей через проведение параллелей между отношениями, правами и возможностями в множестве чисел и в множестве людей, в обществе.

Ситуации обоих видов задают условия для реализации требований ФГОС НОО: «2) становление гуманистических и демократических ценностных ориентаций; …; 3) формирование уважительного отношения к иному мнению, истории и культуре других народов; 5)принятие и освоение социальной роли обучающегося, развитие мотивов учебной деятельности и формирование личностного смысла учения; 6) развитие самостоятельности и личной ответственности за свои поступки, в том числе в информационной деятельности, на основе представлений о нравственных нормах, социальной справедливости и свободе; 7) формирование эстетических потребностей, ценностей и чувств; 8) развитие этических чувств, доброжелательности и эмоционально-нравственной отзывчивости, понимания и сопереживания чувствам других людей; 9) развитие навыков сотрудничества со взрослыми и сверстниками в разных социальных ситуациях, …».

Приведем примеры, заданий, которые могут быть использованы при подготовке и введении дроби.

Задания на включение в речь детей часто употребляемых названий частей целого (половина, четверть, треть, две трети, три четверти, пятая часть, десятая часть)

• 1. 20 тетрадей раздали поровну пятерым ученикам – трем мальчикам и двум девочкам. На сколько равных частей поделили тетради? Сколько тетрадей получил каждый? Какую часть всех тетрадей получил каждый? Какую часть всех тетрадей получили все мальчики? Все девочки? 20 тетрадей раздали ученикам по 4 тетради каждому. Сколько учеников получили тетради? Какую часть составляют 4 тетради от 20 тетрадей? • 2. Сейчас 9 часов. Через четверть часа закончится первый урок. В котором часу закончится первый урок? • 3. Урок идет три четверти часа. Сколько минут длится урок? • 4. Найдите устно значения шести выражений. Для половины покажите в записи способ вычисления. • 5.  Разложите кубики на 3 равные части. Из двух частей постройте два домика, из оставшейся трети выложите дорожки. • 6. Для украшения коробочки отрежьте половину ленточки. • 7. Пятую часть сосуда нужно заполнить водой.

Задания и вопросы, задающие ситуации практической необходимости изобретения дробей.

• 1. Если е – площадь прямоугольника, принятая за единицу площади, то какими числами можно обозначить площадь фигур на рис. 7.21?

Рис. 7.21

• 2. Четверо веселых медвежат нашли три шоколадки (рис. 7.22) и решили разделить поровну их между собой. Как это можно сделать? Сколько шоколада достанется каждому? Какие числа помогут ответить на вопрос? (Каждую шоколадку разделить на 4 равных (по массе, объему, по площади) части, дать каждому из каждой шоколадки по одной такой четвертой части. Каждый получит по три четвертых шоколадки.)

Рис. 7.22

• 3. Сколькими способами можно разделить семь яблок поровну между тремя детьми? Сколько яблок достанется каждому? Какие натуральные числа понадобятся для ответа на вопрос? (Двумя способами: 1) по 2 яблока каждому, а оставшееся яблоко разделить на 3 равные части дать каждому по одной из этих, третьих, частей яблока. Ответ на вопрос: по 2 целых яблока и по одной третьей яблока. 2) Каждое яблоко разделить на 3 равные части и с каждого из 7 яблок каждому дать по одной третьей части. В результате у каждого будет по 7 таких частей, по семь третьих яблока)».

• 4. Измерь длину полоски В с помощью мерки а (рис. 7.23) и запиши результат измерения в тетрадь. (Семь с половиной. 7 ½ )

Рис. 7.23

5. Чему равна площадь каждой фигуры в единицах, равных площади выделенной в каждой фигуре части (рис. 7.24)?

Рис. 7.24

Задания и вопросы, создающие ситуации теоретической (личностной) необходимости изобретения дробей.

• Почему число 3 может чувствовать себя обиженным в выражениях 9 : 3 и 3 : 9? (9 на 3 делится, а 3 на 9 делиться не может). • 2. Почему числа 4 и 2, 5 и 10 неравноправны в делении? (Потому что 4 на 2 делится, а 2 на 4 нет, 5 на 10 не делится, а 10 на 5 делится.) • 3. Составьте пары чисел, чтобы первое число делилось (нацело) на второе. Может ли второе число разделиться на первое? (Нет.)

• Шестерка вышла погулять,

Знак деления стала звать:

«Выходи и ты гулять,

Вместе весело играть».

Знак деления поспешил,

Да и двойку прихватил.

Начали они играть,

Выражения сочинять.

Шесть, конечно, впереди!

Знак деления позади.

Ну а двойка, завершает,

Вычислителей сзывает.

Вычислители пришли,

Быстро частное нашли.

Стала двойка говорить:

Впереди хочу я быть!

Но шестерка ей в ответ:

Если станешь ты вперед,

То деление уйдет.

Стало горько и обидно

Двойке очень за себя:

«Это так не справедливо!

Так не делают друзья!»

Как, ребята, им помочь,

Чтоб ушла обида прочь?

Чтобы 2 на 6 делилось, чтобы числа помирились?!

(Изобрести новые числа, чтобы они могли стать частными.)

• В каких из данных ниже выражений деление выполнимо без остатка? Можно ли сделать так, чтобы числа стали «равноправными» в делении, т.е., чтобы во всех данных выражениях 22 : 11, 11 : 22, 24 : 8. 8 : 24, 3 : 5, 5 : 3, 8 : 7, 7 : 8 деление было выполнимо и для каждого мы могли бы назвать одно частное без остатка? (Можно. Для этого нужно придумать, изобрести новые числа.)

• 9. Вы знаете четыре арифметических действия. Какими свойствами они обладают? Какие из них, на ваш взгляд, более «демократичны» по отношению к числам, в каких из них числа более равноправны и свободны в участии в действии? (Более «демократичны» сложение и умножение. В этих действиях могут участвовать любые два числа. И результат не зависит от того, какое число первое, а какое второе в действии. А в вычитании: если ты больше другого числа, то можешь его вычесть, а если меньше, то - нет. В делении даже старшинство не всегда дает возможность разделиться на другое число без остатка: 24 делится на 12 (без остатка), а на 13 без остатка не делится, потому что нет такого (натурального) числа, чтобы при умножении его на 13 получилось 24.)

Сравнение действий приводит учащихся к выводу, что известные им числа, натуральные, не решают проблем чисел при делении, не решают проблему точности измерения, проблему обозначения относительного количества. И исправить положение можно изобретением новых чисел в дополнение, расширение имеющихся. Благо для такого изобретения не нужны никакие материальные затраты.

Введение дроби. Такое введение может быть основано на ситуации практической или теоретической необходимости расширения числового множества. В современных учебниках встречаются оба варианта. В обоих случаях смысл обозначения дроби раскрывается на предметной основе. Поэтому при любом варианте введения смысл дроби задается как а) обозначение результата измерения, когда величина измеряемого меньше единицы величины; б) обозначения одной или нескольких равных частей целого, где в качестве целого может выступать предмет или группа предметов, характеризуемая любой непрерывной величиной (длина, площадь, объем, масса, время) или дискретной (количество предметов в группе). Дроби вводятся обычно в четвертом классе после подготовительной работы, которая может вестись с первого класса.

К времени введения все четыре арифметических действия уже должны быть изучены настолько, чтобы учащиеся могли провести их сопоставительный анализ, обобщение, выявление «точек роста» - названных выше проблем, связанных с делением. После такого обобщения учащиеся осознают общее и различное в действиях, особенности каждого действия, в том числе деления.

Покажем возможный вариант введения дроби, в котором в основу положены теоретические причины расширения числового множества. Введению дроби посвящается специальный урок. Вначале актуализируется, делается предметом осознания проблема выполнимости деления без остатка. Для случаев деления меньшего числа на большее (а на следующих после введения уроках и любых чисел) на основе предметного (величинного и (или) теоретико-множественного) смысла деления выполняется деление с «дроблением» делимого предмета на части, изобретается способ обозначения в речи и на письме таких частей как результатов деления. Итогом этой работы являются обыкновенные дроби.

– Вы знаете, как разделить 2 на 4 с остатком? 3 на 4? (Да. 2 : 4 = 0 (ост. 2), 3 : 4 = 0 (ост.3)) А без остатка? (Не делится.) – Что значит, что 2 не делится на 4 без остатка? Что 3 не делится на 4 без остатка? (Мы не можем назвать частное.) – Может, мы не можем, а другие могут? (Нет. Чтобы число было частным, нужно, чтобы произведение этого числа и делителя было равно делимому. Но при умножении любого известного нам числа, даже 1, на 4 мы получим больше, чем 2, больше чем 3. Не может быть частным и число 0, так как 0 ∙ 4 = 0 ≠ 2, 0 ≠ 3.) – Что же делать? (Придумать новые числа.) – Тогда давайте придумывать, изобретать новые числа. Вспомним, что обозначает деление, когда числа делятся нацело? Например, что может обозначать 6 : 2 = 3? (6 : 2 может обозначать, что 6 яблок разделили поровну между двумя детьми и у каждого оказалось по 3 яблока. Что 6 конфет роздали детям по 2 конфеты, и 3 детей получили по 2 конфеты. 6 кг крупы расфасовали в пакеты по 2 кг, получилось 3 пакета. 6 кг муки расфасовали в 2 пакета. В каждом пакете получилось по 3 кг.) – Можно ли разделить 3 одинаковых яблока поровну на 4 человека? Как? На партах у вас модели яблок – круги. Поработайте в парах и ответьте на вопрос. (Каждое яблоко разделить на 4 равных части и каждому дать по одной части от каждого из 3-х яблок.) – Как сказать о том, сколько получит каждый? (Каждый получит по одной четвертой от каждого из трех яблок, всего три четвертых яблока.)

– Какие числа вы назвали? (Вначале 1 и 4, а потом 3 и 4.) Что обозначает число 1 и число 4? (Одно яблоко разделили на 4 равные части и дали каждому по одной части.) – Давайте обозначим с помощью этих чисел и само действие, и результат деления яблок. (1 : 4 = ¼). – А как три четвертых получили? (3 : 4 = ³/₄ .)

Заметим, что предметный смысл деления 3 : 4 здесь - это деление 3 предметов, 3 яблок, на заданное число (4) на равных (по объему, на моделях яблок – по площади) частей. Аналогично 3 : 8 – это деление 3 предметов, 3 яблок на 8 равных (по объему, массе – для яблок, по площади – для модели) части.

Продолжаем далее рассматривать ситуации деления тем же способом (1 яблоко разделить на 4 равные части, 2 одинаковых яблока разделить на 4 равные части, 1 яблоко на 5, 6, 3 равные части, 3 яблока на 5, 6, 3 равные части), просим учащихся мысленно заменить яблоки на другие предметы или вещества (1, 2, 3 плитки шоколада, 1 л, 2 л, 3 л молока, 1 кг, 2 кг, 3 кг крупы делим на 4, 5, 6, 3 равных части). В результате работы в тетрадях и на доске записываются равенства:

1 : 4 = ¼ 3 : 4 = ³/₄ 2 : 4 = ²/₄ = ½ 1 : 5 = ¹/₅ 1 : 6 = ¹/₆ … 3 : 3 = ³/₃ = 1.

Завершить введение дроби на уроке полезно формулированием учащимися вопросов, на которые они получили ответы, и вопросов, на которые хотели бы получить ответы, планированием дальнейшей работы по поиску ответов на вопросы, выбором домашнего задания из предложенных учителем и учащимися.

Представленный подход позволяет формировать у учащихся теоретическое мышление и снимает многие проблемы, связанные с дальнейшим изучением дробей. Так, наблюдая за приведенными выше равенствами и примеряя к ним предметные смыслы деления на равные части, легко возникают и понимаются смешанные числа, неправильные дроби, вопросы их равенства. Например, 8 : 3 = ⁸/₃ , что следует из способа деления, представленного выше. Но существует и другой, более практичный способ: вначале поделить с остатком 8 : 3 = 2 (ост. 2). Тогда каждый получит по 2 шоколадки, и 2 шоколадки окажутся не поделенными. Затем оставшиеся 2 шоколадки нужно поделить известным способом: каждую на делят 3 равные части, и каждому из друзей дают от каждой из двух шоколадок по одной трети, В результате весь шоколад будет поделен поровну и у каждого будет по 2 целых шоколадки и по ²/₃ , т.е. 8 : 3 = 2 ²/₃ . Отсюда: 2 ²/₃ = ⁸/₃ .

Еще один важный вывод может быть сделан на основе такого решения проблемы деления, вывод о том, что ¼ ∙ 4 = 1, ³/₄ ∙ 4 = 3, ²/₄ ∙ 4 = 2, … ⁸/₃ ∙ 3 = 8. Причем истинность таких равенств не доказывается, а «назначается», а потом может быть «оправдана» и предметным смыслом такого умножения, который легко может быть перенесен с умножения натуральных чисел на случаи умножения дроби на число.

7.6.4.Развитие представлений о дробях в начальной школе. Степень погружения в тему, глубина и широта охвата вопросов, относящихся к дробям, определяется основной образовательной программой, программой по математике конкретного образовательного учреждения и заинтересованностью учащихся в изучении дробей.

Вопросом, который рассматривается в начальной школе – это три вида задач: задачи на нахождение доли от величины (части величины), величины по ее доле (части) и на нахождение доли (части), которую одна величина составляет от другой. Если части (доли) целого обозначены дробью, то те же задачи имеют названия: задачи на нахождение дроби от числа, числа по дроби и задачи на нахождение части, которую одна величина составляет от другой.

Задачи на нахождение доли (части) от величины. Задачи на нахождение доли (части) от величины, выраженной дробью.

• За лето намечено заменить асфальтовое покрытие на 24 км дороги. За июнь эта работа была выполнена на одну треть (¹/₃); на две трети (²/₃). На скольки километрах дороги было заменено асфальтовое покрытие в июне? Решение. 24 : 3 = 8 (км); 24 : 3 = 8 (км), 8 км ∙ 2 = 16 (км) или 24 : 3 ∙ 2 = 16 (км). • В школьную библиотеку поступило 200 экземпляров книг. Пятую часть (¹/₅) из них составили книги о природе. Сколько экземпляров книг о природе поступило в школьную библиотеку? Решение. 200 : 5 = 40 (книг). • Туристический маршрут предусматривает преодоление пути в 75 км, из них две трети туристы (²/₃) проедут на автомобилях, а одну треть (¹/₃) на велосипедах. Сколько километров туристы проедут на велосипедах? Сколько километров туристы проедут на автомобилях? Решение. 75 : 3 ∙ 2 = 30 (км) – на автомобилях; 75 : 3 = 15 (км) – на велосипедах.

Задачи на нахождение значения величины по ее части (доле), в том числе по ее части (доле), выраженной дробью.

• За лето намечено заменить асфальтовое покрытие дороги. За июнь заменили покрытие на 8 км, что составило одну треть (¹/₃) от общего объема работы. На скольки километрах дороги было намечено заменить асфальтовое покрытие за лето? Решение. Одна треть объема работы означает, что весь объем работы разделен на 3 равные части, и каждая из трех частей составляет 8 км. Всю работу составляют 3 такие части: 8 км ∙ 3 = 24 км. • В школьную библиотеку поступило 40 экземпляров книг о природе, что составило пятую часть две пятых (²/₅), поступивших в библиотеку экземпляров книг. Сколько экземпляров книг поступило в школьную библиотеку? • Решение. 40 : 2 = 20 (книг), 20 ∙ 5 = 100 (книг

Задачи на нахождение части, которую одно значение величины составляет от другого значения той же величины.

• За лето намечено заменить асфальтовое покрытие дороги длиной в 24 км. За июнь эта работа была выполнена на 8 км дорооги. Какую часть составляет выполненная работа от общего объема работы? Решение. Узнаем, сколько раз 8 содержится в 24. 24 : 8 = 3. 8 составляет одну треть (¹/₃) от 24. • В школьную библиотеку поступило 200 экземпляров книг, из них 40 экземпляров книг о природе. Какую часть от общего числа поступивших книг составляют книги о природе? Решение. 200 : 40 = 4. Ответ: четвертую часть.

Способы решения всех задач названных видов, возможность овладения которыми должен обеспечить учитель - это способы, основанные на действиях с материальными и геометрическими моделями отношений целого и части, на понимании смысла дроби.

Сравнение долей (частей), дробей. Доля (часть) какого-либо объекта сама является материальным объектом и сравнение ее с другой долей – это сравнение двух материальных объектов, которое может проводиться по вопросам «Чем похожи?», «Чем отличаются?» и по вопросам «Что (кто) больше?», «Что (меньше) меньше?». Способ сравнения – это способ сравнения объектов по той величине, доли (части) которых сравниваются. Отметим, что результаты такого сравнения переносятся на числовое обозначение частей, а, следовательно, и на дроби только тогда, когда сравниваются части одного и того же объекта. Так, одна пятая меньше одной третьей части, если это части одной и той же величины одного и того же объекта. Поэтому ¹/₅ < ¹/₃ , хотя одна пятая массы автомобиля больше одной третьей массы велосипеда. На рисунке 7.25 показаны стандартные иллюстрации к сравнению дробей.

Рис. 7.25

Результатом изучения сравнения дробей должно быть понимание учащимися смысла этого сравнения, заключающегося в переносе результатов сравнения объектов, обозначаемых сравниваемыми дробями, на сами дроби. Самыми удобными объектами являются отрезки и прямоугольники одинаковой ширины, с их помощью легко моделировать процесс сравнения.

У учащихся может возникнуть вопрос (а если не возникнет, то полезно его «спровоцировать»), а можно ли между дробями установить отношения «больше (меньше) на», «больше (меньше) в»? Смысл отношений «больше (меньше) на» такой же, как и для натуральных чисел: «a больше на ²/₃ b» - это значит, что b + ²/₃ = a, что a – b = ²/₃ и a – ²/₃ = b. А имеет ли смысл «a больше чем b в ²/₃ раза»? В натуральных числах «6 больше чем 2 в 3 раза» означало, что чтобы получить 6 нужно 2 взять слагаемым 3 раза, что 6 > 3 и 6 = 2 ∙ 3. Если скажем «6 больше чем b в ²/₃ раза», то словосочетание «взять слагаемым ²/₃ раза» не имеет смысла. А это означает, что на множестве дробей, на расширенном множестве натуральных чисел, нуля и дробей, термины «больше (меньше) в» имеют смысл только в части натуральных чисел и нуля, а также в случаях, когда дробь больше или меньше какого-либо числа в некоторое, натуральное, число раз.

Правила сравнения дробей через сравнение числителей и знаменателей учащимися начальной школы не могут быть освоены с пониманием ввиду недостаточности опыта сравнения на смысловом уровне и в целом работы с дробями. Поэтому, при рассмотрении сравнения дробей (если эта тема будет включена в содержание обучения) как и при изучении дробей в целом важно заложить саму логику построения нового, расширенного числового множества.

Арифметические действия с дробями могут рассматриваться в начальной школе в качестве пропедевтики, в качестве «взгляда в будущее» и даже в качестве средства формирования умений выполнять арифметические действия с натуральными числами и нулем тогда, когда у учащихся высок интерес к дробям. Если вопросы арифметических действий с дробями включаются в уроки, то это должно быть только для того, чтобы учащиеся увидели перспективы развития знаний о дробях, увидели сходство и различия в смыслах действий, чтобы могли прочувствовать, прожить ситуации возможности и невозможности переноса знаний о действиях с натуральными числами на действия с дробями, чтобы возникли познавательные вопросы, ответы на которые они будут получать уже в основной школе. Результаты этой работы – прежде всего личностные и метапредметные.

Первые вопросы об арифметических действиях возникают, как мы уже говорили выше, при введении дробей. Например, если необходимость их изобретения дроби мы мотивировали невозможностью «назначить» натуральное число частным в случаях вида 2 : 4, 3 : 4, 23 : то после изобретения дроби логично произведение этой дроби на натуральный делитель считать равным делимому.

Если 1 : 4 = ¼ , то ¼ ∙ 4 = 1, что соответствует и предметному смыслу дроби, смыслу умножения как сложения одинаковых слагаемых и смыслу сложения как обозначения операции объединения. 1 – это целое, например, яблоко, модель круга, прямоугольника. ¼ - это одна из четырех равных частей целого, т.е. один из четырех кусочков яблока, одна из четырех одинаковых частей бумажной модели круга. Объединив четыре таких части вместе (по аналогии с натуральными числами обозначим сложением), получим все яблоко, хоть и разрезанное на четыре части. В записи: ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 1. Распространяя на на дроби, прежние правила, получаем: ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = ¼ ∙ 4 = 1 (Коль дроби «пришли» к натуральным числам с уже сложившимися отношениями и правилами поведения, то они обязаны подчиняться этим отношениям и правилам. Говорят ведь: в чужой монастырь со своим уставом не ходят).

Аналогично: 3 : 4 = ³/₄ , следовательно ³/₄ ∙ 4 = ³/₄ + ³/₄ + ³/₄ + ³/₄ = 3. На предметных моделях, например, бумажных моделях яблок, кругов при желании и некотором усердии дети смогут обосновать и этот результат действиями с соответствующими частями этих моделей. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (термин в начальной школе не вводится) легко моделируется на отрезках, кругах, прямоугольниках. Сложение и вычитание дробей, обозначающих некоторые количества разных частей одного и того же целого, легко показать на модели, например, с помощью отрезков, но довольно трудно выразить результат в одинаковых частях. Тем не менее, проблема сложения таких дробей может быть понята частью учащихся. Поиск ее решения на уровне геометрических моделей может составить тему исследовательской работы. На рис.7.26 показано сложение ¹/₃ и ⁵/₁₂, ²/₇ и ³/₈ и вычитание с помощью геометрической модели.

Рис. 7.26

Интересна может быть попытка взглянуть на умножение и деление дробей, понять, что бы оно могло означать. Умножению дроби на натуральное число вполне можно придать тот же смысл, что и умножению натуральных чисел, т.е. рассматривать умножение как сложение одинаковых слагаемых. Умножение на дробь и умножение дробей в это понимание уже не укладывается, но оно хорошо объясняется как нахождение одной или нескольких частей числа, отражающее нахождение одной или нескольких равных частей материальных или геометрических объектов. Так, 3 ∙ ²/₇ понимается как задача найти две из семи равных частей, на которые разделен объект в 3 единицы некоторой величины. ¾ ∙ ²/₅ дает ответ на вопрос, какую часть единицы величины (часть целого) составляет ²/₅ , взятых от ¾ целого. Покажем это на примере.

Задача. ¾ площади дачного участка,отведено под постройки и цветники, причем цветники составляют ²/₅ этой части дачного участка. Какую часть всей площади дачного участка занимают цветники?

На рисунке 7.27 слева прямоугольником обозначен весь дачный участок и штриховкой показаны ¾ . Справа весь дачный участок разделен на 5 равных (по площади) частей таким образом, чтобы и его ¾ также были разделены на 5 равных по площади частей. В результате весь участок оказался поделенным на 4 ∙ 5 = 20 равных по площади частей, а в ²/₅ от ¾ вошло 6 (3 ∙ 2) таких частей. Таким образом, цветники составляют ⁶/₂₀ всей площади дачного участка.

Рис. 7.27

Если в прямоугольнике справа счет частей вести по два прямоугольника-части, то в нем будет всего 10 равных частей, и на долю цветников будет приходиться ³/₁₀ площади всего участка. Так как ⁶/₂₀ и ³/₁₀ одной и той же площади (всего дачного участка) представляют площадь одной и той же части – площадь цветников, то ⁶/₂₀ = ³/₁₀ .

К умножению двух дробей можно прийти, распространив формулу вычисления площади прямоугольника S = ab, для значений длины сторон прямоугольника, представляющих дроби. Если длины сторон измерены в одних единицах длины, то значение площади будет получено в «квадратных единицах», где за единицу площади принят «единичный» квадрат со стороной в единицу длины, в которой измерены стороны прямоугольника. На рисунке 7.28 изображен единичный прямоугольник, длина каждой его стороны равна единице длины, только большая сторона равна 1 e₁, а смежная сторона равна 1 e₂ . Пусть нам нужно найти произведение ³/₅ ∙ ⁴/₇ .

Рис.7.28

Построим в единичном прямоугольнике прямоугольник со сторонами ²/₅ и ³/₇ в единицах, в которых измерены стороны (Рис. 7.29). Для этого одну сторону разделим на 5 равных частей разобьем единичный прямоугольник на 5 равных по площади горизонтальные полосы. Смежную сторону разделим на 7 равных по длине части и разделим тот же единичный прямоугольник на 7 равных по площади вертикальные полосы. В результате единичный прямоугольник (площадь его равна 1 «прямоугольной единице») оказался разбит на 35 равных по площади прямоугольников – частей единичного прямоугольника. Площадь каждого такого прямоугольника составляет ¹/₃₅ от 1. Теперь уже легко выделить в единичном прямоугольнике нужный нам прямоугольник с длинами сторон, выраженными дробями

Рис. 7.29

По рис. 7.29 нетрудно определить площадь в соответствующих единицах: ³/₅ ∙ ⁴/₇ = ¹²/₃₅ . Кстати, как-то наблюдательные третьеклассники заметили, что 12 = 3 ∙ 4, а 35 = 5 ∙ 7. Это позволило им высказать предположение: при умножении дробей достаточно перемножить числа над чертой и числа под чертой и записать их соответственно над чертой и под чертой.

На основе так понятого умножения дробей деление дробей можно представить как нахождение длины стороны прямоугольника по заданному значению площади и длине другой стороны. Пусть нужно ¹²/₃₅ разделить на ⁴/₇ . Положим, что ¹²/₃₅ – это площадь прямоугольника в «прямоугольных единицах», а ⁴/₇ - длина одной стороны в некоторых единицах длины. Требуется найти длину другой стороны. Для решения этой задачи нужно построить прямоугольник с такими значениями площади и длины стороны. Начинаем построение с единичного прямоугольника. Вначале построим одну сторону прямоугольника произвольной длины, которую делим на 7 равных частей. Принимая, что 35 – это число равных частей единичного прямоугольника. Тогда вторую сторону составляем из 5 равных произвольных частей. Получим единичный прямоугольник, разбитый на 35 равных частей как на рис. 7.31. Теперь выделив на одной стороне ⁴/₇ , «набираем» прямоугольник в ¹²/₃₅ – это 3 ряда по 4 прямоугольника в ¹/₃₅ площади. Искомая длина стороны оказывается равной ³/₅

Опробовав такой способ представления деления к нескольким случаям, учащиеся 3 класса (в котором дети сами попросили учительницу с дробями поработать, а то им, видите ли, «обычные» числа надоели) пришли к неожиданному для учителя предположению: при делении дроби на дробь достаточно разделить числа над чертой и числа под чертой, записав результаты соответственно над чертой и под чертой. Для приведенного случая: 12 : 4 = 3, 35 : 7 = 5 и ¹²/₃₅ : ⁴/₇ = ^(12:4)/_(35:7) = ³/₅. Результата правильный! Но ведь мы, взрослые, закончившие школу, знаем, что «взрослый» способ деления дробей иной?!

Экспериментируем, сравнивая результаты, полученные «по-детски» и «по-взрослому»: ¹⁶/₂₇ : ⁴/₉ = ^(16:4)/_(27:9) = ⁴/₃ и ¹⁶/₂₇ : ⁴/₉ = ¹⁶/₂₇ ∙ ⁹/₄ = ^(16∙9)/_(27∙4) = ⁴/₃ (пришлось прибегнуть к «взрослому» сокращению дробей). Результаты правильные! И какое простое правило! Что же это мы в своем детстве учили другое, громоздкое и непонятное, правило?! Дети были в восторге! Мы еще только в начальной школе, а уже такой способ классный обнаружили! Но эйфория открытия и горечь сожаления о «напрасно потраченных годах» несколько угасла, когда попались дроби, где числа «не делятся»: ⁹/₁₄ : ⁴/₅ . Правда, мы, взрослые, нашли и тут возможность применить «детский» способ деления, воспользовавшись основным свойством дроби: ^9∙4∙5/_14∙4∙5 : ⁴/₅ = ^{(9∙4∙5):4}/_{(14∙4∙5):5} = ^9∙5/_14∙4 . Вот и появился наш «взрослый, громоздкий» способ, и мы к нему перешли от еще более громоздкого.

В результате и взрослые в лице учительницы, и дети, обнаружившие «детский» способ деления дробей, пришли к выводу: «детский» способ хорош только для «делящихся», а «взрослый» - для всех дробей, но в особенности, когда «детский» не работает. И что дроби – интересные персоны, узнать о которых поподробнее можно как из собственных размышлений, так и из книг, Интернета, общения со знающими людьми.

При включении описанной работы в учебный процесс не ставится и не должна ставиться задача выработки умения выполнять арифметические действия с дробями, тем более, заучивать правила. Результаты этой работы – формирование учебно-исследовательской математической деятельности, приобретение опыта построения расширенного числового множества, опыта построения математической структуры, овладение моделированием как универсальным учебным действием, углубление представлений о площади, ее измерении, овладение умением работать в парах, группах. Работа на уроке может включать и меньший объем. А вот во внеурочной работе с детьми с интересом к математике дети могут получить истинное удовольствие от многих тайн и открытий.

Заключительное обобщение по теме «Числа, отношения и действиях с ними» проводится перед окончанием последнего года обучения на нескольких уроках. Основные вопросы для обсуждения: смыслы числа, виды чисел, запись и чтение чисел, отношения между числами, их смыслы, способы установления, свойства, выражение с помощью арифметических действий; арифметические действия, смыслы, свойства, способы и алгоритмы вычислений, числовые ряды, расширение множества чисел. По каждому вопросу могут быть привлечены сведения из истории математики. И каждому названному вопросу формулируются ключевые, базовые задачи, рассматриваются способы их решения, а также задачи разных уровней сложности, на которых каждый учащийся смог бы продемонстрировать уровень своей компетентности в отношении темы.

Вопросы и задания для самоконтроля по главе 7.

1. Для обозначения каких отношений, свойств и сторон действительности люди изобрели, могли изобрести натуральные числа? число 0 (ноль, нуль)? дроби? Какие проблемы общения, познания, производства разрешаются легче с помощью чисел? Какие существуют, возможны ответы на вопрос: «Что такое натуральное число? число 0? дробь?»

2. Какие требования предъявляет ФГОС НОО к результатам изучения чисел?

3. Представьте в доступном учащимся начальной школы виде теоретико-множественные, величинные, порядковые смыслы натурального числа, нуля, отношений «больше (меньше) на», «больше (меньше) в», арифметических действий, дроби.

4. Какую роль в формировании числовых представлений дошкольников играет развитие речи? Какие средства родного языка являются средствами выражения числовых представлений дошкольников?

5. Каковы истоки современных подходов к изучению чисел в начальной школе?

6. Какова роль теории в построении методической системы изучения чисел?

7. По каким признакам можно судить об уровне сформированности числовых представлений учащихся первого, второго, третьего, четвертого классов? Приведите примеры заданий, при выполнении которых проявляется уровень сформированности понятия числа.

8. Дайте полную характеристику числа 1035108, которая служит, на ваш взгляд, показателем высокого уровня овладения понятием числа учащимся выпускного класса начальной школы.

9. Какие способы проверки вычислений вы знаете? Покажите на конкретном примере вычислений выполнение проверки с помощью каждого способа. Чем отличается от других способов проверки прикидка и оценка результата?

10. При выполнении каких заданий проявляется понимание смыслов арифметических действий? Приведите примеры.

9. Что такое «вычислительные умения», «вычислительные алгоритмы», «устные вычислительные алгоритмы», «письменные вычислительные алгоритмы», «теоретическая основа вычислительного алгоритма», «практическая основа вычислительного алгоритма»?

10. Вычислите, показав применение разных вычислительных алгоритмов. 45 + 16, 123 – 78, 12 ∙ 17, 46 : 23, 46 : 2, 75 : 24, 75 : 3, 3000 – 579. Приведите примеры возможных видов заданий учащимся для формирования соответствующих умений.

11. Как обеспечить понимание учащимися свойств позиционной системы счисления? Приведите примеры соответствующих заданий. Какую информацию о числе можно считать с его десятичной записи?

12. Каковы практические и теоретические причины расширения множества натуральных чисел и нуля добавлением отрицательных чисел? дробей? Какие универсальные учебные действия можно формировать и как при рассмотрении в начальной школе вопросов расширения множества натуральных чисел и нуля?

13. Какие личностные и метапредметные результаты могут достигаться при изучении чисел. Приведите примеры.

1Бантова М.А. Система вычислительных навыков // Начальная школа. – 1993. С. 39

2Примерная основная образовательная программа начального общего образования. М., 2010. c. 61

3Аллан Р., Вильямс М. Математика на 5: Пособие для начальной школы. – М., 1998. – С. 320.

4http://www.maminblog.com/2012/02/schetnye-palochki-kuizinera.html

5Если за основу возьмем величинный смысл числа, то нужно выбрать величину и каждое число представлять как эту величину конкретного предмета (см. 7.2).

6Примерная основная образовательная программа начального общего образования. М., 2011. – С.

91