1.7 Определение соответствия эмпирических и теоретических данных

1.7.1 Общие положения

Одной из частых задач научного исследования является определение соответствия (согласия или различия) эмпирического и теоретического распределений или нескольких эмпирических распределений. Кроме методов, указанных выше, в современной статистике для этого широко используется критерий χ2 (хи-квадрат), предложенный Пирсоном. Расчет χ2 производится только по абсолютным величинам. В основе метода лежит сопоставление частот, интересующих исследователя распределений. При полном совпадении этих частот (эмпирических величин, полученных в опыте с данными ожидаемыми, теоретическими) χ2 равен нулю. По мере увеличения различий между сравниваемыми частотами значение χ2 возрастает. Целью расчетов является доказательство возможности признать или отвергнуть нулевую гипотезу т. е. предположение об отсутствии существенных различий между сравниваемыми данными. Общая формула для вычисления критерия χ2

где Ф — эмпирические данные (частоты полученного распределения); О — ожидаемые данные (частоты теоретического или другого сравнивае-

мого распределения).

Полученную величину χ2 необходимо оценить, сравнив ее с табличными значениями.

Табличные значения χ2 зависят от числа степеней свободы и принятого уровня значимости. Число степеней свободы ν в случаях, когда сопоставляемые данные представлены в виде таблицы определяется по формуле: ν = (число строк — 1)×(число столбцов — 1). Для примера представленного в табл. 1.23 число столбцов равно 2, число строк – 2, а число степеней свободы v=(2-1) (2- 1)=1. Нулевая гипотеза отвергается, если вычисленная величина χ2 больше табличного, значения χ2 при уровне значимости 0,01 (риск ошибки меньше 1%), что можно записать как χ2 > χ201. Нулевая гипотеза принимается, если χ2≤ χ205.

Пример. Исследователем изучалась частота побочных явлений при лечении антибиотиками (синтомицин и левомицетин) двух групп больных. В группе больных, получавших кроме антибиотиков витамины, частота побочны явлений оказалась меньше, (9 из 66 больных), чем в группе больных, леченных только антибиотиками (16 из 46). Требуется определить, достаточно ли надёжны эти различия в частоте побочных явлений, можно ли им доверять. Полученные данные следует записать в виде четырехпольной: таблицы (табл.1.23). Примем нулевую гипотезу о том, что витамины не оказывают влияния на частоту побочных явлений, вызываемых антибиотиками, что фактически наблю-

52

даемые различия в частоте побочных явлений случайны и что при гораздо большем числе наблюдений различий бы не было. Это предположение дает право определить ожидаемую частоту побочных явлений по итоговым данным таблицы и считать ее одинаково возможной в обеих группах больных. Итак, искомый показатель частоты побочных явлений равен25 /111*100 = 22.5% . При

Следовательно, побочные явления не наблюдались у 35 больных, леченных только антибиотиками (45-10=35) и у 51 больного, леченного кроме антибиотиков и витаминами (66 - 15 = 51).

Рассчитанные таким образом ожидаемые значения запишем в основной четырёхпольной таблице (в скобках). Далее следует вычислить χ2 и проверить существенны или нет различия между фактическими и теоретически полученными ожидаемыми величинами (табл.1.24).

Таблица 1.24 – Сравнение фактических и ожидаемых чисел побочных явлений у больных, леченных двумя методами

превышает табличные значение х012 (6,63) что означает возможность отвергнуть нулевую, гипотезу и считать, что различие в частоте побочных явлений у больных сравниваемых групп не случайно. Этот вывод можно сделать с надежностью, превышающей 99%.

53

Результат применения критерия χ2 позволяет исследователю рекомендовать витамины для предупреждения побочного действия антибиотиков.

1.7..2 Определение соответствия признаков альтернативных явлений

При изучении альтернативных явлений (лечебный эффект от применения метода лечения достигнут или не достигнут, побочные явления при применении нового лекарства наблюдались или не наблюдались и т.д.), когда результаты исследования могут быть представлены в виде четырехпольной таблицы ( 2 строки × 2 столбца), расчет χ2 производится по формуле:

Буквенные обозначения величин, входящих в формулу, определяются в соответствии со схемой четырехпольной таблицы (табл. 1.25).

Таблица 1.25 – Схема четырехпольной таблицы

Пример. Исследователем изучалась частота побочных явлений при лечении антибиотиками в сочетании с различными витаминами. По результатам исследований выдвинута нулевая гипотеза о том, что вид применяемых витаминов не оказывает влияния на частоту побочных явлений. Результаты исследования представлены в виде четырехпольной таблицы (табл. 1.26).

Таблица 1.26 – Число побочных явлений у больных, получавших разные витамины

Расчет по этим данным χ2 указанным методом дает следующий результат:

2(5·31 – 26·4)2 · 66

χ= ————————— = 0,31 31·35·9·57

54

Табличные значения критерия для данного случая при v=(2-1) (2-1)=1 равны χ201=6,33 и χ205=3,84. Малая величина рассчитанного критерия χ2 не дает права отвергнуть нулевую гипотезу. Различия в частоте побочных явлений не доказаны.

Если число наблюдений хотя бы в одной клетке четырехпольной таблицы <4, то рекомендуется использовать формулу:

В тех случаях, когда в четырехпольной таблице общее число наблюдений <30 или число наблюдений хотя бы в одной клетке таблицы <4, правильнее использовать точный критерий Фишера, определяемый по формуле:

=(a+b)! (c+d)! (a+c)! (b+d)!

p (1.29) n! a! b! c! d!

Нулевая гипотеза отвергается, если p < 0,01.Если полученная величина p ≥ 0,05, то принимается нулевая гипотеза.

1.7.3 Определение критерия χ2 по данным, представленным в сложных таблицах

Методика определения χ2 в более сложных таблицax (3×2; 4×2; 5×2 и т. д) принципиально такая же как и в четырехпольной таблице, но требует обязательного расчета ожидаемых величин.

Пример. В таблице 1.27 приведены данные исследователей изучавших частоту кашлевой реакции на вдыхание 1% аэрозоля ацетилхолина у рабочих и работниц углеобогатительной фабрики.

Таблица 1.27 - Частота кашлевой реакции в зависимости от стажа работы

55

Величина χ2 =6,6 намного меньше табличных значений, и это не дает права отвергнуть нулевую гипотезу. Различия частоты кашлевой реакции у рабочих, отличающихся по стажу работы в условиях запыленного воздуха, остаются не доказанными.

Таблица 1.29 – Определение соответствия фактических и ожидаемых частот кашлевой реакции

Если метод χ2 используется при сопоставлении рядов измерений длины, веса, времени и т. д., то расчеты χ2 следует вести по формуле:

(1. 30)

где f1 и f2 — частоты сравниваемых вариационных рядов; n1 и n2 – соответствующие числа наблюдений.

Пример. Сопоставим два ряда данных, полученных у онкологических больных, оперированных по поводу опухоли брюшной полости в горизонтальном положении и положении Тренделенбурга (табл. 1.30). Исследователь изучал влияние искусственной вентиляции легких на размеры венозного давления. Для этого больным измеряли венозное давление (в мм вод. ст.) перед операцией (до наркоза) и через 15 мин после операции. Было установлено, что венозное давление до операции у больных обеих групп было в среднем одинаковым. Через 15 мин после операции венозное давление заметно изменилось: более значительно у больных, оперированных в положении Тренделенбурга, и меньше у больных, оперированных в горизонтальном положении. Для доказательства

57

этих различий применим метод χ2. Последовательность расчёта критерия χ2 представлена в табл. 1.30.

Таблица 1.30 – Оценка соответствия разности венозного давления у больных, оперированных в разном положении

58