1.9Основы регрессионного анализа
Вмедицинских исследованиях подчас требуется вычислить не только меру связи между двумя явлениями, но определить характер изменения одной величины от изменений другой. Для этого определяют коэффициент регрессии, который рассчитывают при линейной корреляции по следующим формулам:
σ
Rx / y = rxy σ x (1.55)
y
Ry / x = rxy |
σ y |
(1.56) |
σ |
||
|
x |
|
Первое уравнение и полученный из него коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем признак х при изменении признака у на какую-либо величину; второе уравнение показывает обратные взаимоотношения, т. е. как изменяется в среднем признак у при изменении признака х.
Например, имеются следующие данные: коэффициент корреляции (rху) между интрасклеральным венозным давлением (х) и внутриглазным давлением
(у) равен 0,719; х = 9,97 и σx = ±4,52; у =18,4 и σy = ±5,7. Отсюда:
Rx / y = 0,719 4,525,7 = 0,57
Ry / x = 0,719 45,,527 = 0,94
Следовательно, с увеличением интрасклерального венозного давления на единицу внутриглазное давление в среднем увеличивается на 0,94, а с увеличением внутриглазного давления на единицу интрасклеральное в среднем увеличивается на 0,57.
Зная коэффициент регрессии, можно рассчитать любые значения у при разных значениях х и определить х при любых значениях у. Этим целям служат уравнения регрессии при прямолинейной связи:
yi − |
y |
= Ry / x (xi − |
x |
) |
(1.57) |
||||
xi − |
|
= Rx / y ( yi − |
|
) |
|
||||
x |
y |
(1.58) |
|||||||
Уравнение (1.57) представляет уравнение регрессии у по х. Уравнение (1.58) представляет уравнение регрессии х по у.
Рассчитаем в качестве примера ожидаемые числа внутриглазного давления (у) при заданных значениях (х) — интрасклерального венозного давления и сравним полученные теоретические величины внутриглазного давления с фактическими.
Подставим в формулу (1.57) числовые значения и получим:
уi - 18,4 = 0,94 (xi - 9,97); yi -18,4 = 0,94xi -9,36; yi=0,94xi+9,04.
76
Решаем наше уравнение регрессии, подставляя различные значения х (таб-
л. 1.46).
Таблица 1.46 – Результаты вычислений по уравнению регрессии
Интрасклеральное венозное |
Внутриглазное давление (у) |
давление (х) |
|
x1=19,8 |
y1= 0,94·19,8 +9,04 =27,65 |
x2=7,8 |
y2 =0,94·7,8+9,04= 16,37 |
x3=12,7 |
у3=0,94·12,7+9,04=20,98 |
x4=13,4 |
y4 =0,94·13,4 +9,04 =21,63 |
Сопоставим полученные данные с фактическими (табл. 1.47).
Таблица 1.47 – Внутриглазное давление при разных уровнях интрасклерального венозного давления
Интрасклеральное |
Внутриглазное |
Внутриглазное |
Разность между |
венозное давле- |
давление в |
давление, вычис- |
опытными и вы- |
ние в опыте |
опыте |
ленное по формуле |
численными по |
|
|
|
формуле величи- |
|
|
|
нами |
1 |
2 |
3 |
4 |
19,8 |
34,9 |
27,65 |
+7,25 |
13,4 |
26,8 |
21,63 |
+5,17 |
12,7 |
21,3 |
20,98 |
+0,32 |
7,8 |
16,1 |
16,37 |
-0,27 |
Полученный ряд (столбец 3) носит название ряда регрессии. Для оценки величин, составляющих ряд регрессии, применяется среднеквадратическое от-
клонение регрессии
σ Ry / x =σ y 1 − rxy2 |
(1.59) |
где σу — среднеквадратическое отклонение изучаемого признака; rху — коэффициент корреляции.
В нашем примере σу =±5,7; rху =± 0,719
σ Ry / x =5,7 
1 − 0,7192 =5,7 0,7 = ±3,99
Зная средние значения внутриглазного давления, мы можем определить и их колебания, в пределах которых могут находиться индивидуальные значения внутриглазного давления.
Средняя ошибка коэффициентов регрессии определяется по формулам:
mR |
|
= |
σ y |
1 − r 2 |
или |
mR |
= |
σ y |
1 − r 2 |
(1.60) |
|
σ x |
n |
σ x |
n |
||||||
|
x / y |
|
|
|
y / x |
|
77
Полученные выборочные коэффициенты регрессии можно оценить с помощью критерия t:
tRx / y = |
Rx / y |
или |
tRy / x = |
Ry / x |
(1.61) |
|
mRx / y |
mRy / x |
|||||
|
|
|
|
78