44

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Брянская государственная инженерно-технологическая

академия»

Кафедра математики

Методические указания по выполнению

расчетно-графической работы

“Приложения производной функции одной действительной переменной”

для студентов очной и заочной формы обучения

всех специальностей

Брянск 2009

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Брянская государственная инженерно-технологическая

академия»

Кафедра математики

УТВЕРЖДЕНЫ

научно-методическим

советом академии

Протокол № ____

oт “____”___________2009 г.

Методические указания по выполнению

расчетно-графической работы

“ Приложения производной функции одной действительной переменой ”

для студентов очной и заочной формы обучения

всех специальностей

Брянск 2009

Авторы:

Антоненкова Ольга Евгеньевна

Баранова Ирина Михайловна

Часова Наталья Александровна

Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.

Рассмотрен УМК МТФ

Протокол № от

Содержание

Введение 5

1. Определение производной. Дифференцирование функций 6

2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7

3. Дифференцирование неявных функций 9

4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11

5. Производные и дифференциалы высших порядков 13

6. Правило Лопиталя 14

7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16

8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 27

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин 28

Варианты заданий для РГР 32

Литература 43

Введение

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1. Определение производной. Дифференцирование функций

Производной функции у = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:

. (1)

Если этот предел конечный, то производная существует, а функция f (x) называетсядифференцируемой в точкеx. Производная обозначается или, или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций.ПустьС R – постоянная,и = и (х), v = v(x) —функции, имеющие производные.

1.	С ' =0.	4.	(Си)' =С ∙ u' .
2.	(u ± v)' = и' ± v'.	5.	.
3.	(u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’.

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функцияy = f (u) дифференцируема пои, а функцияи = φ (x) – по х, то сложная функцияy = f (φ(x)) имеет производнуюy' =f ' (u) ∙ u' (x) .

Таблица производных элементарных функций

1.		9.	cos u u
2.		10.
3.		11.	(ctgu)
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.