Министерство образования РФ

Брянская Государственная Инженерно-Технологическая Академия

ФИЗИКА

МЕХАНИКА

Методические указания по выполнению контрольной работы

для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Брянск 2001

Министерство образования РФ

Брянская Государственная Инженерно-Технологическая Академия

Кафедра физики

Утверждены научно-

методическим советом БГИТА

протокол № от 2001 г.

ФИЗИКА

МЕХАНИКА

Методические указания по выполнению контрольной работы

для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Брянск 2001

Составитель: Вощукова Е.А., к. ф.- м. н., доцент

Преженцев М.Д., к.ф.- м.н., доцент

Царьковская Н.И., к.т.н., доцент

Рецензент: Алексеева Г.Д., к. ф. - м. н., доцент

Рекомендовано учебно-методической комиссией

строительного факультета

Протокол № 2001 г.

Основные определения, законы и формулы

Закон движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х

x = f(t),

где f(t) – некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

.

Средняя путевая скорость

.

Проекция мгновенной скорости на ось x

.

Проекция среднего ускорения на ось x

.

Проекция мгновенного ускорения на ось x

.

Путь при равноускоренном движении

.

Скорость равноускоренного движения

.

Закон движения материальной точки по окружности (вращения материальной точки вокруг неподвижной оси)

.

Модуль угловой скорости

.

Модуль углового ускорения

.

Угол поворота при равноускоренном вращении

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих дви-

жение точки по окружности радиуса R:

где а_τ и а_n – модули тангенциального и нормального ускорения.

Модуль полного ускорения

.

Угол между полным и нормальным ускорением

.

Импульс материальной точки

.

Второй закон Ньютона

или ,

где - результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы в механике:

а) сила упругости

,

где k – коэффициент упругости (жесткости), x – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная, m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила трения (скольжения)

,

где k - коэффициент трения, N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел (i=2)

.

Механическая работа

;

для постоянной силы

.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

.

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

;

б) гравитационного взаимодействия

;

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

.

Закон сохранения механической энергии

.

Теорема об изменении кинетической энергии

,

где А – работа, совершаемая результирующей силой, действующей на материальную точку.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси Z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной ℓ относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси, совпадающей с осью цилиндра,

;

в) диска (сплошного цилиндра) радиусом R относительно оси, совпадающей с осью цилиндра,

;

г) однородного шара радиуса R

.

Теорема Штейнера

,

где I_Z – момент инерции тела массы m относительно оси z, проходящей через центр масс тела; I_Z′ – момент инерции относительно любой оси z′ параллельной оси z; а – расстояние между осями z и z′.

Момент силы f относительно оси z

,

где ℓ - плечо силы.

Основной закон динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

,

где M_Z – результирующий момент внешних сил относительно оси z.

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

.

Закон сохранения момента импульса

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z

.

Примеры решения задач

Пример 1. Закон движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A +Bt +Ct³, где A = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0.5 м/с³. Найти координату x, скорость v_X и ускорение а_X в момент времени t = 2 с.

Решение. Координату x найдем, подставив в закон движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

x = (2 + 1 · 2 - 0.5 · 2³) м = 0.

Проекция мгновенной скорости на ось x:

.

Проекция ускорения точки на ось x:

.

В момент времени t = 2 с

v_X = (1 – 3 · 0.5 · 2²) = - 5 м/с;

a_X = 6 (-0.5) · 2 = - 6 м/с².

Пример 2. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найти путь s, пройденный телом.

Решение. Выберем начало отсчета на поверхности Земли, ось x направим вертикально вверх.

Пусть t – текущее время, а t_n – время, в течение которого тело падало на землю.

Закон равноускоренного движения вдоль оси x:

.

В нашем случае x₀ = s, v_0X = 0, a_X = - g, поэтому получаем

.

Запишем эту формулу для моментов времени t = t_n – 1 и t = t_n:

,

после упрощения: .

Исключив из системы s, получим

,

или после преобразований,

.

Корни этого квадратного уравнения:

(t_n)₁ ≈ 5.45 c и (t_n)₂ ≈ 0.55 c.

Второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как тело падало в течение времени, большего 1 с. Значит t_n ≈ 5.45 c.

Путь, пройденный телом за это время,

.

Пример 3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = А + Bt +Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0.1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения и нормального ускорения (рис. 1):

.

Модуль тангенциального ускорения равен: ,

где ε – угловое ускорение, r – радиус окружности, по

0 которой движется точка.

Модуль нормального ускорения: ,

где ω – угловая скорость вращения.

Подставляя выражения для а_τ и а_n в формулу для а,

Рис. 1 получим:

.

Угловая скорость равна:

.

В момент времени t = 4 c

Угловое ускорение

.