Линейная алгебра УМК

Основнаялитература

1.Высшая математика для экономистов: учебник / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2008. – 478 c.

2.Высшая математика для экономистов: практикум: учеб. пособие / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 477 с.

3.Кириллов А.Л. Математика для управленцев: учеб. пособие / А.Л. Кириллов. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 2008. – 175 c.

4.Красс М.С. Математика для экономистов: учеб. пособие / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2008. – 464 c.

5.Шипачев В.С. Высшая математика: учебник / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2008. – 479 с.

6.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2009. – 303 с.

Дополнительная литература

1.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: учеб. пособие / А.Н. Колесников. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 208 c.

20

8.СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ (ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ)

1.Понятие прямоугольной (декартовой) системы координат

Прямоугольной системой координат в пространстве называют три взаимно перпендикулярные оси с заданием масштабной единицы измерения длин и пересекающиеся в одной точке. Любой точке М пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x,y,z) – пространственных координат. Соответственно, любой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка М в пространстве.

2.Уравнение поверхности

Пусть имеется уравнение F(x,y,z) = 0. Его называют уравнением поверхности в заданной системе координат, если уравнению удовлетворяют координаты любой точки М(x,y,z), принадлежащей поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.

3.Уравнение линии

Под линией в пространстве понимают пересечение двух поверхностей, т.е. уравнение линии можно записать в виде совместной системы уравнений двух поверхностей

F1 (x, y, z)= 0F2 (x, y, z)= 0

4.Уравнение плоскости

Общим уравнением плоскости называют уравнение поверхности первого порядка вида Ax + By +Cz + D = 0 .

5.Прямая в пространстве

Совместная система уравнений двух пересекающихся плоскостей определяет прямую в пространстве

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y +C2 + D2 = 0

Эту систему называют общим уравнением прямой.

21

Упорядоченную пару точек в пространстве с заданным направлением отрезка называют вектором в трехмерном пространстве. Вектор, лежащий на прямой или ей параллельный называют направляющим вектором прямой. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку M (x0 , y0 , z0 ) и имеющее вид

x −l x0 = y −my0 = z −nz0 ,

где l, m, n – координаты направляющего вектора, называют каноническим уравнением прямой. Если эти отношения обозначить через t, то можно записать уравнение в виде системы

x = x0 +lt

y = y0 + mtz = z0 + nt

Такое уравнение прямой называют параметрическим.

6.Понятие п-мерного вектора

Упорядоченная совокупность n произвольных действительных чисел x = (x1 , x2 ,..., xn )

называется n-мерным вектором. При этом, каждая из его составляющих называется координатой вектора: x1 – первая координата, x2 – вторая, xk – k-я и так далее. Одномерный вектор обычно называют скаляром.

7.Действия над векторами

Произвольный вектор x размерности n может быть умножен на любое действительное число (скаляр) λ. Эта операция определяется так:

λx = (λx1 ,λx2 ,...,λxn ), то есть, умножение вектора на число заключается

вумножении на это число каждой его координаты.

Сумма двух произвольных векторов определяется следующим образом:

x (1) + x (2) = (x1( 1 ) + x1( 2 ) ,x2( 1 ) + x2( 2 ) ,...,xn( 1 ) + xn( 2 ) )

определенные таким образом операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяют следующим условиям:

1) (x ( 1 ) + x ( 2 ) )+ x ( 3 ) = x ( 1 ) + (x ( 2 ) + x ( 3 ) ) − ассоциативность сложения.

22

2)x ( 1 ) + x ( 2 ) = x ( 2 ) + x ( 1 ) − коммутативность сложения.

3)λ(x ( 1 ) + x ( 2 ) )= λx ( 1 ) + λx ( 2 ) − дистрибутивность умножения по отноше-

нию к сложению векторов.

4) (λ1 + λ2 )x = λ1 x + λ2 x − дистрибутивность умножения по отношению

ксложению скаляров.

5)λ1 (λ2 x)= (λ1 λ2 )x − ассоциативность умножения на скаляр.

Если, кроме того, в совокупности векторов имеется вектор, все координаты которого равны нулю, то имеет место равенство x + 0 = x для любого x и 0 x = 0 для любого x , то такой вектор 0 =(0,0,...,0 ) называется ну-

левым вектором.

8.Понятие о линейном (векторном) пространстве

Множество элементов Х называется линейным (векторным) пространством, если:

1)для любой пары элементов a и b из Х существует элемент с называемый суммой элементов a и b;

2)для любого действительного числа λ и любого элемента а из Х в Х найдется новый элемент, называемый произведением λ на а;

3)операции сложение и умножение на число удовлетворяют условиям

1÷5;

4)в множестве элементов Х существует нулевой элемент, удовлетворяющий условию x + 0 = x для х Х.

9.Матрицы

Совокупность m × n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов:

называется прямоугольной матрицей.

23

Сокращенно матрицу можно записывать в виде

{ }i=1,n A = aij j=1,m ,

числа aij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами. Первый индекс – номер строки, в которой расположен элемент; второй индекс – номер соответствующего столбца.

Произведением матрицы A = {aij }ij==1,n1,m на число с называется матрица, эле-

ментами которой являются произведения числа с на соответствующий элемент матрицы А:

Матрица - А=(-1)А называется противоположной матрице А.

Суммой двух матриц A = {aij } и B ={bij } одинакового типа n × m называ-

ется матрица С ={сij } того же типа, элементы которой равны суммам со-

Произведением двух матриц А и В, (в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то есть матрица А имеет размер n × m, а В – m × p ) называется матрица C = {cik }, элементы которой опре-

деляются по следующему правилу:

m

cik = ∑aij bjk ; i =1,2,K,n; k =1,2,K, p

j=1

10.Определитель матрицы

Перестановкой α1, α2, …, αn чисел 1, 2, …, n называется некоторое произвольное их расположение в определенном порядке.

24

Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка α1, α2, …, αn называется четной (нечетной), если соответственно четно (нечетно) число ее инверсий I (α1, α2, …, αn).

Операция, посредством которой осуществляется переход от одной перестановки к другой, называется подстановкой. Запись этой операции:

Определителем (детерминантом) матрицы А называется число, полученное из элементов этой матрицы по формуле:

r и s количества инверсий соответственно в верхней и нижней перестановках каждой подстановки по которым производится суммирование.

11. Минор

Минором Mij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, образованной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца

{ }j=1,n

Рассмотрим произвольную матрицу aij i=1,m .

25

Если в этой матрице выделить произвольные k строк, k ≤ n и произвольные k столбцов, k ≤ m, то элементы, стоящие на пересечении выбранных нами строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель полученной таким образом матрицы называется минором k -го порядка для матрицы А. Наибольший из порядков, отличных от нуля миноров данной матрицы, называется рангом матрицы.

12. Понятие об обратной матрице

Единичной (Е) называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы - нулевые. Рассмотрим квадратную матрицу:

Такая квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. В другую сторону, А - вырожденная или особенная матрица, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица В того же порядка, что и А, называется обратной к А, если их произведение есть единичная матрица.

ВА=АВ=Е

13. Система линейных уравнений

Линейным называется уравнение вида:

a1 x1 + a2 x2 +...+an xn = b

ai – коэффициенты данного уравнения; xi – неизвестные этого уравнения; b – свободный член уравнения.

26

Совокупность нескольких линейных уравнений с одними и теми же неизвестными, рассматриваемая совместно, называется системой линейных уравнений. Систему линейных уравнений можно записать в виде:

систему уравнений (1) можно записать в матричной форме:

Ax = B

Матрица А называется матрицей системы (1), а матрица А , образуемая из матрицы А добавлением вектор-столбца свободных членов носит на-

звание расширенной матрицы системы.

Решением линейных алгебраических уравнений (1) называется любая совокупность чисел с1, с2,..., сn, которая будучи подставлена вместо х1, х2,..., хn в систему (1) превращает эти уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной или разрешимой, если она имеет, хотя бы одно решение. Если система вообще не имеет решений, она называется несовместной или неразрешимой. В случае если система совместна, то она называется определенной, тогда когда решение ее единственно. Совместная система носит название неопределенной, если ее решение не является единственным.

Однородной называется система линейных уравнений в виде:

Ах =0

Если в неоднородной системе линейных уравнений заменить все свободные члены нулями, то полученная однородная система называется приведенной системой для исходной неоднородной.

14. Элементарные преобразования

Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимают следующие операции: умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля; прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на неравное нулю число; перемена местами двух уравнений в системе.

27

15. Начала векторной алгебры

Аксиомы векторного пространства:

1o. xr, yr R: xr + yr = yr + xr (коммутативность суммы элементов). 2o. xr, yr, zr R: (xr + yr)+ zr = xr +(yr + zr) (ассоциативность суммы).

Вектор длиной равной единице, называется нормированным xr =1 .

Определение 3. Углом между ненулевыми векторами x, y называется угол ϕ , принадлежащий промежутку [0;π] и удовлетворяющий условию

(xr, yr) cosϕ = xr yr .

Определение 4. Система векторов x1 , x2 ,..., xk евклидова пространства на-

const, p = m

зывается ортогональной, если (x p ,x m )= ≠ .

0, p m

Определение 5. Система векторов x1 , x2 ,..., xk E n называется ортонорми-

рованной, если

28

1, p = m (x p ,x m )= 0, p ≠ m .

Простейшей ортонормированной системой векторов будут орты i,j,k. Определение 6. Выражение αx +βy +...γz называется линейной комбина-

цией системы векторов x, y,...,z Rn с коэффициентами (числами) α,β,...γ.

Определение 7. Система векторов x, y,...,z Rn называется линейно зависимой, если найдется их линейная комбинация, равная нулевому элементу 0r, не все коэффициенты которой равны нулю.

Основные свойства линейно зависимых систем векторов:

1)Любое расширение линейно зависимой системы оставляет ее линейно зависимой (добавление вектора к такой системе не меняет ее тип)

2)Если два вектора коллинеарные, то они линейно зависимы.

3)Если в системе векторов присутствуют коллинеарные вектора, то система линейно зависима (как расширение линейно зависимой).

4)Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда в ней найдется вектор, представимый в виде линейной комбинации других векторов системы.

5)Если среди векторов x, y,...,z есть нулевой, то эти вектора линейно зависимы (нулевой вектор будет иметь ненулевой коэффициент α).

6)Система векторов будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда ранг ее координатной матрицы меньше числа векторов.

7)Система векторов линейно зависима, если размерность вектора меньше числа векторов в системе.

Определение 8. Система векторов x, y,...,z R называются линейно независимыми, если равенство α xr + β yr+...+γ zr = 0 имеет место тогда и только тогда, когда α = β =...= γ = 0 (иными словами, при тривиальном наборе чисел). Основные свойства линейно независимых систем векторов:

1)Любое сужение линейно независимой системы оставляет ее линейно независимой.

2)Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ранг координатной матрицы равен числу векторов системы.

29