дисперсия. В случае распределения Пуассона j=1, так как математическое ожидание и дисперсия его равны, по выборке определяется один параметр.
Вычисленное по (14) значение χ2 сравнивается с табличным (критическим, табл. 7 прил.) при выбранном одностороннем уровне значимости α. Если χ2 ≤ χ2ν,кр , то гипотеза о виде распределения принима-
ется, в противном случае она отвергается и строится новая гипотеза — предполагается другой закон. Если вид закона подобрать не удается, то пользуются неравенством Чебышева для определения случайной по-
грешности X (построение доверительного интервала для X ист ).
3.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
3.1.Проверка гипотезы о нормальности распределения по вероятностной бумаге
3.1.1.Экспериментальные данные представленные в виде вариационного ряда и занести в табл. С.
При совпадении значений X i им присваиваются разные номера, как
ив вариационном ряде.
3.1.2.Занести в табл. С вычисленные как i /(n +1) значения эмпи-
рической функции распределения 3.1.3. По таблицам интегральной функции нормального распределе-
ния (табл. 1 прил.) найти теоретическое значение аргумента ветствующее каждому значению эмпирической функции распределения Fn (X i ). В таблице приведены теоретические значения Ф(Z) > 0,5, что
соответствует положительным значениям Z i . Для нахождения отрица-
тельных Z i , соответствующих значениям функции Ф(Z) < 0,5 необходимо воспользоваться соотношением Ф(-Z)=1-Ф(Z).
19
3.1.4. Нанести на миллиметровую бумагу точки с координатами по оси абсцисс, равными X i , а по оси ординат — Z i . Построить график,
проведя по точкам прямую линию, обращая особое внимание на средние точки (крайние значения могут быть промахами и на них внимания не обращать). По обе стороны проведенной прямой должно находится приблизительно одинаковое количество точек.
Таблица С Данные для проверки закона распределения
по вероятностной бумаге.
Номер |
X i |
|
точки i |
||
|
1X1
2X 2
... |
|
n |
X n |
Fn (X i )= |
Z i |
|
= Ф(Z i ) |
||
|
||
1/(n +1) |
|
|
|
2/(n +1)
i/(n +1)
3.1.5. Найти по графику оценку среднего арифметического X гр и СКО S X ,гр , сравнить их с соответствующими расчетными результата-
ми (1) и (4).
3.1.6. Сделать вывод о справедливости гипотезы о нормальности закона распределения.
3.2.Проверка нормальности по критерию Колмогорова
3.2.1.По табл. 6 прил. найти и выписать критическое значение Dn,кр для доверительной вероятности Pд = 0,90 .
20
3.2.2. Построить график (на миллиметровой бумаге) эмпирической функции распределения Fn (X i ) (по табл. С) в виде ступенчатой ломаной линии полагая, что функция имеет постоянную величину от изме-
рения до измерения, а в самой измеренной точке X i имеет рост до соот-
ветствующего расчетного значения Fn (X i ).
3.2.3. Используя данные для построения кривой теоретических вероятностей (табл. В), заполнить колонки 2 и 3 табл. D. Значения функции в колонках 4 и 5 не могут быть меньше 0 и больше 1. В ячейках таблицы, где условие не выполняется ставятся прочерки.
|
|
|
|
Таблица D |
Данные для проверки закона распределения по критерию |
||||
|
|
Колмогорова. |
||
|
|
|
|
|
Номер |
Значение |
Ф(Z |
k |
) Ф(Z k )− Dn,кр Ф (Z k )+ Dn,кр |
границы |
границы |
|
|
|
инт. k |
интервала |
(см. табл. В) |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
r+1
3.2.4. Построить график функции Ф(Z k ) (по табл. D) на том же графике, где построена эмпирическая функция Fn (X i ). При этом учесть, что Ф(X )= 0,5 .
3.2.5. Вычислить доверительную полосу Ф(Z k )± Dn,кр , запол-
нить колонки 4 и 5 табл. D, нанести на тот же график нижнюю (кол. 4 табл. D) и верхнюю (кол. 5 табл. D) границы доверительной полосы. При этом помнить, что значение функции вероятности не может быть меньше нуля и больше единицы.
21
3.2.6. Сделать вывод о справедливости гипотезы о нормальности закона распределения.
3.3. Проверка нормальности с помощью критерия согласия χ2
Воспользовавшись табл. А, составить табл. Е (колонки 1 — 5).
Таблица Е Данные для проверки закона распределения по критерию согласия
Пирсона
|
Интервал |
Число |
Теорети- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ном. |
|
|
ческая |
|
|
(nk −nPk |
)2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
знач. в |
вероят- |
nPk |
|
|
|
||||
Интер- |
|
|
интервале |
ность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nPk |
|
|
|
||||
вала |
Начало |
Конец |
nk |
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
|
|
||||
k |
|
|
(см. табл. А) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. табл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X min |
h +X min |
n1 |
P1 |
nP |
|
|
(n1 − nP1 )2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
nP1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
h + X min |
2h + X min |
n2 |
P2 |
nP |
|
|
(n2 − nP2 )2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
nP2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.2. Вычислить для каждого интервала значения |
( |
nk −nPk |
)2 |
|
, |
||||||
nPk
занести в табл. Е.
3.3.3. Вычислить χ2 по формуле (14).
22