досфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и дви жению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псев досфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псев досфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.
2.4.Гиперболическая элементарная геометрия.
Вгиперболической геометрии понятие величины угла можно определить следующим образом.
Величина угла равна 2 если углов с общей вершиной, конгруэнтных данному углу, покрывают всю плоскость Лобачевского без наложений.
Для модели Клейна и модели Пуанкаре в круге повороты вокруг центра круга являются движениями. Поэтому в центре круга в обеих моделях величины ги перболических углов совпадают с величинами евклидовых углов. Центр круга гиперболическим движением можно перевести в любую другую точку. Для мо дели Пуанкоре движения сохраняют евклидовы углы, поэтому для нее понятие величины евклидова угла совпадает с понятием величины гиперболического уг ла. (Угол между двумя пересекающимися окружностями определяется как угол между касательными в точке пересечения.) Для модели Клейна движения не обязательно сохраняют евклидовы углы, поэтому для нее величина гиперболи ческого угла не обязательно совпадает с величиной евклидова угла[2].
17
Глава 3
Изопериметрическая задача в геометрии
Лобачевского
3.1.Теорема о максимальной площади треугольника в плоскости лобачевского
Вгеометрии Лобачевского решением изопериметрической задачи также яв ляется круг.
Для того чтобы доказать это утверждение, понадобится теорема о максималь ной площади треугольника с двумя фиксированными сторонами.
Теорема 3.1. Среди треугольников на плоскости Лобачевского с задан ными длинами двух сторон и максимальную площадь имеет тот, у которого угол равен сумме углов и Доказательство Обозначим через , , углы треугольника . Воспользу
емся моделью Пуанкаре в круге. Вершину поместим в центр модели. Рас смотрим евклидову окружность и евклидову прямую, содержащие гипербо лические прямые и соответственно. Они пересекаются в двух точках
и ′ . Докажем, что площадь гиперболического треугольника равна удвоенной величине евклидова угла ′ , который мы обозначим через . Действительно, угол между хордой и окружностью также равен , так как угол между хордой и касательной равен вписанному углу. Так как сумма углов евклидова треугольника равна + + 2 = , то
( ) = − ( + + ) = 2 .
Таким образом, треугольник имеет максимальную площадь тогда и толь ко тогда, когда угол ′ максимален. Поскольку длины сторон и фик сированы, а меняется лишь угол между ними, можно считать фиксированными 18
Рис. 3.1
Рис. 3.2
точки и ; тогда точка может перемещаться по окружности с центром
. Очевидно , что угол ′ максимален, если евклидова прямая ′ касается окружности . Это , в свою очередь означает, что евклидов угол ′ — пря мой. Последнее условие равносильно тому, что 2 = \ ′ + \ ′ = +
. Сопоставив это с выведенной ранее формулой ( ) = 2 и формулой
( ) = − − − для площади треугольника, получаем требуемое
= + .#
19
Заключение
В данной выпускной квалификационной работе проделано следующие. Выписаны основные определения. Доказаны леммы необходимые для решения изопериметрической задачи. Доказана теорема о том, что в геометрии Евклида фигурой максимальной площади при заданном периметре является круг. Описаны модели геометрии Лобачевского модель Клейна, модель Пуанаре, мо дель псевдосферы ,а так же элементарная гиперболическая геометрия. Был выведен критерий о максимальной площади треугольника в геометрии Лоба чевского, который поможет при решении аналога изопериметрической задачи в геометрии Лобачевского.
20
Литература
1.Протасов В.Ю.,Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005.
— 56 с
2.Прасолов В.В.,Тихомиров В.М.,Геометрия.–М.:МЦНМО, 2007. —2-е изд., пе рераб. и доп.—328 с.
3.Савин П.,Энциклопедический словарь юного математика.– М.: 1989. - 352 с
4.Горшкова Л.С.,Сорокина М.В.,Основания геометрии: учебное пособие для студентов педагогических вузов –Пенза: Пензенский государственный педа гогический университет им. В. Г. Белинского, 2009. – 144 с.
5.Заметка под ред. А. Скопенкова,Простое доказательство изопериметриче ской теоремы для плоскости Лобачевского.arXiv:1009.0897v1 [math.MG] 5 Sep 2010
6.Саженков А.Н.,Вайгант В.А.,Матукеви О.Ю.,Саженкова Т.В.,Славский В.В.,Дронов В.С.,Функциональный анализ.Практикум. Под общей редак цией А.Н. Саженкова: Учебное пособие. Барнаул: Издательство Алтайского госуниверситета ,201.
21