МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Алтайский государственный университет» Факультет математики и информационных технологий

Кафедра математического анализа

Изопериметрическая задача в неевклидовой геометрии

Выпускная квалификационная работа

Выполнил студент 4 курса 403 группы Телегина Анастасия Львовна

Научный руководитель Оскорбин Дмитрий Николаевич

Выпускная квалификационная работа защищена " " 2014г.

Оценка

Председатель ГЭК

Допустить к защите зав.кафедрой А.Н.Саженков

" " 2014г.

Барнаул, 2014

Содержание

1.1.Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.Сведения из функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.Псевдосфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.Гиперболическая элементарная геометрия. . . . . . . . . . . . . . 17

Глава 3. Изопериметрическая задача в геометрии Лобачевского 18 3.1. Теорема о максимальной площади треугольника в плоскости ло­

бачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

Введение

Судьба изопериметрической задачи воистину удивительна. Ответ был из­ вестен человечеству почти 3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать его удалось лишь в конце девятнадцатого века.

История изопериметрической задачи началась в девятом веке до н. э., когда, как написал в своей поэме <Энеида> древнеримский поэт Вергилий, дочь фи­ никийского царя принцесса Дидона, спасаясь от своего брата, замыслившего заговор против неё, снарядила корабль и со своими слугами отправилась в пла­ вание вдоль южного побережья Средиземного моря. После нескольких дней плавания корабль причалил к живописному берегу на территории современ­ ного государства Тунис. Принцесса попросила вождя местного племени Ярба выделить ей участок земли на берегу для того, чтобы основать там своё посе­ ление. Вождь с усмешкой предложил ей взять столько земли, сколько можно ограничить одной бычьей шкурой. Тогда хитрая Дидона приказала разрезать бычью шкуру на очень тонкие полосочки, из которых сплели длинную верёвку. Считая для простоты линию берега прямой, получаем задачу, которую Дидоне предстояло решить. От прямой линии берега верёвкой данной длины отгоро­ дить участок земли наибольшей площади.

Среди всех тел с данной площадью поверхности наибольший объем имеет шар. Для плоских фигур изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди всех фигур, ограниченных замкнутой кривой заданной длины, найти фигуру наибольшей площади.

Решением этой задачи является круг (будет доказанно позже). Поэтому длина

границы плоской фигуры и ее площадь связаны изопериметрическим нера­ венством: ≥ 41 2.

В общем случае решение изопериметрической задачи сложно. Но аналогичные задачи для многоугольников значительно проще. В самом простом случае - для треугольников - она формулируется так: среди всех треугольников с данным пе­

3

риметром наибольшую площадь имеет правильный. И среди всех -угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный. Изопериметрическая задача относится к так называемым задачам на экстре­ мумы - задачам об отыскании наибольших и наименьших значений. Ясно, что экстремальные задачи постоянно приходится решать в практике.

Цель выпускной квалификационной работы — решить изопериметрическую за­ дачу и вывести критерий о максимальной площади треугольника в геометрии Лобачевского, который поможет при решении аналога изопериметрической за­ дачи в геометрии Лобачевского.

Выпускная квалификационная работа "Изопериметрическая задача в неевкли­ довой геометрии"объемом 21 стр. содержит введение, основную часть, состоя­ щую из трех глав, заключения, 5 рисунков, 6 источников библиографического списка литературы.

Первая глава разбита на три подпункта.

Впервом описываются основные определения ,которые понадобятся для дока­ зательства изопериметрической задачи в геометии Евклида.

Во-втором подпункте сведения из функционального анализа, что такое метри­ ка, метрическое пространство, метрика хаусдорфа. Все это понадобиться для доказательства леммы о Существовании фигуры максимальной площади.

Впоследнем подпункте доказывается сама изопериметрическая задача ,с помо­ щью четырех лемм.

Вторая глава описывает основные модели геометрии Лобачевского.

Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геомет­ рии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил что орисфера в пространстве Лобачевкого изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само поня­ тие о модели прояснилось в работах Клейна и других.

4

В третей главе доказывается теорема о максимальной площади треугольника с двумя фиксированными сторонами в геометрии Лобачевского.

Эта теорема поможет для решения изопериметрической задачи в геометрии Лобачевского.

5

Глава 1

Изопериметрическая задача в Евклидовой

геометрии

1.1. Определения

Определение 1.1. Выпуклой называется такая фигура, которой принадле­ жат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки.

Пусть A – пространство из R2.

Определение 1.2. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками , множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и .

Определение 1.3. Выпуклой оболочкой множества называется наимень­ шее выпуклое множество, содержащее .

Утверждение. Выпуклая оболочка состоит из точек всевозможных отрезков, соединяющих точки фигуры .

1.2. Сведения из функционального анализа

Определение 1.4. Пусть X произвольное множество, : × → —

отображение декартова произведения × в множество . Отображение

называется метрикой на , если:

1. ( , ) ≥ 0, , и ( , ) = 0, если = , 2. ( , ) = ( , ), , , 3. ( , ) + ( , ) ≥ ( , ), , , .

6

Определение 1.5. Множество с введенной на нем метрикой называет­ ся метрическим пространством.

Примеры метрического пространства.

1.Числовая прямая: множество всех вещественных чисел, расстояние ( , ) =

| − |.

2.Евклидово -мерное пространство: множество всех упорядоченных систем из

вещественных чисел, расстояние ( , ) = √∑ =1( − )2, где = ( 1... ),

= ( 1... ).

3.Пространство [ , ]: множество всех непрерывных функций ( ), заданных на отрезке [ , ], расстояние ( , ) = { | ( ) − ( )|, [ , ]}.

Определение 1.6. Последовательность { } метрического пространства называется фундаментальной если ( , ) → 0 при , → ∞.

Определение 1.7. Пусть дано множество . Семейство множеств =

{ } называется покрытием , если .

Определение 1.8. Если — покрытие множества , то любое подмноже­ ство , также являющееся покрытием , называется подпокрытием.

Определение 1.9. Метрическое пространство ( , ) называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится ,то есть из того что ( , ) → 0 следует, что существует : ( , ) → 0 при → ∞.

Определение 1.10. Множество метрического пространства называ­ ется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 1.11. -сеть метрического пространства есть множество

такое, что для любой точки найдётся точка , удалённая от

не более чем на .

7