Глава 2
Модели геометрии Лобачевского
Чтобы доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было построить модель.Над этим трудились математики А.Пуанкаре (1854-1912), Ф. Клейн (1849-1925), Э.Бельтрами(1835-1900) в честь которых и были названы модели геометрии Лобачевского.
2.1.Модель Клейна
В1871 г. Клейн построил проективную модель геометрии Лобачевского. В модели Клейна плоскость Лобачевского реализуется как внутренность еди ничного круга, где точками плоскости Лобачевского являются точки этого кру га, а расстояние между точками и задается формулой
( , ) = |
|
ln |
|
: |
|
|| |
, |
||
2 |
|| || |
|| |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где и — концы хорды, проходящей через точки и . Движениями плос кости Лобачевского являются проективные преобразования, переводящие круг в себя.
Определим расстояние ( , ) между точками и интеррвала ( , ) формулой:
( , ) = |
| |
ln [ , , , ] |
= ln |
− |
: |
− |
|
|
− |
− |
|||||||
|
| |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние ( , ) не изменяется при проективных преобразованиях прямой, сохраняющих интервал( , ).
Интервал ( , ) с определенным таким образом расстоянием ( , ) называют прямой Лобачевского в модели Клейна[2].
13
Рис. 2.1
2.2. Модель Пуанкаре
Модель Пуанкаре в круге.
Новая модель получается следующим образом. Рассмотрим сферу, экватором которой служит абсалют. Пусть — точка модели Клейна, 1 —точка южной полусферы, проецирующаяся в точку , ′ —точка пересечения экваториаль ной плоскости с прямой 1 , где — северный полюс. (Рис.2.1) Сопоставим каждой точке точку ′, получим преобразование экваториального круга. Что бы это преобразование было изометрией, нужно определить расстояние между точками ′ и ′ в новой модели как расстояние между точками и в старой модели. Полученную таким образом модель геометрии Лобачевского называют
моделью Пуанкаре в круге.
Прямые в модели Пуанкаре. Хорде соответствует сечение южной полусфе ры плоскостью, перпендикулярной экватору. это сечение представляет собой полуокружность, перпендикулярную абсолюту. при проекции из полюса на эк ваториальную плоскость эта полуокружность переходит в дугу окружности, перпендикулярной абсолюту. Таким образом, для модели Пуанкаре в круге пря мыми являются дуги окружностей,перпендикулярных абсолюту.
Для модели Пуанкаре данный круг удобно считать единичным кругом на ком плексной плоскости.
Нетрудно убедиться, что если точки и лежат на хорде , а ′ и ′ —
14
Рис. 2.2
соответствующие точки модели Пуанкаре (Рис.2.2).
|[ , , , ]| = |[ , , ′, ′]|2
В самом деле, стереографическая проекция является ограничением простран ственной инверсии, поетому она сохраняет двойное отношение. Ивыполняются
раенства
| | : | | = | 2| : | 2| = | 2| : | 2| | | | |
Таким образом, | ln [ , , , ]| = 2| ln |[ , , ′, ′]||. Так как , ( , ) = | ln [ , , , ]|, поэтому
( ′, ′) = 2| ln |[ , , ′, ′]||
Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.
Модель геометрии Лобачевского, называемую моделью Пуанкаре в верхней по луплоскости, можно получить, отобразив единичный круг на верхнюю полу плоскость = { + C| > 0} с помощью дробно-линейного отображения. Для этой цели годиться, отображение → = 1+1− . Так как
= ( |
1 + |
) = |
1 |
( |
1 + |
+ |
1 + |
) = |
1 − | |2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
1 − |
|
|1 − |2 |
||||||
|
1 − |
|
|
1 − |
||||||
Поэтому > 0 ↔ | | < 1.
Дробно-линейные преобразования переводят прямые и окружности в прямые и окружности. Они сохраняют углы. Поэтому в верхней полуплоскости гипер болическими прямыми являються вертикальные луи и полуокружности,центры 15
Рис. 2.3
которых лежат на абсолюте(Рис.2.3).
Расстояние между точками в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости опре деляестся следующим образом. Пусть гиперболическая прямая подходит к
абсолюту в точках , . Тогда ( , ) = | ln [ , , , ]|.
Движения плоскости Лобачевского. Любое дробно-линейное преобразование, со храняющее верхнюю полуплоскость , является движением плоскости Лобачев ского. Пусть , , , R. Так как
|
+ |
= |
( + )( + ) |
= |
+ |
= ( − ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
| + |2 |
| + |2 |
| + |2 |
||||||
= ( − )| + |2 .
То отображения → ++ , где − > 0, и →¯¯++ , где − > 0, сохраняют
верхнюю полуплоскость[2].
2.3. Псевдосфера
Трактриса — кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
Псевдосфера — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты.
Итальянский математик Э.Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоян ной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псев
16