1.5. Метод секущих

Если итерации х_k и x_k+1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f'(x_k) в алгоритме Ньютона (1.13) можно заменить ее при­ближенным значением в виде отношения приращения функции f=f(x_k)-f(x_k-1) приращению аргумента x=x_k-x_k-1. Таким образом, запишем формулу метода секущих

(1.19)

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона в том, что от аппроксимации функции f(x) касательной мы переходим к секущей (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Метод секущих

Для того чтобы начать итерационный процесс, необходимо задать два начальных приближения x₀ и x₁. Затем каждое новое приближение к корню получаем по формуле (1.19). Заканчиваем процесс уточнения корня при выполнении условия

|x_k+1-x_k|<

где  - заданная абсолютная погрешность определения корня.

Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходи­мости, однако, не требует вычисления производной левой части уравнения.

По алгоритму метод секущих близок к методу хорд (п. 1.3), однако в отли­чие от последнего начальные приближения в методе секущих могут распола­гаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны; кроме того, при уточнении корня не повторяются знаки функции f(x).

1.6. Метод простых итераций

Исходное уравнение (1.1)

f(x)=0

всегда можно преобразовать к эквивалентному уравнению

х = (х) (1.24)

Пусть известно начальное приближение к корню x₀, тогда подставим его в правую часть уравнения (1.24) и получим новое приближение x₁ = (х₀), затем аналогичным образом получим x₂ = (х₁) и так далее. Таким образом, итерационное уравнение метода простых итераций имеет вид:

x_k+1 = (х_k) (1.25)

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс (1.25) будет сходиться к корню уравнения х*.

Построим графики двух функций:

y₁(x)=x

y₂(x)=(x)

Координаты пересечения графиков этих функций и дадут корень исходного уравнения (1.24) х*.

а)- односторонний сходящийся процесс	б)- односторонний расходящийся процесс
в)- двух­сторонний сходящийся процесс	г)- двухсторонний расходя­щийся процесс

Рис. 1.7. Метод простых итераций:

Рассмотрим процесс графически (рис. 1.7). Из графиков видно, что при ’(х)> 0 и при ’(х) < 0 возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной ’(х). Чем меньше |’(х)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически. Пусть х* - корень уравнения (1.26), т.е. имеем

х*=( х*)

Пусть _kи_k+1- отклоненияkиk+1 приближения корня от точного значения корнях*:

х_k=х*+_k

х_k+1=х*+_k+1

Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня х*, то функцию (х) можно при­ближенно представить двумя членами ряда Тейлора:

( х_k)=( х*+_k)=( х*)+’( х*)_k

. Тогда итерационная формула (1.25) примет вид

Учитывая, что х* является корнем уравнения: х* = (х*), получим:

или

(1.26)

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, должно выполняться условие

(1.27)

или

(1.28)

Из (1.26) видно, что максимальная сходимость будет в случае, если .

Переход от уравнения (1.1) к уравнению (1.24) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f(x) . При таком переходе необходимо построить функцию такую (х), чтобы выполнялось условие сходимости (1.26). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1.1) к уравнению (1.24). Умножим левую и правую части уравнения (1.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся

x+bf (х) = х +0b (1.27)

Введем обозначение

(х)=x+bf(x) (1.28)

и перейдем от соотношения (1.27) к уравнению (1.24).

Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (1.26). Необходимо выбрать величину b такой, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсто­ронней (рис. 1.11, в). В этом случае в наиболее простом виде можно пред­ставить критерий окончания итерационного процесса

|x_k+1-x_k|< (1.29)

где  - заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция (х) выбрана в виде (1.28), то производная по х от этой функции будет

’(х) = 1+bf’(х)

Т.е. условие (1.26) имеет вид:

или

Или

Поэтому константу b необходимо выбирать из интервала:

А) если f’(х)>0

-2/f’(х*)<b<0

Б) если f’(х)<0

0<b<-2/f’(х*)

Наибольшую скорость сходимости получим при ’(х*)=0, тогда

b = -1/f’(х*)

и итерационная формула (125) переходит в формулу Ньютона

x_k+1 =x_k - f(х_k)/f’(х_k)

Таким образом, метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.