Вычитая левые и правые части последних соотношений, получим

Точку пересечения прямой у(х) с осью абсцисс получим, приравнивая у(х) нулю,

(1.7)

или

(1.8)

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух [a, x₁] или [х₁, b], на концах которого функция f(x) принимает значения с разными знаками.

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между оче­редными приближениями станет меньше заданной погрешности :

|x_n-x_n-1|<

или когда значения функции f(x) попадут в область шума, т.е.

|f(x_n)|<₁

1.4. Метод Ньютона (метод касательных)

Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис. 1.4). Предположим, что графическим методом определено начальное приближение х₀ к корню. В точке x₀ вычислим левую часть решаемого уравнения f₀ = f(x₀), а также производную в этой точке f'(x₀). За следующее приближение к корню возьмем точку x₁, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x₀, f₀), пересекает ось абсцисс.

Уравнение прямой линии, проходящей через точку f₀ = f(x₀) и имеющей касательную f'(x₀), можно записать в виде:

у(х) = f(x₀)+f'(x₀)(x- x₀)

Чтобы найти x₁, необходимо решить уравнениеy(x₁)=0:

у(х₁) = f'(x₀)(x₁- x₀)+ f(x₀)=0

Решая это уравнение, получим основную формулу метода Ньютона

Затем считаем точку х₁в качестве началь­ной и продолжаем итерационный процесс. В общем виде для k+1-го шага итерационного процесса последнее соот­ношение принимает вид

(1.12)

Из рис. 1.4 видно, что таким способом можно приближаться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным x_k+1 и предыдущим х_k приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончим, когда выпол­нится условие

|x_k+1-x_k|< (1.13)

где  - допустимая погрешность определения корня.

Рис. 1.4. Метод Ньютона

Алгоритм Ньютона можно получить другим способом с помощью разложения в ряд Тейлора левой части уравнения f(x) вблизи корня x_k.

f(х) = f'(x_k)( x- x_k)+ f(x_k)+…

Пренебрегая вкладами второго и более высоких порядков и из условия, чтобы в результате следующей итерации функция была равна нулю:

f(x_k+1)=0

получим уравнение

f(x_k+1) = f'(x_k)( x_k+1- x_k)+ f(x_k)=0

Откуда получим решение в виде (1.13).

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно относительная погрешность решения 10^-5 - 10^-6 достигается через 5-6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Можно, несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f(x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона (рис. 1.5).

(1.14)

Рис. 1.5. Модифицированный ме­тод Ньютона

Метод Ньютона (1.13) - (1.14) можно использовать для уточнения корней в области комплексных значений х, что необходимо при решении многих прикладных задач, в частности при численном моделировании электромагнитных колебательных и волновых процессов с учетом временной и пространственной диссипации энергии. В этом случае начальное приближение корню х₀ необходимо выбирать комплексным.