Глава 1. Решение алгебраических уравнений

1.1. Отделение корней 1

1.2. Метод дихотомии 3

1.3. Метод хорд 4

1.4. Метод Ньютона (метод касательных) 5

1.5. Метод секущих 7

1.6. Метод простых итераций 8

1.1. Отделение корней

Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида

f(x)=0 (1.1)

Решениями или корнями уравнения (1.1) называются такие значения х, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Как правило, исследователя интересует поведение решений в зависи­мости от параметров р_k, поэтому общее уравнение можно записать в виде:

f(x, р₁, p₂,..., р_n)=0, (1.2)

При каждом фиксированном наборе параметров p_k (уравнение (1.2) может иметь либо конечное, либо бесконечное количество решений х, что соответствует определенному физическому смыслу конкрет­ной задачи).

Например, в уравнении: 3x+5=0 нет параметров, и оно имеет решение: x=5/3. Аналогично, уравнение: 6x²+x-1=0 не имеет параметров, и корни этого уравнения равны: x₁=1/3, x₂=-1/2.

А вот уравнение: ax+b=0 имеет два параметра – a и b, и решение этого уравнения можно выразить через эти параметры: x=-b/a. Аналогично, квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет 3 параметра – a, b, c, и корни этого уравнения выражаются через эти параметры известной формулой:

Не нарушая общности задачи, можно поменять местами неизвестное х и любой из параметров p_k, и решать уравнение (1.1) относительно другой неизвестной величины.

Только для простейших уравнений удается найти решение в аналити­ческом виде, т.е. записать формулу, выражающую искомое решение х в явном виде через параметры p_k. В большинстве же случаев приходится решать уравнения вида (1.1) численными методами. Хотя иногда, даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программиро­вать громоздкую аналитическую формулу.

Численное решение уравнения (1.1) обычно проводят в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корни уравнения, т.е. найти такие интервалы изменения переменной х, где расположен только один корень. По сути дела, на этом этапе находят приближенные значения корней с по­грешностью, задаваемой длиной каждого интервала. Нередко отделение корней удается провести, не обращаясь к математическим методам и алго­ритмам, на основании физического смысла задачи или из анализа ее упрощенной математической модели. На втором этапе проводят уточнение отде­ленных корней, т.е. находят корни с заданной точностью, для этого известен богатый набор алгоритмов и программ, ряд которых будет приведен нами в следующих разделах настоящей главы.

Рассмотрим графический или табличный способ отделения корней уравнения (1.1), который используется, когда отсутствует какая-либо информация о расположении корней. В интересующей нас области изменения неизвестного x[x₀, x_n] вычислим ряд значений левой части уравнения (1.1) и результаты поместим в табл. 1.1, по которой можно построить график (рис. 1.1).

Таблица 1.1
х	f (х)
x0	f0
x1	f1
…	…
xn	fn
i xi fi 0 0 0,841471 1 0,1 0,454649 2 0,2 0,04704 3 0,3 -0,1892 4 0,4 -0,19178 5 0,5 -0,04657 6 0,6 0,093855 7 0,7 0,12367 8 0,8 0,045791 9 0,9 -0,0544 10 1 -0,09091			Рис 1.1. График левой части уравне­ния (1.1)

С точностью до выбранного шага (расстояния между точками х_j) из графика (таблицы) определяются приближенные значения корней уравнения (1.1). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно повысить точность определения корней. Однако такой способ требует большого объема вычис­ления. Конечно, для сравнительно простых уравнений, у которых отсутствуют параметры, графическим методом удается провести не только отделение, но и уточнение корней. Но при проведении численных экспериментов с вариациями параметров задачи подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.

Если левая часть уравнения (1.1) является непрерывной функцией аргу­мента х, то для отделения корней не обязательно строить график этой функции. В этом случае корни уравнения будут расположены между точками таблицы, где изменяется знак функции f(x).

Шаг изменения аргумента х при вычислении табл. 1.1 выбирается так, чтобы он был меньше расстояния между корнями. Только в этом случае удается отделить корни уравнения.