teoria_veroyatnostey

Т.С. КУРЬЯКОВА

ПОДБОРКА ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ГИА И ЕГЭ

Иркутск, ВСГАО, 2013

Тема 1. Классическое определение вероятности в задачах про игральный кубик

Задача 1. Кубик подбросили один раз. Какова вероятность выпадения числа, кратного двум или трем?

Задача 2. Кубик подбросили один раз. Какова вероятность выпадения числа, меньшего трех?

Задача 3. Кубик подбросили один раз. Выпало четное число. Какова вероят- ность, что это двойка?

Задача 4. Кубик подбросили два раза. Какова вероятность выпадения одинако- вых чисел?

Задача 5. Кубик подбросили два раза. Какова вероятность выпадения чисел, сумма которых меньше четырех?

Задача 6. Кубик подбросили два раза. Выпало одинаковое число очков. Какова вероятность, что их сумма делится на три?

Задача 7. Правильную игральную кость бросили два раза. Какое событие более вероятно: А – {оба раза выпала шестерка};

В – {в первый раз выпала единица, а во второй – шестерка}; С – {сумма выпавших очков равна двум}.

Задача 8. Кубик подбросили три раза. В сумме получилось число 12. Какова вероятность что при первом броске выпала единица?

Задача 9. Кубик подбросили три раза. В сумме получилось число 12. Какова вероятность, что хотя бы раз выпала единица?

Задача 10. Лена четырежды бросала игральный кубик. В сумме у нее выпало 7 очков. Найти вероятность того, что при втором броске у нее выпало 4 очка.

Задания для самостоятельного решения Задача 11. Кубик подбросили один раз. Какова вероятность, что выпадет число очков, большее двух? Ответ округлите до сотых.

Задача 12. Кубик подбросили один раз. Какова вероятность, что выпадет число очков, не большее двух? Ответ округлите до сотых.

Задача 13. Кубик подбросили один раз. Какова вероятность, что выпадет число очков, меньше двух? Ответ округлите до сотых.

Задача 14. Кубик подбросили один раз. Какова вероятность, что выпадет число очков, не меньше двух? Ответ округлите до сотых.

Задача 15. Кубик подбросили один раз. Выпало число, меньше 5. Какова веро-

ятность, что это четное число?

Задача 16. Кубик подбросили один раз. Выпало число, кратное трем. Какова вероятность, что это шестерка?

Задача 17. Кубик подбросили один раз. Выпало число, большее единицы. Ка- кова вероятность, что это четверка?

Задача 18. Двое играют в кости – они по разу бросают кубик. Выигрывает тот, у кого выпало большее число очков. Если выпадает поровну, наступает ничья. Первый бросил кубик и у него выпало 4 очка. Найти вероятность того, что он выиграет.

Задача 19. Кубик подбросили два раза. Найти вероятность, что в сумме выпа- дет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Задача 20. Кубик подбросили два раза. Найти вероятность, что в сумме выпа- дет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Задача 21. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти ве- роятность, что в сумме выпадет число очков, не превышающее 12. (Если есть необходимость, результат округлите до сотых).

Задача 22. Кубик подбросили два раза. Найти вероятность, что в сумме выпа- дет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Задача 23. Кубик подбросили два раза. Выпали числа, сумма которых меньше 6. Какова вероятность, что выпали одинаковые числа?

Задача 24. Катя дважды бросает кубик. В сумме у нее выпало 6 очков. Найти вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Задача 25. Даша дважды бросает кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найти вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка.

Тема 2. Классическое определение вероятности в задачах про бросание симметричной монеты

Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.

Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза?

Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз?

Задача 5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды и замечают, что орел выпал ровно один раз. Найдите вероятность того, что тре- тий раз выпала решка? Ответ округлите до сотых.

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыреж- ды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыреж- ды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.

Задача 8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыреж- ды и видят, что орел выпал ровно два раза. Найдите вероятность того, что при втором подбрасывании выпала решка.

Задача 9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет решка.

Задача 10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз.

Задача 11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Задача 12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды и видят что орел выпал два раза. Найдите вероятность того, что при первом вы- падении выпала решка. Ответ округлите до сотых.

Задача 13. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.

Задача 14. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет не менее двух раз.

Задача 15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

Известно, что однажды орел точно выпадал. Найдите вероятность того, что орел выпадал менее двух раз.

Задача 16. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Задача 17. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре- жды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Задача 18. В случайном эксперименте монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел выпадет более трех раз.

Задача 19. В случайном эксперименте монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел выпадет не менее двух раз.

Задача 20. В случайном эксперименте монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз.

Задача 21. В случайном эксперименте монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел выпадет менее двух раз.

Задача 22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре- жды и видят, что орел выпал ровно три раза. Найдите вероятность того, что при четвертом подбрасывании выпала решка.

Задача 23. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре- жды и видят что орел выпал только при втором подкидывании. Найдите веро- ятность того, что при четвертом подкидывании выпала решка.

Задача 24. В случайном эксперименте монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что выпало одинаковое число орлов и решек.

Задача 25. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре- жды и видят, что выпало одинаковое количество орлов и решек. Найдите веро- ятность того, что при третьем и четвертом подкидываниях выпадала решка. От- вет округлите до сотых.

Тема 3. Классическое определение вероятности при решении задач на выбор одного элемента из множества

Задача 1. В сборнике 20 билетов по математике, в 7 из них встречается вопрос по геометрии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете:

а) окажется вопрос по геометрии; б) окажется вопрос не по геометрии.

Задача 2. В сборнике 20 билетов, из них 7 по планиметрии, 5 – по стереомет- рии, остальные – по алгебре. Найдите вероятность того, что в случайно вы-

Задача 3. Среди ста фотографий только на одной изображен лес. Из пачки фо- тографий наугад вынимают одну. Найдите вероятность того, что в это будет фотография с изображением леса.

Задача 4. В дворовом турнире по футболу участвовали команды шестого и де- вятого домов. Команда из шестого дома забила гол. Найти вероятность того, что гол был забит мальчиком Петей из этого дома. (В каждой команде по 10 иг- роков).

Задача 5. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жре- бия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участни- ков из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России? Задача 6. Из стандартной колоды карт (36 карт) вынимают одну. Какова веро- ятность того, что это:

д) дама бубен. При необходимости, ответ округлить до сотых.

Задача 7. В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 7 из них встре- чается вопрос по онтологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбран- ном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по онтологии.

Задача 8. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится одиннадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до со- тых.

Задача 9. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 100 качественных сумок во- семь сумок оказываются со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Задача 10. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 под- текают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задача 11. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1980 не подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.

Задача 12. Из двадцати восьми формуляров разыскивают один. Какова вероят- ность, что при первом же случайном выборе одного формуляра выберут именно его? Результат округлите до сотых.

Задача 13. В коробке, в которой 36 конфет, только одна из конфет называется «Мишка на Севере». Наугад вынимают одну конфету из коробки. Какова веро- ятность, что вынут конфету «Мишка на Севере»? Результат округлите до со- тых.

Задача 14. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Задача 15. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, сре- ди них 6 – из Швеции и 5 – из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятым будет выступать прыгун из Швеции.

Задача 16. На семинар приехали 7 ученых из России, 6 из Голландии и 7 из Финляндии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероят- ность того, что третьим окажется доклад ученого из Финляндии.

Задача 17. В соревнованиях по шахматам, где каждый играет с каждым, участ- вуют 7 спортсменов из Франции, 6 – из России, 3 – из Японии. Найти вероят- ность того, что в первом туре французский спортсмен Жак Де Шерак сыграет с другим спортсменом из Франции.

Задача 18. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников раз- бивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чем- пионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Яро- слав Исаков будет играть с каким-либо теннисистом из России?

Задача 19. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников раз- бивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чем- пионате участвует 26 шашистов, среди которых 8 участников из России, в том числе Борис Барсуков. Найдите вероятность того, что в первом туре Борис Бар- суков будет играть с каким-либо шашистом не из России?

Задача 20. Валя выбирает трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 51.

Задача 21. В каждой пятой банке кофе, согласно условиям акции, есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку. Найти вероят- ность, что Галя не найдет приз в своей банке.

Задача 22. Из стандартной колоды карт (36 карт) вынимают одну. Какова веро- ятность того, что это:

д) туз. При необходимости, ответ округлить до сотых.

Тема 4. Геометрическое определение вероятности

Задача 1. На отрезке АВ длиной 5 см произвольным образом выделен отрезок СD длиной 3 см. На отрезок АВ наугад брошена точка М. Какова вероятность того, что эта точка попадет на отрезок СD?

ний, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Задача 3. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступ- лений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление пред- ставителя России состоится в третий день конкурса?

Задача 4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступ- лений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление пред- ставителя России состоится во второй день конкурса?

Задача 5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов – первые три дня по 16 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёв- кой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на первый или последний дни конференции?

Задача 6. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что обрыв произо- шел между 50-м и 55-м км линии, если он равновозможен в любой точке ука- занного участка.

Задача 7. Электрический провод, соединяющий пункты А и В, порвался в неиз- вестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 м от пункта А, если расстояние между пунктами 2 км?

Задача 8. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Какова вероят- ность того, что наудачу взятая точка окажется внутри треугольника?

Тема 5. Правила сложения и умножения в задачах теории вероятностей

Задача 1. Правильную игральную кость бросили два раза. Найти вероятность того, что в первый раз выпала пятерка, а во второй – шестерка.

Задача 2. В коробке 10 шаров: 3 белых, 4 черных, остальные – красные. Из нее наугад выбирают один. Какова вероятность, что он будет белым или черным? Задача 3. Александр забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наугад. Найти вероятность того, что он дозвонится до нужного абонента за две попытки.

Задача 4. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков соответственно равны р1 = 0,7; р2 = 0,8. Какова вероятность того, что оба охотника попадут?

Задача 5. В соревнованиях по плаванию участвуют 3 спортсмена из Германии, 7 – из Италии, 2 – из России и 8 – из Китая. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найти вероятность того, что хотя бы один из спортсменов из Германии будет выступать первым или вторым. Ответ округлить до сотых.

Задача 6. В соревнованиях по плаванию участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 – из Италии, 7 – из России и 5 – из Китая. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найти вероятность того, что спортсмен из Италии Джованни Лу- чио будет выступать первым, вторым или третьим?

Задача 7. Вероятность того, что швейная машинка сломается в первый месяц использования равна 181 . Вероятность того, что она сломается во второй месяц

использования – в два раза больше. Вере подарили швейную машинку на Но- вый год. Найти вероятность того, что к началу марта она все еще сможет поль- зоваться швейной машинкой.

Задача 8. Вероятность того, что ручка пишет плохо (или вообще не пишет) равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает ручку. Какова вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Задача 9. На экзамене по геометрии школьнику достается одна задача из сбор- ника. Вероятность того, что эта задача на вписанную окружность, равна 0,2. Вероятность того, что эта задача на тему параллелограмм, равна 0,15. В сбор- нике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найти ве- роятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

Задача 10. Учитель по очереди вызывает школьников к доске. Найти вероят- ность того, что она сначала вызовет Колю Смирнова, а после – Лену Иванову, если в классе 16 учеников.

Задача 11. В ящике 12 яблок, 10 груш и 8 бананов. Наугад вытаскивают один. Какова вероятность того, что это груша или банан?

Задача 12. Правильную игральную кость бросили два раза. Найти вероятность того, что в первый раз выпала единица, а во второй – четное число. Ответ ок- руглите до сотых.

Задача 13. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наугад. Найти вероятность того, что он наберет нужный номер за три попытки.

Задача 14. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков соответственно равны р1 = 0,7; р2 = 0,8. Какова вероятность того, что оба охотника промахнутся?

Задача 15. На заводе есть две независимые сигнализации. Вероятность того, что при аварии сработает первая – 0,95, вторая – 0,9. Какова вероятность того, что сработают обе сигнализации сразу?

Задача 16. Два охотника стреляют по зайцу. Вероятность попадания первого – 0,9, второго – 0,75. Какова вероятность того, что заяц будет подстрелен?

Задача 17. Игральную кость бросают два раза. Найти вероятность того, что в первый раз выпало число большее трех, а второй – меньшее трех.

Задача 18. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Задача 19. В двух соседних магазинах «Перекресток» и «Пятерочка» продают- ся ватрушки с сыром. Вероятность того, что в каком-либо из магазинов закон- чились ватрушки – 0,2. Найти вероятность того, что в «Пятерочке» ватрушки закончились, а в «Пятерочке» – еще нет.

Задача 20. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероят- ность того, что к концу дня в каком-либо автомате закончится кофе, равна 0,3. Найти вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Задача 21. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле, равна 0,8. Найти вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся.

Задача 22. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле, равна 0,8. Найти вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишень, а последний раз – промахнулся.

Задача 23. В соревнованиях по плаванию участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 – из Италии, 7 – из России и 5 – из Китая. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найти вероятность того, что хотя бы один из спортсменов из Италии будет выступать первым, вторым или третьим.