9.2Нормы векторов и матриц

Нормы векторов

Нормой вектора ~x Rn называют такое действительное число, обозначаемое k~xk, что:

1. k k , причём k k ~;

~x > 0 ~x = 0 ~x = 0

2.kλ~xk = |λ| · k~xk λ R1;

3.k~x + ~yk 6 k~xk + k~yk ~y Rn.

Между разными нормами существует соотношение k~xkc 6 k~xk2 6 k~xk1 6 n k~xkc

Иногда нормы lp и C определяют по-другому:

тогда соотношение между нормами будет22

√

k~xk1 6 k~xk2 6 k~xkc 6 n k~xk2 6 n k~xk1

22переопределив норму lp, мы, тем самым, переопределили и l2, которая есть lp при p = 2

29

Нормы матриц

Нормой матрицы A называют такое действительное число, обозначаемое kAk, что:

1.kAk > 0, причём kAk = 0 A = 0;

2.kλAk = |λ| · kAk λ R1;

3.kA + Bk 6 kAk + kBk;

4.kABk 6 kAk · kBk.

(B — произвольная n × n-матрица).

Иногда норму матрицы определяют только с помощью трёх первых условий; в таком случае говорят, что вышеприведённое определение задаёт

мультипликативную норму.

Норма матрицы называется согласованной с нормой вектора, если

~x:

kA~xk 6 kAk · k~xk

Норма, удовлетворяющая условию

kAk = max kA~xk

~x6=0 k~xk

(т.е., — наименьшая согласованная) называется подчинённой норме вектора.

Таблица 2. Общеупотребительные нормы матриц

30

Список литературы

1.Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учеб.пособие для студ.втузов / Под ред. Б. П. Демидовича. — 3-е, перераб. изд. — М.: Наука, 1967. — 144 с.

2.Бахвалов Н. С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения : Учебное пособие. — 2-е, стереотип. изд. — М.: Наука, 1975. — 632 с.

3.Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. — Томск: МП «Раско», 1991. — 272 с.

4.Заварыкин В. М., Житомирский В. Г., Лапчик М. П. Численные методы : Учеб.пособие для студентов физ-мат спец. — М.: «Просвещение», 1991. — 176 с.

5.Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа.Приближение функций,дифференциальные и интегральные уравнения : Учебное пособие для ВТУзов / Под ред. Б. П. Демидовича. — 2-е, испр. и доп. изд. — М.: Физматгиз, 1963. — 400 с.

6.Пирумов У. Г. Численные методы : Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. — 3-е, испр. и доп. изд. — М.: Дрофа, 2003. — 221 с.

7.Волков Е. А. Численные методы : Учебное пособие. — СПб.: Лань, 2004. — 248 с.

8.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы [[Текст]]. — 3-е, доп. и перераб. изд. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с.

9.Вержбицкий В. М. Численные методы [[Текст]] : Линейная алгебра и нелинейные уравнения : учебное пособие для студентов высших учебных заведений. — М.: Высшая школа, 2000. — 265 с.

10.Лапчик М. П., Рагулина М. И., Хеннер Е. К. Численные методы [[Текст]] : учебное пособие для студентов высших учебных заведений / Под ред. М. П. Лапчика. — М.: Academia, 2004. — 383 с.

31