3. Варианты заданий Необходимо решить 1,2,3,5, задачи в консоле. А по 4 задаче: а)написать курсовой проект, б) написать программу с использованием графического интерфейса.

3.2. Второй семестр

Задание № 2-1

1) Даны матрицы А и В размера M×N и K×L соответственно. Найти произведение матриц.

2) Дана действительная матрица А порядка М*К. Получить матрицу В, элементы которой В_ij равны сумме элементов матрицы А, расположенных в области определяемой индексами i,j по рисунку.

3) Дана дата (число , месяц, год). Получить дату, соответствующую следующе-му дню.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительные числа s и t. Получить многочлен (sх²+t)Р’(х), где Р’(х) – производная многочлена Р(х).

5) Чтобы зашифровать текст, записанный с помощью букв русского алфавита и знаков препинания, его переписывают, заменив каждую букву следующей за ней буквой через N позиций по алфавиту. После буквы Я должна следовать буква А и далее. Например, при N=3 А заменяется на Д, Ю заменяется на В. Написать программу для шифровки и расшифровки текста, хранящегося в текстовом файле. Расширения шифрованного и нешифрованного файлов должны отличаться.

6) Имеется N предметов, веса которых равны W1, W2, . . . , WN. Разделить эти предметы на две группы так, чтобы общие веса групп были максимально близки.

Задание № 2-2

1) Дана квадратная матрица А порядка N. Получить матрицу А².

2) Дана действительная матрица А порядка М*К. Получить матрицу В, элементы которой В_ij равны сумме элементов матрицы А, расположенных в области определяемой индексами i,j по рисунку.

3) Даны две даты (число, месяц, год). Найти количество дней, прошедших между этими двумя датами.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительные числа s и t. Получить многочлен (sх+t)Р(х)+Р’(х), где Р’(х) – производная многочлена Р(х).

5) Дан замкнутый многоугольник координатами своих вершин. Определить, является ли этот многоугольник выпуклым.

6) Дано натуральное число М. Получить М расстановок 8 ферзей на шахматной доске, при которых ни один из ферзей не угрожает другому. Если М больше, чем общее число расстановок, то следует получить все возможные расстановки.

Задание № 2-3

1) Даны квадратные матрицы А и В порядка N. Получить матрицу АВ-ВА.

2) Дана действительная матрица А порядка М*К. Получить матрицу В, элементы которой В_ij равны сумме элементов матрицы А, расположенных в области определяемой индексами i,j по рисунку.

3) Даны две даты (число, месяц, год). Найти количество полных лет, прошедших между этими двумя датами.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительные числа s и t. Получить многочлен

5) «Исправление ошибок». Пусть по некоторому каналу связи передается сообщение, имеющее вид последовательности нулей и единиц (или точек и тире). Из-за помех возможен ошибочный прием некоторых сигналов: нуль может быть воспринят как единица и наоборот. Для повышения надежности передачи сообщений применяют мажорирование, когда каждый сигнал троируется (например 101 преобразуется в 111000111). При расшифровке три последовательные цифры заменяются той цифрой, которая среди этой тройки встречается по крайней мере дважды. Написать программу шифровки и расшифровки мажорированных сообщений.

6) Указать маршрут коня, начинающийся на заданном поле шахматной доски и заканчивающийся на другом. Никакое поле не должно встречаться в маршруте дважды. Найти самый короткий маршрут.

Задание № 2-4

1) Даны квадратные матрицы А, В и С порядка N. Получить матрицу (А+В)С.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. Найти наибольшее из значений элементом расположенных в заштрихованной части матрицы, представленной на следующем рисунке:

3) Дана дата (число, месяц, год). Найти номер этого дня с начала года.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительные числа s и t. Получить многочлен (sх+t)Р(х).

5) Шифровка текста с помощью решетки заключается в следующем. Решетка, т.е. квадрат из клетчатой бумаги размером 10х10 клеток, некоторые клетки в котором вырезаны, совмещается с целым квадратом 10х10 клеток, и через прорези на бумагу наносятся первые буквы текста. Затем решетка поворачивается на 90 градусов, и через прорези записываются следующие буквы. Это повторяется еще дважды. Таким образом на бумагу наносится 100 букв. Ключом является матрица [Aij] из нулей и единиц (нуль соответствует прорези), в которой один из элементов A_ij, А_10-i+1,j, A _i,10-j+1, A _{10-i+1,10-j+1} в точности равен нулю. Написать программу шифровки и расшифровки текста из 100 букв по заданной матрице-ключу.

6) Найти такую расстановку двенадцати коней на шахматной доске, при которой каждое поле будет находиться под ударом одного из них.

Задание № 2-5

1) Даны квадратная матрица порядка М, натуральное число N. Получить матрицу Е+А+А²+…+А^N, где Е – единичная матрица порядка М.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. Найти наибольшее из значений элементом расположенных в заштрихованной части матрицы., представленной на следующем рисунке:

3) «Вечный календарь». Дана дата (число, месяц, год). Определить день недели, на который падает указанная дата.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительное число А. Получить его производную Р’(х).

5) В процессе лечебного голодания вес пациента за К дней снизился с А до В кг. Было установлено, что ежедневные потери веса пропорциональны весу тела. Вычислить, чему был равен вес пациента в некоторый день голодания. Составить таблицу весов.

6) На шахматной доске стоят два ферзя на заданных позициях. Указать поля, на которые может пойти белый ферзь так, чтобы не попасть под удар черного ферзя.

Задание № 2-6

1) Даны квадратная матрица А порядка М, натуральное число N, действительные числа Р₀, Р₁, …, Р_N. Получить матрицу Р_NA^N+P_N-1A^N-1 +…+P₁A+P₀E, где Е – единичная матрица порядка М.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. Найти наибольшее из значений элементом расположенных в заштрихованной части матрицы., представленной на следующем рисунке:

3) Даны дата (число, месяц, год) по юлианскому календарю. Получить эту дату по современному календарю.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительное число А. Получить многочлен (х²+2Ах+3)Р(х).

5) Дан плоский многоугольник координатами своих вершин. Определить площадь этого многоугольника.

6) В данной последовательности действительных чисел длины N выбрать возрастающую подпоследовательность наибольшей длины.

Задание № 2-7

1) Дана матрица А размера M×N. Получить транспонированную матрицу А*.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. Найти наибольшее из значений элементом расположенных в заштрихованной части матрицы, представ-ленной на следующем рисунке

3) Вычислить количество пятниц, приходящихся на 13 число заданного столетия.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительное число А. Получить многочлен (х²+А²)Р(х).

5) «Считалка». Даны натуральные числа M, N. Предполагается, что N человек встают в круг и получают номера от 1 до N, считая против часовой стрелки. Затем, начиная с первого, отсчитывается М-ый человек, который выходит из круга. Далее, начиная со следующего, снова отсчитывается М-ый человек до тех пор, пока не останется один. Определить его номер.

6) Дана последовательность символов, являющаяся математическим выражением с использованием скобок. Определить, является ли это скобочное выражение правильным.

Задание № 2-8

1) Дана матрица А размером M×N. Получить матрицу АА*, где А*  транспонированная матрица А.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. Найти наибольшее из значений элементом расположенных в заштрихованной части матрицы, представленной на следующем рисунке:

3) День учителя ежегодно отмечается в первое воскресенье октября. Определить число, на которое придется день учителя в заданном году.

4) Дан многочлен Р(х) степени N, действительное число А. Получить многочлен (х-А)Р(х).

5) Чтобы зашифровать текст из 121 буквы, его можно записать в квадратную матрицу порядка 11 по строкам, а затем прочитать по спирали, начиная с центра. Составить программу, шифрующую и расшифровывающую данный текст.

6) Имеется N городов. Некоторые из них соединены дорогами известной длины. Вся система дорог задана квадратной матрицей порядка N, элемент которой равен длине дороги или отрицательному числу, если дороги нет. Для заданных двух городов найти кратчайший маршрут.

Задание № 2-9

1) Дана квадратная матрица А порядка М. Получить матрицу 0.5(А+А*), где А* - транспонированная матрица А.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. Найти наибольшее из значений элементом расположенных в заштрихованной части матрицы, представленной на следующем рисунке:

3) В некоторой библиотеке последний четверг каждого месяца – санитарный день. Дан номер года. Получить даты всех санитарных дней этого года.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Получить многочлен Р(х+1)-Р(х).

5) Выяснить , можно ли прямоугольник со сторонами А и В уместить в прямоугольнике со сторонами С и Д. Взаимная параллельность сторон не обязательна.

6) Построить все правильные скобочные выражения длины 10, т.е. те, которые содержат по 5 левых и 5 правых скобок.

Задание № 2-10

1) Дана квадратная матрица А порядка М. Получить матрицу 0.5(А-А*), где А* - транспонированная матрица А.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка 2N. Получить новую матрицу, переставляя ее блоки размера N*N так, как это показано на следующем рисунке:

3) Дана дата (число, месяц, год). Найти, сколько дней осталось до конца года.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Получить многочлен Р²(х).

5) Дан замкнутый многоугольник координатами своих вершин (выпуклость многоугольника необязательна). Найти окружность максимального диаметра, вписанную в этот многоугольник.

6) «Задача о рюкзаке». Имеется N различных предметов, известны масса и стоимость каждого предмета. Определить, какие предметы надо положить в рюкзак, чтобы общий вес не превышал заданной границы, а общая стоимость была максимальной.

Задание № 2-11

1) Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, расположенных на главной диагонали. Даны квадратная матрица А, натуральное число N. Вычислить следы матриц А, А², …, А^N.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка 2N. Получить новую матрицу, переставляя ее блоки размером N×N. так как это показано на следующем рисунке:

3) Дана дата и день недели дня рождения. Определить, на какой день недели придется N-летие.

4) Даны действительные числа А₀, .. А_N. Получить многочлен N+1 степени (x-A₀)(x-A₁)…(x-A_N).

5) Дан замкнутый многоугольник координатами своих вершин (выпуклость многоугольника необязательна). Найти окружность минимального диаметра, описанную вокруг этого многоугольника.

6) Преобразовать выражение , составленное из цифр и знаков арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления), в постфиксную форму. В постфиксной форме сначала записываются операнды, а затем знак операции. Например, 3+4 -> 34+ ; (5-4)+2 -> 54-2+; 2*(3+4)*5 -> 234+*5*.

Задание № 2-12

1) Правая треугольная матрица А порядка N задана в виде последовательности (N+1)N/2 чисел : сначала идет N элементов первой строки, затем N-1 элементов второй строки , начиная со второго, и т.д. (в последней N-ой строке только N-й элемент). Найти вектор АВ, где В - вектор с N элементами.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка 2N. Получить новую матрицу, переставляя ее блоки размера N×N так, как это показано на следующем рисунке

3) Дана дата (день, месяц, год). Проверить корректность этой даты.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Получить многочлен Р²(х)-Р(х-1).

5) Дана ломаная линия координатами своих вершин. Найти все точки самопересечений этой ломаной линии.

6) Даны натуральные числа А₁..А_N, отражающие результаты наблюдения за муравейником. Вначале отловили и пометили 100 муравьев. Затем, в течение N дней повторяли следующее: отлавливали по 100 муравьев, подсчитывали число помеченных А_i, помечались непомеченные, и все отпускались. Подсчитать (приблизительно) общее количество муравьев в муравейнике.

Задание № 2-13

1) Правые треугольные матрицы А и В порядка N заданы в виде последовательностей (N+1)N/2 чисел : сначала идет N элементов первой строки, затем N-1 элементов второй строки , начиная со второго, и т.д. (в последней N-ой строке только N-й элемент). Найти матрицу АВ.

2) Даны действительные числа A_i, количество которых равно N². Получить квадратную матрицу порядка N, элементами которой являются числа A_i, расположенные по схеме, представленной на следующем рисунке:

3) Составить программу, переводящую десятичные числа в двоичные и обратно.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Даны действительные числа А и В. Получить многочлен АР²(х)-В.

5) Дан параллелепипед и две точки, лежащие на его гранях. Найти ломаную линию наименьшей длины, соединяющую эти точки и проходящую через грани параллелепипеда.

6) В стенке цилиндрического ведра просверлено N маленьких отверстий на уровнях H_i .. H_N. Ведро доверху заполнено водой. Найти время, за которое уровень воды в ведре опустится до нижнего отверстия. Скорость вытекания воды через отверстие, находящееся на глубине х, равна .

Задание № 2-14

1) Правые треугольные матрицы А и В порядка N заданы в виде последовательностей (N+1)N/2 чисел : сначала идет N элементов первой строки, затем N-1 элементов второй строки , начиная со второго, и т.д. (в последней N-ой строке только N-й элемент. Найти матрицу А(Е+В²), где Е – единичная матрица порядка N.

2) Даны действительные числа A_i, количество которых равно N². Получить квадратную матрицу порядка N, элементами которой являются числа A_i, распо-ложенные по схеме, представленной на следующем рисунке:

3) Составить программу, переводящую десятичные числа в шестнадцатиричные и обратно.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Даны действительные числа А и В. Получить многочлен АхР²(х)+В.

5) Реакция организма на лекарство через N часов после инъекции выражается показателем R_N, равным R_N=AR_N-1+0.4^N, где R₀=1, а А –положительное число, характеризующее данный препарат. Определить, через сколько часов наступит максимальная реакция на организм. После скольких часов реакция организма понизится ниже 50% начального уровня.

6) Заяц бежит вдоль заданной прямой с некоторой скоростью. Собака, находившаяся вначале на расстоянии L от зайца, бежит все время в направлении зайца со своей скоростью, большей заяьчей. Найти время, когда собака настигнет зайца. Построить «кривую погони».

Задание № 2-15

1) Даны квадратная матрица А порядка N и вектор В с N элементами. Получить вектор АВ.

2) Даны действительные числа A_i, количество которых равно N². Получить квадратную матрицу порядка N, элементами которой являются числа A_i, расположенные по схеме, представленной на следующем рисунке:

3) Составить программу для тренировки памяти. Программа должна высветить на экране несколько точек, а играющий – указать, в каком порядке эти точки были высвечены.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Даны действительные числа А и В. Получить многочлен (Ах+В)Р(х).

5) В стаде, состоящем из животных одного пола и возраста, рост животных колеблется от K до L. Пусть M и N – данные числа (K<=N<=M<=L). Определить, каких животных в стаде больше: с ростом, близким к N, или с ростом, близким к M.

6) Прямоугольное поле размером А×В освещено N рядами ламп, по M ламп в каждом ряду, расположенных на высоте H от поверхности поля. Определить освещенность произвольной точки поля при заданной мощности ламп.

Задание № 2-16

1) Даны квадратная матрица А порядка N и вектор В с N элементами. Получить вектор А²В.

2) Даны действительные числа A_i, количество которых равно N². Получить квадратную матрицу порядка N, элементами которой являются числа A_i, расположенные по схеме, представленной на следующем рисунке:

3) Составить программу , помогающую в изучении математического маятника. Маятник должен двигаться на экране, совершая гармонические колебания со случайным периодом. Играющий должен указать длину нити на которой подвешен маятник. Ошибка не должна превышать N %.

4) Дан многочлен Р(х) степени N. Даны действительные числа А и В. Получить многочлен АР(х-1)-ВР(х+1).

5) Имеется таблица футбольного чемпионата, в котором участвовало N команд. Перестроить эту таблицу, присвоив каждой команде номер, соответствующий занятому ею месту ( при равном количестве очков приоритет имеет команда, имеющая наибольшее количество побед, лучшую разницу забитых и пропущенных мячей, результаты личных встреч).

6) Найти такую расстановку пяти ферзей на шахматной доске, при которой каждое поле будет находиться под ударом одного из них.

Задание № 2-17

1) Даны квадратная матрица А порядка N и вектор В с N элементами. Получить вектор (А-Е)В, где Е  единичный вектор порядка N.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. При помощи перестановок двух строк или двух столбцов добиться того, чтобы элемент с наибольшим по модулю значением располагался в левом верхнем углу.

3) Написать программу, играющую в «крестики-нолики».

4) Последовательность многочленов определяется следующим образом: Н₀(х)=1, Н₁(х)=х, …

Н_К(х)=хН_К-1(х)-(К-1)Н_К-2(х). Получить многочлен Н_N(х).

5) Один из простейших способов шифровки состоит в замене каждого символа другим символом – его шифром. Выбрав таблицу шифра, разработать способ ее представления и зашифровать и расшифровать данный текст.

6) Найти такую расстановку восьми слонов на шахматной доске, при которой каждое поле будет находиться под ударом одного из них.

Задание № 2-18

1) Даны квадратная матрица А порядка N и векторы В и С с N элементами. Получить вектор А(В+С).

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N. При помощи перестановок двух строк или двух столбцов добиться того, чтобы элемент с наименьшим значением располагался в левом нижнем углу.

3) Составить программу для обучения устному счету. На каждом шаге предлагаются числа и арифметические действия, которые следует выполнить над этими числами.

4) Последовательность многочленов определяется следующим образом: Н₀(х)=1, Н₁(х)=х, … ,Н_К(х)=хН_К-1(х)-(К-1)Н_К-2(х). Даны действительные числа А₀..А_N. Получить многочлен А₀Н₀(х)+…+А_NН_N(х).

5) Медианой множества, состоящего из четного числа точек на плоскости, называется прямая, соединяющая любые две точки множества, по обе стороны от которой лежит равное количество точек.

Дано множество точек на плоскости. Найти медианы.

6) Получить последовательность цифр 0, 1, 2, в которой нет одинаковых смежных участков любой длины.

Задание № 2-19

1) Даны квадратная матрица А порядка N и вектор В с N элементами, которые вычисляются по формуле В_i=1/(i²+2). Получить вектор АВ.

2) Дана действительная квадратная матрица порядка N, все элементы которой различны. Найти наибольший элемент среди стоящих на главной и побочной диагоналях и поменять его местами с элементом, стоящим на пересечении этих диагоналей.

3) Составить программу, демонстрирующую траекторию тела, брошенного под некоторым углом к горизонту с некоторой начальной скоростью.

4) Последовательность многочленов определяется следующим образом: Н₀(х)=1, Н₁(х)=х, … ,Н_К(х)=хН_К-1(х)+(К+2)Н_К-2(х). Даны действительные числа А₀..А_N. Получить многочлен А₀Н₀(х)+…+А_NН_N(х).

5) Даны N точек на плоскости (N>=4). Выяснить, найдутся ли среди этих точек такие, которые являются вершинами квадрата. Найти стороны этого квадрата.

6) Получить все перестановки элементов 1, .., N.

Задание № 2-20

1) Даны квадратные матрицы А и В порядка N. Получить матрицу А(В-Е)С, где Е – единичная матрица порядка N, а элемента матрицы С вычисляются по формуле

С_ij=1/( i+j ).

2) В данной действительной квадратной матрице порядка N найти наибольший по модулю элемент. Получить квадратную матрицу порядка N-1 путем выбрасывания из исходной матрицы строки и столбца, на пересечении которых находится найденный элемент.

3) Составить программу для заучивания слов иностранного языка. Программа предлагает слова из некоторого списка (файла), обучающийся дает перевод этого слова.

4) Последовательность многочленов определяется следующим образом: Н₀(х)=1, Н₁(х)=х, … ,Н_К(х)=(х-К)Н_К-1(х)+(х+К)Н_К-2(х). Даны действительные числа А₀..А_N. Получить многочлен А₀Н₀(х)+…+А_NН_N(х).

5) Даны три точки на плоскости. Выяснить, являются ли они вершинами прямоугольника. Найти координаты четвертой вершины.

6) Получить все сочетания из N элементов по M в каждом. (М<=N).