Лабораторная работа № 4 изучение основного уравнения динамики вращательного движения на маятнике обербека

Цель работы: Изучение динамики вращательного движения, измерение момента инерции маятника Обербека.

Теоретическая часть

Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Вращательное движение тела описывают с помощью углового перемещения - вектора, численно равного углу поворота тела и направленного вдоль оси вращения так, что если смотреть с его конца, то вращение тела видится происходящим против часовой стрелки. Быстрота изменения вектора углового перемещения характеризуется угловой скоростью:

. (4.1)

В свою очередь, быстрота изменения вектора угловой скорости характеризуется угловым ускорением :

(4.2)

Линейная скорость , тангенциальноеи нормальноеускорения любой точки вращающегося твердого тела связаны с характеристиками вращательного движения следующими соотношениями:

=R, = R, =R, (4.3)

где R – расстояние от рассматриваемой точки тела до оси вращения.

Мерой инертности тела при вращательном движении служит момент инерции J. Это скалярная величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний r_i до оси вращения:

J = . (4.4)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

J = , (4.5)

где V – объем тела.

Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента силы относительно неподвижной точки. Это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку приложения силы, и силы:

. (4.6)

Модуль момента силы

М = F r sin= F l, (4.7)

где l = r sin - плечо силы, - угол между векторами и.

Основное уравнение динамики вращательного движения записывается следующим образом:

. (4.8)

Угловое ускорение, приобретаемое твердым телом, прямо пропорционально результирующему моменту всех действующих на тело внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Постановка экспериментальной задачи

В данной работе осуществляется экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения (4.8) с помощью маятника Обербека. Маятник представляет собой маховик, которому придана крестообразная форма (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

По четырем взаимно-перпендикулярным стержням могут перемещаться грузы массой m₀. На общей оси находится шкив, на который наматывается нить с привязанным к ней грузом массой m. Под действием падающего груза нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. При этом угловое ускорение крестовины определяется соотношением:

, (4.9)

где а – ускорение падающего груза, r = d/2 – радиус шкива.

В свою очередь, пользуясь известным выражением для равноускоренного движения груза:

, (4.10)

( h – высота падения груза, t – время падения груза)

находим:

, (4.11)

или, используя (4.9):

. (4.12)

Момент силы, приложенной к крестовине, находим по формуле:

, (4.13)

где F – сила, действующая на шкив.

Но , и=1. Тогда формула (4.13) имеет вид:

.

Силу F можно найти из уравнения движения груза:

, (4.14)

где m – масса падающего груза, а ,- сила натяжения нити. Тогда для момента силы получим следующее выражение:

. (4.15)

Используя формулу (4.8) получим:

. (4.16)

Получив экспериментальные значения h и t, по формуле (4.16) определяем значение момента инерции крестовины. Теоретическое значение момента инерции крестовины можно рассчитать следующим образом:

, (4.17)

где m₀ = 0,114 кг– масса подвижного груза крестовины; R - расстояние от центра масс подвижного груза до оси вращения, м;

r₀= 0,015 м – радиус груза;

l = 0,02 м – длина образующей груза.

Момент инерции системы без грузов J₀ определить по формуле:

, (4.18)

где l₁ = 0,15 м – длина одного из стержней крестовины;

m₁= 0,023 кг – масса стержня.