АГ-1 ПЗ СР 1-27

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия» Семестр I

СР 1. Решето Эратосфена

Вариант 1.

1.Определение делимости на множестве целых чисел.

2.Найдите все простые числа на промежутке [110, 120]. Вариант 2.

1.Определение собственного делителя целого числа.

2.Найдите все простые числа на промежутке [420, 430]. Вариант 3.

1.Определение простого числа.

2.Найдите все простые числа на промежутке [1230, 1240]. Вариант 4.

1.Определение составного числа.

2.Найдите все простые числа на промежутке [2140, 2150].

СР 2. Алгоритм Евклида

Вариант 1.

1.Определение наибольшего общего делителя двух целых чисел.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 111 и

93.

Вариант 2.

1.Определение взаимно простых чисел.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 371 и 329.

Вариант 3.

1.Определение наименьшего общего кратного двух целых чисел.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 8598 и

6702.

Вариант 4.

1.Определение неполного частного и остатка от деления одного целого числа на другое.

2.С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК чисел 9926 и 6286.

1

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

СР 3. Сравнения по модулю

Вариант 1.

1.Определение сравнения по модулю.

2.Выпишите полную систему вычетов по модулю 7.

3.Найдите наименьший неотрицательный вычет числа 222 по модулю

7.

Вариант 2.

1.Определение вычета данного числа по данному модулю.

2.Выпишите приведенную систему вычетов по модулю 7.

3.Найдите наименьший по абсолютной величине вычет числа 335 по модулю 7.

Вариант 3.

1.Определение класса вычетов данного числа по данному модулю.

2.Выпишите полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 7.

3.Найдите остаток от деления числа 32010 на 7.

Вариант 4.

1.Определение наименьшего неотрицательного вычета данного числа по данному модулю.

2.Выпишите приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 8.

3.Найдите последнюю цифру числа 32010 .

СР 4. Сравнения первой степени

Вариант 1.

1.Определение суммы классов вычетов по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу сложения для кольца Z4 .

3.Решите сравнение 4x 1 (mod5) .

Вариант 2.

1.Определение произведения классов вычетов по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу умножения для кольца Z4 .

3.Решите сравнение 4x 5 (mod7) .

Вариант 3.

1.Определение сравнения 1-й степени с одним неизвестным по заданному модулю m.

2

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

2.Составьте таблицу умножения для группы Z*4 .

3.Решите сравнение 4x 5 (mod17) .

Вариант 4.

1.Определение решения сравнения 1-й степени с одним неизвестным по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу умножения для группы Z*5 .

3.Решите сравнение 5x 1(mod36) .

СР 5. Комплексные числа – 1

Вариант 1.

1.Определение комплексного числа.

2.Для комплексного числа z 3 i найти комплексно сопряженное

число z и вычислить их сумму z z .

Вариант 2.

1.Определение мнимой части действительного числа.

2.Для комплексного числа z 1 i 3 найти комплексно сопряжен-

ное число z и вычислить их разность z z .

Вариант 3.

1.Определение числа комплексно сопряженного данному комплексному числу.

2.Для комплексного числа z 3 i найти комплексно сопряженное

число z и вычислить их произведение z z .

3

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

СР 6. Комплексные числа – 2

Вариант 1.

1.Формула квадратных корней из отрицательного действительного числа.

x2 x 1 i 0 .

СР 7. Линейные операции с векторами

Вариант 1.

1.Определение коллинеарных векторов.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы AB AC и AB AC .

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b , BD – медиана. Выразите век-

тор DB через векторы a и b . Вариант 2.

1. Определение оси.

4

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и постройте векторы AB и BA BC .

3.В треугольнике АВС, АК – медиана, AB a, AK m Выразите век-

тор BK через векторы a и m . Вариант 3.

1.Определение сонаправленных векторов, лежащих на одной оси.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы 12 AB 12 AC и AB 12 AC .

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b , О – точка пересечения меди-

ан. Выразить вектор OB через векторы a и b . Вариант 4.

1.Определение сонаправленных векторов, лежащих на параллельных прямых.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы 12 AB 12 AC и AB 32 BC .

3.В треугольнике АВС, AB a, AC b , О – точка пересечения медиан. Выразить вектор OC через векторы a и b .

СР 8. Декартовая система координат на прямой

Вариант 1.

1.Определение декартовой координаты вектора, коллинеарного координатной оси.

2.Отметьте на координатной оси Ох точки А(–7) и В(4), и найдите координату середины отрезка АВ.

3.Найдите проекцию вектора a на ось Ох, если известно, что он кол-

линеарный оси Ох, левоориентированный и его модуль равен 9. Вариант 2.

1.Определение деления отрезка точкой внутренним или внешним образом.

2.Отложите на координатной оси Ох, коллинеарный ей вектор a , от точки А(–8), если известно, что он правоориентированный и его модуль равен 10. Найдите координату его конца и координату точки оси, равноудаленной от начала и конца этого вектора.

5

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

3.Найдите декартовую координату вектора AB , лежащего на координатной оси Ох, если известны координаты его начала и конца:

xA 2, xB 9 . Найдите также его модуль, и определите его ори-

ентацию на оси. Вариант 3.

1.Определение проекции вектора на ось.

2.На оси Ох даны точки: А(–3), В(4). Найдите декартовую координату

вектора BA , его модуль, и определите его ориентацию на оси. Найдите отношение, в котором начало координат делит отрезок АВ, считая от точки А.

1.Определение координаты точки числовой оси.

2.На координатной оси Ох лежит вектор a ( 7) . Найдите координа-

ты его конца, если он отложен от точки А(3). Найдите отношение, в котором конец этого вектора делит отрезок ОА.

1.Определение угла между векторами.

2.На координатной плоскости Оху даны точки А(–3; 2) и В(1; –1): а) постройте точки А и В на плоскости Оху;

б) найдите координаты вектора AB ;

в) найдите координаты середины отрезка АВ; г)* докажите, что начало координат не лежит на прямой, проходящей через точки А и В.

Вариант 2.

1.Определение угла между вектором и осью.

2.На координатной плоскости Оху даны точки А(–1; –1) и В(3; 2): а) постройте точки А и В на плоскости Оху;

б) найдите координаты вектора AB ;

6

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

в) найдите координаты середины отрезка АВ.

г)* докажите, что начало координат не лежит на прямой, проходящей через точки А и В.

Вариант 3.

1.Определение декартовых координат вектора в ПДСК на плоскости.

2.Отложите вектор AB (1; 2) от точки А(–2; 1), и: а) постройте чертеж и найдите координаты точки В;

б) найдите модуль вектора AB и его направляющие косинусы. Вариант 4.

1.Определение координат точки в ПДСК на плоскости.

2.Отложите вектор AB ( 1; 2) от точки А(2; –1), и:

а) постройте чертеж и найдите координаты точки В;

б) найдите модуль вектора AB и его направляющие косинусы.

СР 10. ПДСК в пространстве

Вариант 1.

1.Определение декартовых координат вектора.

2.Найдите проекции радиус-вектора точки А(3; 5; 1) на координатные оси.

3.Найдите расстояние от точки А(3; 5; 1) до: а) координатной плоскости Oxz; б) координатной оси Оу; в) начала координат.

Вариант 2.

1.Определение орта вектора.

2.Найдите декартовые координаты радиус-вектора точки А(5; 1; 3).

3.Найдите расстояние от точки А(5; 1; 3) до: а) координатной плоскости Oуz; б) координатной оси Ох; в) начала координат.

Вариант 3.

1.Определение правоориентированной тройки взаимно перпендикулярных осей.

2.В координатном пространстве Oxyz точки А(2; –3; 5) и В(3; –1; 2) являются вершинами параллелограмма ОАВС. Найдите: а) координаты вершины С;

б) длину медианы ОD треугольника ОАВ. Вариант 4.

1.Определение координат точки в ПДСК Охуz.

2.В координатном пространстве Oxyz точки В(3; –1; 2) и С(1; 2; –3) являются вершинами параллелограмма ОАВС. Найдите: а) коорди-

7

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

наты вершины А;

б) длину медианы ОD треугольника ОВС.

СР 11. ГЦТ системы материальных точек и плоских фигур

Вариант 1.

1.Определение материальной точки.

2.Найдите в координатной плоскости Оху ГЦТ однородного стержня АВ, и выполните чертеж, если его концы имеют координаты: А(3; 2), В(–5; –2).

3.Найдите ГЦТ однородного треугольника с вершинами А(3; 0; 0),

В(0; 3; 0), С(0; 0; 3).

Вариант 2.

1.Определение ГЦТ треугольника.

2.Найдите в координатной плоскости Оху координаты конца А однородного стержня АВ, и выполните чертеж, если В(–2; –1), и его ГЦТ имеет координаты С(2; 1).

3.Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек, заданных на координатной плоскости: А(3; 2), mA 5 и В(–4; –1), mB 10 .

Вариант 3.

1.Определение ГЦТ системы из двух материальных точек.

2.Найдите ГЦТ системы из трех материальных точек А(1; 0; 0), В(0;

2; 0), С(0; 0; 3), mA 1, mB 2, mC 3 .

3. Стороны квадрата О(0; 0), А(0; 1), В(1; 1), С(1; 0) представляют собой однородные стержни с массами mOA 1, mAB 2 ,

mBC 3, mOC 4 . Найдите их ГЦТ. Вариант 4.

1.Определение ГЦТ системы из трех материальных точек.

2.Найдите ГЦТ системы из двух материальных точек, заданных на координатной плоскости: А(–2; –3), mA 5 и В(1; 4), mB 10 .

3.Квадратная пластинка с вершинами О(0; 0), А(0; 3), В(3; 3), С(3; 0) составлена из треугольника ОАС с массой 3, и треугольника АВС с массой 2. Найдите ГЦТ квадратной пластинки.

СР 12. Полярная система координат

Вариант 1.

1.Определение полярного радиуса точки в полярной системе координат.

8

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

те полярные координаты точки, симметричной точке А относительно полюса.

3.Постройте в полярной системе координат треугольник АВС и найдите его угол при вершине А, если его вершины имеют координа-

Вариант 2.

1. Определение полярного угла точки в полярной системе координат.

те полярные координаты точки, симметричной точке А относительно полярного луча.

3.Постройте в полярной системе координат треугольник АВС и найдите его угол при вершине А, если его вершины имеют координа-

Вариант 3.

1.Определение полярных координат точки в полярной системе координат.

2.ПДСК совмещена с полярной. Найдите декартовые координаты

чертеж.

3. Найдите площадь треугольника АВС, если его вершины в полярной

Вариант 4.

1.Определение полярной системы координат.

2.ПДСК совмещена с полярной. Найдите полярные координаты точ-

ки, заданной декартовыми координатами A 3; 4 . Постройте

чертеж.

3. Найдите площадь треугольника АВС, если его вершины в полярной

9

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

ной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометрической форме.

нометрической форме. Вариант 2.

1.Определение модуля комплексного числа.

2.Изобразите комплексное число z 3 i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометрической форме.

ской форме. Вариант 3.

1. Определение аргумента комплексного числа.

2. Изобразите комплексное число z 3 3 i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометрической форме.

гонометрической форме. Вариант 4.

1. Определение комплексной плоскости.

2. Изобразите комплексное число z 3 3i точкой на комплексной плоскости, найдите его модуль, аргумент и запишите его в тригонометрической форме.

10

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

ческой форме.

СР 14. Корни из комплексных чисел

Вариант1.

1.Определение корня n-й степени из комплексного числа.

2.Вычислить все корни 3 i , записать их в тригонометрической форме

иотметить на комплексной плоскости.

3.Разложите многочлен x3 1 на линейные множители.

Вариант2.

1.Определение первообразного корня n-й степени из 1.

2.Вычислить все корни 3 i , записать их в тригонометрической форме и отметить на комплексной плоскости.

3.Разложите многочлен x3 1 на линейные множители.

Вариант3.

1.Определение функции Эйлера.

2.Вычислить все корни 4 i , записать их в тригонометрической форме

иотметить на комплексной плоскости.

3.Разложите многочлен x4 16 на линейные множители.

Вариант4.

1.Определение кругового многочлена Фn (x) .

2.Вычислить все корни 4 i , записать их в тригонометрической форме и отметить на комплексной плоскости.

3.Разложите многочлен x4 1 на линейные множители.

СР 15. Скалярное произведение векторов

Вариант 1.

1.Определение скалярного произведения двух векторов.

2.Вычислить скалярный квадрат вектора a , если его модуль равен

3 .

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

между ними равен 150o . Вариант 3.

1.Формула угла между векторами, заданными в координатной форме.

2.Вычислить модуль вектора a , если скалярный квадрат вектора

Вариант 4.

1.Формула проекции вектора на вектор, если векторы заданы в координатной форме.

СР 16. Векторное произведение векторов

Вариант 1.

1.Геометрический смысл модуля векторного произведения.

2.a b, | a | | b | 1. Найдите | (3a) (a b) | .

3. Даны точки А(–1; –2; 4), В(–4; –2; 1) и С(3; –1; 4). Найдите | AB AC | .

Вариант 2.

1.Ориентация тройки {a, b, a b}.

2.a b, | a | | b | 1. Найдите | (a b) (2b) |.

3.Даны точки А(1; –2; 2), В(1; 4; 0), С(–4; 1; 1). Найдите | BC BA | .

12

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

Вариант 3.

1.Определение момента силы относительно данной точки.

2.Система векторов {a,b} образует ортонормированный базис на

плоскости. Образует ли тройка векторов {a,b,a b} ортонормиро-

ванный базис пространства? Ответ обоснуйте.

3. Найдите площадь треугольника АВС: А(2; –3), В(3; 2), С(–2; 5). Вариант 4.

1. Определение векторного произведения двух векторов.

2. (a ^ b) 45o , | a | | b | 1. Образует ли тройка векторов {a,b,a b}

нормированный базис пространства? Ответ обоснуйте.

3. Найдите площадь треугольника АВС: А(–3; 2), В(5; –2), С(1; 3).

СР 17. Смешанное произведение векторов

Вариант 1.

1. Определение компланарных векторов.

2. Вычислите смешанное произведение векторов a b c , если a b ( 3;3;1), c (4;7; 5) .

3. Определите, компланарны ли векторы: a (3;3;1), b (4;7; 5), c (2; 1;7) ?

Вариант 2.

1.Определение смешанного произведения упорядоченной тройки векторов.

2. Вычислите смешанное произведение векторов a b c , если b c ( 1;4;3), a (14;7; 5) .

3. Определите ориентацию тройки векторов: a ( 3; 3;1), b (4;7; 5), c (6; 1;6) .

Вариант 3.

1.Определение правоориентированной упорядоченной тройки векторов.

2.Определите ориентацию тройки векторов:

a( 3; 3;1), b (4;7; 5), c (6; 1;6) .

3.Найдите объем тетраэдра АВСD, если А(2; –3; 0), В(3; 0; 2), С(0; –2; 5), D(–7; 7; –3).

Вариант 4.

1. Определение транспозиции в упорядоченной тройке векторов.

13

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

2.Определите, компланарны ли векторы: a (3;3;1), b (4;7; 5), c (2; 1;7) ?

3.Найдите объем треугольной пирамиды SАВС, если S(–4; 4; –1), А(1; 2; –3), В(3; –2; 2), С(5; –2; 5).

СР 18. Общее и каноническое уравнение прямой

Вариант 1.

1.Определение направляющего вектора прямой.

2.Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(–2; 6) и В(4; 2) и выпишите ее направляющий вектор.

3.Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –

2)перпендикулярно биссектрисе первого и третьего координатных углов и выпишите ее нормальный вектор.

Вариант 2.

1.Определение нормального вектора прямой.

2.Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 4) и В(–4; 1), и выпишите ее направляющий вектор.

3.Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –

1)перпендикулярно биссектрисе второго и четвертого координатных углов и выпишите ее нормальный вектор.

Вариант 3.

1.Определение общего уравнения прямой.

2.Найдите параметрическое уравнение прямой, проходящей через вершину А треугольника АВС параллельно стороне ВC, если А(2; – 3), В(3; 0), С(0; –2).

3.Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –

4)перпендикулярно прямой x 4y 1 и выпишите ее нормальный

вектор. Вариант 4.

1.Определение канонического уравнения прямой на плоскости.

2.Найдите уравнение прямой в отрезках, проходящей через вершину

Втреугольника АВС параллельно стороне АC, если А(2; –3), В(3; 0), С(0; –2).

3.Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –

1) перпендикулярно прямой x 2y 1 и выпишите ее нормальный

14

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

вектор.

СР 19. Нормированное уравнение прямой

Вариант 1.

1.Определение нормирующего множителя.

2.Найдите нормированное уравнение прямой x 2y 15 0 и найди-

те расстояние до нее от начала координат.

3.Докажите, что данные прямые параллельные и найдите расстояние между ними: 3x 6y 7 0, 3 y 7 0 .

Вариант 2.

1.Определение нормированного уравнения прямой.

2.Найдите нормированное уравнение прямой 2x y 5 0 и найдите

расстояние до нее от начала координат.

3.Докажите, что данные прямые параллельные и найдите расстояние между ними: 4x 2y 1 0, 4x y 9 0 .

Вариант 3.

1. Определение невязки точки относительно прямой.

2. Докажите, что прямые 3x 6y 7 0 и 3x 2y 7 0 параллельные

инайдите расстояние между ними.

3.Определить высоту ВD в треугольнике А(4; –3),

В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки В до прямой АС.

Вариант 4.

1. Определение отклонения точки от прямой.

2. Докажите, что прямые 4x 2y 1 0 и 2x y 9 0 параллельные

и найдите расстояние между ними.

3.Определить высоту СD в треугольнике А(4; –3), В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки С до прямой АВ.

СР 20. Пучок прямых

Вариант 1.

1.Определение пучка прямых на плоскости.

2.Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух

прямых из этого пучка:

3x 2y 6 0, 7x y 31 0 , и найдите его центр.

Вариант 2.

1.Напишите общий вид уравнения пучка прямых на координатной плоскости Оху.

15

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

2.Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух

прямых из этого пучка:

3x 2y 6 0, 2x 7y 38 0 , и найдите его центр.

Вариант 3.

1.Напишите уравнение пучка прямых с одним параметром.

2.Напишите уравнение пучка прямых с центром пучка в точке (–3; 2).

3.Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС лежат соответственно на прямых: 3x 2y 6 0, 7x y 31 0 и 2x 7y 38 0 . Не вычис-

ляя координат вершин треугольника, найдите уравнение высоты АD.

Вариант 4.

1.Напишите уравнение пучка прямых с заданным центром пучка

(xo , yo ) .

2.Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка: x 2, y 3 .

3.Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС лежат соответственно на прямых 3x 2y 6 0, 7x y 31 0 и 2x 7y 38 0 . Не вычис-

ляя координат вершин треугольника, найдите уравнение высоты ВD.

СР 21. Общее уравнение плоскости

Вариант 1.

1. Определение общего уравнения плоскости.

2. Найдите координаты точек пересечения плоскости 2x 6y 9z 18 0 с координатными осями, запишите уравнение

данной плоскости в отрезках, постройте чертеж части плоскости, видимой в первом октанте.

3.Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1; 0; 3) параллельно плоскости 2x y 3z 1 0 .

Вариант 2.

1. Определение уравнения плоскости в отрезках.

2. Найдите координаты точек пересечения плоскости 3x 8y 6z 24 0 с координатными осями, запишите уравнение

данной плоскости в отрезках, постройте чертеж части плоскости, видимой в первом октанте.

3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку N(–3; 1; 0)

16

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

параллельно плоскости x 2y 3z 2 0 . Вариант 3.

1.Определение неполного уравнения плоскости.

2.Изобразите на чертеже часть плоскости 2y 9z 18 0 , видимой в

первом октанте и найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

3.Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось абсцисс и точку М(–1; 2; –2).

Вариант 4.

1.Определение уравнения плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором.

2.Изобразите на чертеже часть плоскости 2x 9z 18 0 , видимой в первом октанте и найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

3.Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось ординат и точку N(2; –1; 2).

СР 22. Нормированное уравнение плоскости

Вариант 1.

1.Определение нормированного уравнения плоскости.

2.Определить, является ли уравнение 23 x 23 y 23 z 23 0 нормиро-

ванным уравнением плоскости.

3. Найдите расстояние от начала координат до плоскости x y z 1 0 .

2. Приведите уравнение плоскости 18x 21y 18z 11 0 к нормаль-

ному виду.

3. Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость

17

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

x y z 1 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из начала

координат. Выполните чертеж. Вариант 4.

1. Определение отклонения точки от плоскости.

2. Приведите уравнение плоскости 12x 14y 12z 11 0 нормальному виду.

3.Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость 2x 2y 2z 3 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из на-

чала координат. Выполните чертеж.

СР 23. Уравнение прямой в пространстве

Вариант 1.

1.Определение канонического уравнения прямой в координатном пространстве Oxyz.

2.Найдите параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки А(3; 6; –7) и В(–5; 2; 3).

Вариант 2.

1.Определение параметрического уравнения прямой в координатном пространстве Oxyz.

2.Найдите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(4; –7; –2) и В(–5; 2; 3).

1.Определение уравнения линии в координатном пространстве Oxyz.

2.Через вершину С(4; –7; –2) треугольника АВС проведите прямую (найдите её уравнение), параллельную стороне АВ, если А(3; 6; –7),

В(–5; 2; 3).

3.Найдите каноническое уравнение прямой x 1 t, y 9t, z 1.

Вариант 4.

1.Определение параметрического уравнения линии в координатном пространстве Охуz.

2.Через вершину А(3; 6; –7) треугольника АВС проведите прямую (найдите её уравнение), параллельную стороне ВС, если В(–5; 2; 3),

С(4; –7; –2).

18

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

3.Найдите уравнение перпендикуляра, проведенного из точки А(1; 2;

3)к оси Ох.

СР 24. Плоскость и прямая в пространстве

Вариант 1.

1.Определение связки плоскостей и её центра.

2.Найдите точки пересечения плоскости 3x 2y z 6 0 с координатными осями.

3.Найдите каноническое уравнение прямой, проходящую через точку А(0; 4; –3), и перпендикулярную плоскости 2x 3y 2z 17 0 .

Вариант 2.

1.Определение пучка плоскостей и его оси.

2.Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(–

3. Найдите параметрическое уравнение прямой, проходящую через точку А(–2; 1; –3), и перпендикулярную плоскости x 2y 2z 9 0 .

Вариант 3.

1.Перечислите все случаи взаимного расположения прямой в пространстве и плоскости.

2.Найдите каноническое уравнение прямой, проходящую через точку А(–3; 0; –1), и перпендикулярную плоскости 3x y 1 0 .

x 2y 2z 1 0 , и найдите расстояние между ними. Вариант 4.

1.Перечислите все случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве, если известно, что они не имеют общих точек.

2. Найдите точку встречи прямой 3x 2y 2z с плоскостью

3x 2y 6z 12 0 .

3.Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке (5; –1; –4).

19

Головизин В.В. Самостоятельные работы по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1. УдГУ,

Ижевск-2010, с.21

СР 25. Эллипс

Вариант 1.

1.Определение окружности.

2.Для эллипса x2 4y2 16 найдите: а) большую и малую оси; б) фо-

кусное расстояние. Вариант 2.

1.Определение радиуса окружности.

2.Для эллипса 4x2 9y2 36 найдите: а) большую и малую оси; б)

эксцентриситет. Вариант 3.

1.Определение эллипса.

2.Для эллипса x2 9y2 36 найдите эксцентриситет и расстояние

между директрисами. Вариант 4.

1.Определение кривой 2-го порядка.

2.Для эллипса 4x2 25y2 100 найдите уравнения его директрис и фокальный параметр.

СР 26. Гипербола

Вариант 1.

1.Определение фокальных радиусов точки гиперболы.

2.Для гиперболы x2 4y2 16 найдите: а) действительную и мнимую

оси; б) фокусное расстояние. Вариант 2.

1.Определение фокусного расстояния гиперболы.

2.Для эллипса 4x2 9y2 36 найдите: а) действительную и мнимую

оси; б) эксцентриситет. Вариант 3.

1.Определение эксцентриситета гиперболы.

2.Для гиперболы x2 9y2 36 найдите эксцентриситет и расстояние

между директрисами. Вариант 4.

1.Определение гиперболы.

2.Для гиперболы 4x2 25y2 100 найдите уравнения её асимптот, уравнения директрис и фокальный параметр.

20