АГ-1 ДЗ 1-27 (за первый семестр)
.pdf
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
ДЗ по курсу «Алгебра и геометрия» Семестр I
Домашнее задание 1. Решето Эратосфена.
1.Составьте таблицу простых чисел на промежутке [1; 1000].
2.Найдите все простые числа на промежутках:
а) [1910, 1920]; б) [4130, 4230].
3.Докажите теорему о свойствах делимости.
Домашнее задание 2. Алгоритм Евклида
1.Найдите НОД и НОК чисел: а) 2261 и 861; б) 3612 и 1536; в) 213166494391 и 57337099343.
2.Найдите линейное представление НОД чисел: а) 42 и 91; б) 1073 и 899.
3.Используя свойство линейной представимости НОД, докажите теорему о вынесении общего множителя за знак НОД.
Домашнее задание 3. Сравнения по модулю
1. Среди чисел 146, 1201, 182, 241 найдите все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 12.
2. Найти сумму, разность и произведение сравнений 25 3(mod11), 50 5(mod11) . Умножьте первое сравнение на 2, а
второе на –3.
3.Произведите правильные сокращения в сравнениях 45 9(mod18) и 30 6(mod8) .
4.Найдите наименьший неотрицательный вычет числа 987 по модулю
24.
5.Найдите наименьший по абсолютной величине вычет числа 98 по модулю 17.
6.Выпишите полную и приведенную систему вычетов по модулю 4.
7.Выпишите полную и приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 4.
8.Найдите число примитивных классов вычетов по модулю 1000.
9.Найдите остаток от деления числа 7312 на 7.
10.Найдите последнюю цифру числа 225 1 .
1
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
Домашнее задание 4. Сравнения 1-й степени
1.Составьте таблицы сложения и умножения для классов вычетов по модулю 9.
2.Используя таблицу сложения классов вычетов по модулю 9, найдите для каждого класса вычетов противоположный ему класс вычетов.
3.Используя таблицу умножения классов вычетов по модулю 9, найдите все делители нуля.
4.Составьте таблицу умножения для примитивных классов вычетов по модулю 9 и, используя эту таблицу, найдите для каждого примитивного класса вычетов обратный ему класс вычетов.
5.Решите сравнение 10x 9 (mod19) тремя различными способами.
6.Решите сравнение 30x 27 (mod57) .
Домашнее задание 5. Комплексные числа – 1
1. Вычислите: а) 2 6i 4 8i ; |
|
б) 5i 8i ; в) |
6 5 2i ; |
|
г) 3 2i 2 3i ; д) 7 i 7 i ; е) 4 i 4 i ; |
||||
ё) i 2 4i ; ж) 1 i 8 ; з) 10 i ; и) |
2 3i ; |
|
||
|
1 i |
|
1 2i |
|
й) 5 i 7 6i ; к) |
1 3i 8 i ; л) |
3 i 1 4i |
. |
|
3 i |
2 i 2 |
|
2 i |
|
3z 2 1 2. Решите систему уравнений .
z i 6i
Домашнее задание 6. Комплексные числа – 2
1. |
Вычислите: а) |
1 |
3i ; б) 1 i ; |
в) |
3 i . |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2. |
Решить |
квадратное |
уравнение в |
поле комплексных чисел: а) |
|||
|
x2 x 1 0 ; |
б) x2 2x 2 0 . |
|
|
|||
3. |
Решите уравнение z2 (7 i)z 14 5i 0 . |
||||||
4. |
Решите |
биквадратное уравнение |
в |
поле комплексных чисел: |
|||
|
z4 1 |
3 |
i . |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
Домашнее задание 7. Линейные операции с векторами
1. В равнобочной трапеции ABCD, AD 2BC , AB a , AD b . Выразите через векторы a и b векторы: а) AC ; б) BC ; в) CD ; г) BD .
2.При каких значениях х векторы x3 a и (x2 x 2) a противоположно направлены?
3.Дано: a b, | a | 5, | b | 12 . Найти | a b | и | a b | .
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , AB p, AD q, AA1 r . Выразите через векторы p, q, r векторы:
AC, D1B1, AC1, B1C, D1B, DB1 .
Домашнее задание 8. Декартовая система координат на прямой
1. а) Найдите точки А и В числовой прямой Ох, удаленные от точки М(– 5) на расстоянии 3, причем точка А предшествует точке В.
б) Найдите декартовую координату и модуль векторов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM, MB, BA . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) Найдите проекцию вектора |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
на ось Ох и его |
||||||||
3AM |
MB |
AB |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
модуль. Укажите ориентацию этого вектора. |
|
|
|
|||||||||||||
2. Найдите расстояние АВ, если: а) А(–12), В(–3); б) А(13), B( –7); в) |
||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
7 |
3 . |
|
|
|
||||||
|
A |
|
, B |
; г) A 1 3 , B 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
3. На координатной оси Ох даны точки |
A( 8 2), B(2,5) . Найдите точ- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
ку С, которая делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении: а)
52 ; б) 52 ; в) 152 .
Выполните чертеж и изобразите на оси Ох точки А, В и все найденные точки С.
4.Известно, что на оси Ох точка М(– 5) делит отрезок СВ в отноше-
нии 34 . Найдите координаты точек В и С, если: а) (BC)x 1;
б) (BC)x 2 .
3
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
Домашнее задание 9. ПДСК на плоскости
1.Найти координаты точки, симметричной точке А(–3; –5) относительно оси абсцисс косоугольной системы коорди-
нат с координатным углом 60o .
2.В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3) и С(6; –5) найти: а) длину высоты ВD; б) отношение в котором точка D делит отрезок
АС и координаты точки D; в) координаты вектора BD и его направляющие углы; г) координаты, модуль, орт и направляющие углы вектора CM 34 BA .
Домашнее задание 10. ПДСК в пространстве
1.Найти центр сферы радиуса 3, которая касается всех трех координатных плоскостей и расположена: а) в первом октанте; б) в шестом октанте.
2.Даны точки: А(3; –2; 5), В(–2; 1; –3), С(5; 1; –1).
а) Запишите векторы AB, AC, BC в координатной форме и найдите
их орты ABo , ACo , BCo .
б) Найдите координаты вектора 12 (AB AC) и его модуль.
в) Найдите модуль и направляющие косинусы вектора AM , где точка М делит отрезок ВС в отношении 2 : 1.
3.Вектор имеет направляющие углы 120o и 45o . Каков тупой угол между этим вектором и осью ординат?
Домашнее задание 11. ГЦТ
1.Центр тяжести однородного стержня находится в точке С(1; –1; 5), а один из его концов в точке М(–2; –1; 7). Определить координаты другого конца стержня.
2.Найдите ГЦТ треугольника с вершинами А(1; 2; 3), В(2; 3; 1), С(3; 1; 2).
3.Где находится центр тяжести стержня, составленного из двух однородных стержней равной длины, но различной массы, если масса одного из них в полтора раза больше массы другого?
4
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
Домашнее задание 12. Полярная система координат
1. В ПДСК даны точки: А(0; 1), В(0; –1), С(1; 0), D(–1; 0), Е(1; 1), F(1; –1), G(–1; –1), H(–1; 1), I(1; 3), J( 3;1) . Найдите их полярные ко-
ординаты в полярной системе координат стандартным образом совмещенной с прямоугольной.
2. Вычислить площадь треугольника, вершины которого заданы в по-
лярной системе координат: |
|
3; |
|
, |
|
8; |
7 |
|
6; |
5 |
|||
A |
8 |
|
B |
24 |
|
, C |
8 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.Полюс полярной системы координат совмещен с центром правильного треугольника со стороной 1, а полярный луч параллелен его стороне. Найдите полярные координаты всех вершин треугольника.
Домашнее задание 13. Комплексная плоскость
1. Отметьте на комплексной плоскости комплексные числа i 3 , найдите их модули, аргументы и запишите в тригонометрической форме.
3 i 30
2.Вычислить .
1 i
3.Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, удовлетворяющих условию:
а) z z 3 ; б) arg z 1703 и | z | 3 .
4*. Запишите в тригонометрической форме 1 i tg . 1 i tg
Домашнее задание 14. Корни из комплексных чисел
1. Найдите все данные корни и изобразите их на комплексной плоско-
сти: а) 4 1 i ; б) |
6 1 |
3i ; в) 3 4( 3 i) ; |
|
|
г) 4 4 ; д) 4 8( |
3i 1) ; е) 3 1 i ; ж) 4 |
18 |
. |
|
1 i 3 |
||||
2.Разложить на линейные множители многочлен: а) x3 1; б) x4 16 .
3.Разложите многочлен x10 1 на неприводимые над R.
4*. Найдите круговой многочлен Ф10 (x) и разложите многочлен
5
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
x10 1 на неприводимые над Q.
Домашнее задание 15. Скалярное произведение векторов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Векторы a и b ортогональны, вектор c образует с ними углы, рав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ные . Зная, что | |
|
| 3, | |
|
| 5, | |
|
| 8 , вычислить: а) |
|
|
|
; б) |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
a |
b |
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 ; д) |
|
2 ; е) |
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
c |
a |
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ё) (a |
2b |
3c)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
Векторы |
|
|
|
|
|
|
попарно образуют друг с другом углы, каждый из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a, b, c , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
которых равен |
60o . Зная, что | |
|
| 4, | |
|
| 2 , | |
|
| 6 , определить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
модуль вектора p a b c .
3.Даны вершины треугольника А(–1; –2; 4), В(–4; –2; 0) и С(3; –2; 1).
Найдите его внутренний угол при вершине В и расстояние от вершины В до основания высоты, опущенной из вершины А на сторо-
ну ВС. (Указание: найдите | прBC BA | .)
4. Даны два вектора a (3; 1; 5) и b (1; 2; 3) . Найдите вектор c при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям: c a 9, c b 4 . (Указание: положите c (x, y,z) и решите систему уравнений: c a 9, c b 4, c k 0 , где k – орт оси Oz.
Домашнее задание 16. Векторное произведения векторов
1. Постройте чертеж ПДСК Oxyz и орты i, j,k координатных осей. На этом же чертеже изобразите вектор i j и постройте векторы
|
i (i |
|
|
и (i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
j) |
j) k , найдите их модули, используя только опреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ление векторного произведения. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Дано: | |
|
| 2, | |
|
|
|
|
|
^ |
b) . Найти | |
|
|
|
|
| . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a |
b |
| 3, (a |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
Векторы |
|
|
|
и |
|
|
ортогональны. Зная, что | |
|
| | |
|
| 10 , вычислить: а) |
||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
| (a |
b) (a b) |; б) | (3a b) (a 2b) | . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Найти |
|
|
|
векторное произведение векторов |
|
( 1;2; 2) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b (2; 2;1) .
6
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
5.Даны вершины треугольника А(1; –1; 2), В(5; –6; 2) и С(1; 3; –1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
Домашнее задание 17. Смешанное произведение векторов
1. Вычислить произведения: а) b(c a)(b 2c) ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) (a |
b)(a 2b c)(c a) , если |
a |
|
b |
|
c |
5 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
|
Вычислить объем |
|
параллелепипеда, |
построенного на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( 1; 2; 3), |
|
( 1;1; 2), |
|
(2; 1; 1) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
В треугольной |
призме |
|
|
|
|
|
векторы AB (0;1; |
1) , |
||||||||||||||||||||||
|
|
ABCA B C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
AC (2; 1; 4) определяют основание, а вектор AA ( 3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Найти объем призмы и ее высоту.
Домашнее задание 18. Общее и каноническое уравнение прямой
1.Напишите все виды уравнений для прямой, проходящей через точки А(2; 1) и В(4; 1), ее угловой коэффициент, нормальный и направляющий векторы, точки пересечения с координатными осями.
2. Найти точку пересечения двух прямых 3x 4y 29 0 и 2x 5y 19 0 и угол между ними.
3.Найти уравнение прямой образующей с осью Оу угол 30o и пересекающей ее в точке (0; – 6).
4.Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В(3; 8), С(6; 2). написать уравнения сторон треугольника.
5*. |
Определить при каком |
значении |
р |
прямая |
(p2 |
p)x (3 p)y 3p 1 0 : |
а) параллельна оси Ох; |
б) парал- |
|
лельна оси Оу; в) проходит через начало координат; г) перпендикулярна прямой y x .
6*. Луч света, пройдя через точку А(2; 3) под углом к оси Ох, отразился от нее и прошел через точку В(–5; 4). Найти угол и координаты точки отражения луча.
Домашнее задание 19. Нормированное уравнение прямой
1.Определить высоту ВД в треугольнике А(4; –3), В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки В до прямой АС.
2. Даны уравнения оснований трапеции: 3x 4y 15 0 ,
7
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
3x 4y 35 0 . Найти высоту трапеции.
3.Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного пря-
мыми x 3y 5 0 и 3x y 15 0 .
4*. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями 7x 5y 11 0 ,
8x 3y 31 0 , x 8y 19 0 .
5*. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) на расстоянии 2 от точки В(0; –1).
Домашнее задание 20. Пучок прямых на плоскости
1.Найти центр пучка (3x 4y 29) (2x 5y 19) 0 .
2.Дано уравнение пучка прямых
|
|
(5x 3y 7) (3x 10y 4) 0 . |
|
|||
Найти все значения а, при которых прямая ax 5y 9 0 |
не при- |
|||||
надлежит данному пучку. |
|
|
|
|
||
3. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
принадлежащей |
пучку |
|
|
(2x y 2) (x 5y 23) 0 |
и делящей пополам отрезок пря- |
||||
мой, ограниченный точками А(5; –6) и |
В(–1;–4). Решить зада- |
|||||
чу, не находя центр пучка. |
|
|
|
|
||
4. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
принадлежащей |
пучку |
|
|
(3x 2y 1) (4x 5y 8) 0 |
и проходящей через середину от- |
||||
резка прямой x 2y 4 0 , |
заключенного между прямыми |
|||||
|
2x 3y 5 0 и x 7y 1 0 . |
|
|
|
||
5*. |
Найти |
уравнение |
прямой, |
принадлежащей |
пучку |
|
|
2x y 1 t(x 3y 10) 0 , которая отсекает от координатных осей |
|||||
(считая от начала координат) отрезки равной длины.
Домашнее задание 21. Общее уравнение плоскости
1.Найти точки пересечения плоскости 2x 3y 4z 24 0 с осями
координат, записать ее уравнение в отрезках, построить чертеж той части плоскости, которая вместе с координатными плоскостями образует треугольную пирамиду.
2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; –2; – 7) параллельно плоскости 2x 3z 5 0 .
3.Точка Р(2; –1; –1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плос-
8
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
кости.
4.Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку М(–1; 2; – 5) и параллельных координатным плоскостям.
5.Составить уравнение плоскости, проходящей: а) через ось Ох и точку А(4; –1; 2); б) через ось Оу и точку В(1; 4; –3); в) через ось
Oz и точку С(3; –4; 7).
Домашнее задание 22. Нормированное уравнение плоскости
1.Приведите уравнение плоскости к нормальному виду, и найдите расстояние до нее от начала координат:
|
а) 2x y 2z 3 0 ; б) |
6 x |
6 y z |
3 0 ; |
|
|
|
|
|
7 |
7 |
7 |
|
|
в) 7x 6y 6z 33 0 ; г) x y 2 0 ; д) 2x 3 0 . |
|
||||
2. |
Найдите |
расстояние |
от |
точки |
А(1; 1; 1) |
до плоскости |
|
x y z 6 0 . |
|
|
|
|
|
3. |
Убедитесь, что следующие три плоскости пересекаются в одной |
|||||
|
точке |
и |
найдите |
её |
координаты: |
|
x 3y 2z 4 0, 2x 6y z 2 0, 4x 8y z 2 0 .
4.Вычислить объем куба, две грани которого лежат на плоскостях
2x 2y z 1 0 и 2x 2y z 5 0 .
5.Доказать, что плоскость 3x 4y 2z 5 0 пересекает отрезок, ограниченный точками: А(3; –2; 1) и В(–2; 5; 2).
Домашнее задание 23. Уравнение прямой в пространстве
1. Даны вершины треугольника А(3; 6; –7), В(–5; 2; 3) и С(4; –7; –2).
Составить каноническое и параметрическое уравнения его медианы, проведенной из вершины С. Задайте найденное уравнение медианы пересечением плоскостей.
2. Выясните взаимное расположение двух данных прямых. Если они пересекаются, найдите координаты точки пересечения; если параллельные или скрещивающиеся – найдите расстояние между ними:
|
|
x z 1 0 |
|
x 2y 3 0 |
|
|
x 3 t |
|
|||
а) |
и |
; |
б) |
|
|
и |
|||||
|
y z 13 0 |
|
|
|
y 2t 1 |
||||||
|
3x |
|
y 2z |
8 |
0 |
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
|
x y z 0 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) x 2 4t, y 6t, z 8t 1 и x 7 6t, y 2 9t, z 12t . |
|
||||||||||
Домашнее задание 24. Плоскость и прямая в пространстве |
|
|||||||||||
1. |
Докажите, |
что прямая x 3t 2, y 4t 1, z 4t 5 параллельна |
||||||||||
|
плоскости 4x 3y 6z 5 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
3y 2z 5 0 |
, и |
|
Найдите параметрическое уравнение прямой |
y z 1 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|||
|
докажите, что она лежит в плоскости 4x 3y 7z 7 0 . |
|
||||||||||
3. |
Найдите точку встречи прямой |
x 1 |
|
y 1 |
|
z |
с плоскостью |
|||||
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
||
2x 3y z 1 0 .
4.Даны вершины треугольника А(1; –2; –4), В(3; 1; –3) и С(5; 1; –7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В.
5. Найдите уравнение проекции прямой |
x 1 |
|
y |
z 1 |
на плоскость |
|
4 |
|
|
||||
x 5y z 25 0 . |
|
2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание 25. Эллипс
1. Для эллипса 36x2 100y2 3600 найдите все его параметры: боль-
шую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
2. Дано уравнение 5x2 9y2 30x 18y 9 0 . Убедитесь, что оно оп-
ределяет эллипс, и найдите координаты его центра и уравнения главных осей.
3. Найдите каноническое уравнение эллипса, если:
а) его малая ось 2b 24 , фокусное расстояние 2c 10 ; б) большая ось 2a 20 , эксцентриситет 0,6 ;
в) 2b 6, 2d 13 ; г) М(2; –2) – точка эллипса и его большая полу-
10
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
ось а = 4; д) M(2; 53) – точка эллипса и его эксцентриситет
2 / 3 ;
4.Определите, при каких значениях m прямая y x m пересекает
эллипс, касается его, проходит вне эллипса.
Домашнее задание 26. Гипербола
1. Для гиперболы 9x2 16y2 144 найдите все её параметры: действи-
тельную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
2. Дано уравнение 9x2 16y2 90x 32y 367 0 . Убедитесь, что оно
определяет гиперболу, и найдите координаты её центра и уравнения главных осей. Найдите полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Выполните чертеж.
3. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если даны:
а) её действительная ось 2a 16 и эксцентриситет 1,25 ; б) рас-
стояние между директрисами равно |
22 |
2 |
|
и фокусное расстояние |
||
|
|
|||||
|
|
|
13 |
|
||
2c 26 ; |
в) уравнения асимптот y |
3 x |
и расстояние между ди- |
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
ректрисами 2d 12 54 ; г) точка М(–5; 3) гиперболы и эксцентриси-
тет 2 ; д) точка М(–3; 2,5) гиперболы и уравнения директрис x 43 .
Домашнее задание 27. Парабола
1.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси ординат и её ветви направлены вверх, зная, что: а) фокальный параметр p 5 ; б) парабола
проходит через точку с координатами М(1; 2).
2.Вычислите фокальный радиус точки М параболы y2 12x , если ордината точки М равна 6.
11
Головизин В.В. Домашние задания по курсу «Алгебра и геометрия», семестр 1, УдГУ,
Ижевск 2010, с.12
3.Для параболы y 16 x2 2x 7 найдите её фокальный параметр,
координаты её вершины и фокуса, уравнение её директрисы. Найдите ось симметрии данной параболы, и изобразите её на чертеже.
4.Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фокуса F(4; 3) и уравнение её директрисы y 1. Изобразите чертеж
данной параболы.
12