Линейная алг. Заочное
.pdfСистема линейных уравнений с неизвестными
11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 = 1
21 1 + 22 2 + + 2 + + 2 = 2
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .
1 1 + 2 2 + + + + =
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .1 1 + 2 2 + + + + =
− коэффициенты при неизвестных;− свободные члены уравнений.
Краткая запись:
|
|
= , |
= 1, |
|
|
|
|
=1
Решение системы уравнений – совокупность чисел1 = 1, 2 = 2, , = , при подстановке которых в
систему уравнений каждое уравнение превращается в тождество.
системы уравнений
совмевстные |
несовместные |
есть решение |
решений нет |
определенные |
неопределенные |
единственное |
больше |
решение |
одного решения |
Равносильные системы
Системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Элементарные преобразования исходной системы, приводящие к равносильной системе:
1)вычеркивание уравнения вида 01 + 02 + + 0 = 0;
2)перестановка уравнений системы или слагаемых во всех уравнениях;
3)прибавления к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженных на любое действительное число;
4)удаление уравнений, являющихся линейной комбинацией других уравнений системы.
Матричная форма системы уравнений
|
|
|
|
|
= |
|
где |
11 |
12 |
1 |
|
||
|
матрица системы |
|||||
|
21 |
22 |
2 |
|||
= |
− (матрица коэффициентов |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
при неизвестных) |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
||
= |
2 − матрица столбец неизвестных |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
− матрица столбец свободных членов |
|||
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений с неизвестными
Квадратные системы =
11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 = 1
21 1 + 22 2 + + 2 + + 2 = 2
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .1 1 + 2 2 + + + + =
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
=
Пусть ≠ 0 |
−1 |
Умножим слева обе части матричного равенства на −1.
−1 ∙ = −1 ∙ B
Преобразуем левую часть уравнения
−1 ∙ = −1 ∙ = == −1 ∙ B
Пример. Решить систему с помощью обратной матрицы
1 − 2 + 3 = 3 2 1 + 2 + 3 = 111 + 2 + 2 3 = 8
Решение.
Матричная форма записи системы:
|
1 |
−1 |
1 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
= 11 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
8 |
|
|
||||
1) =5 |
≠ 0 |
−1 |
|
|
|
2)Находим −1 = 15
3)= −1 ∙ B = 15
Ответ: 4; 2; 1
1 |
3 |
−2 |
|
|
−3 |
1 |
1 |
|
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
−2 |
3 |
= 1 |
−3 |
1 |
1 |
11 |
|
1 |
−2 |
3 |
8 |
5 |
|
20 |
4 |
10 |
= 2 |
5 |
1 |
Метод Крамера
Теорема Крамера.
Пусть ∆– определитель матрицы системы А, а ∆ – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой –го столбца столбцом свободных членов.
Тогда, если ∆≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
|
= |
∆ |
, |
= 1, (формулы Крамера) |
|
||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
Док-во: = −1 ∙ B
В развернутой форме
|
|
|
|
|
|
11 21 1 |
1 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
12 22 |
2 |
2 |
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
21 |
+ + |
|
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
11 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
+ |
22 |
+ + |
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
1 |
12 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
∆ |
|
… … … … … … … … … … … … … |
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
2 |
+ + |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
для = 1, |
|
= |
|
|
+ |
|
+ + |
|
||||||||
|
∆ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
|
Здесь 1 1 + 2 2 + + - разложение определителя по элементам столбца , но в качестве элементов столбца
используются свободные члены, т.е.
1 1 + 2 2 + + = ∆= ∆∆
1 − 2 + 3 = 3
Пример. Решить систему методом Крамера 2 1 + 2 + 3 = 111 + 2 + 2 3 = 8
Решение.
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
||
∆= |
2 |
1 |
1 |
=5≠ 0; |
∆1= |
11 |
1 |
1 |
= 20; |
|||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
8 |
1 |
2 |
|
||
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
1 |
−1 |
3 |
|
||
∆2= |
2 |
11 |
1 |
= 10; |
|
∆3= |
2 |
1 |
11 |
= 5 |
||
|
1 |
8 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
8 |
|
||
= |
∆1 |
= 20 = 4; = |
∆2 |
= 10 = 2; = |
∆3 |
= 5 = 1 |
||||||
|
|
|
||||||||||
1 |
|
∆ |
5 |
|
2 |
∆ 5 |
|
3 |
|
∆ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Недостаток рассмотренных методов – большая трудоемкость (теоретический интерес);
реальные экономические задачи сводятся к системам с большим числом уравнений и переменных.