Тема 1. Матрицы и определители
1.1 Вычислить определитель:
|
Дана матрица А= |
[-1, 0, -4, 2] [ 2, -3, 0, -9] [ 3, 4, -7, 1] [-2, 0, 0, 4] |
Вычисляем последовательно детерминант det(A):
|
[-1, 0, -4, 2] [ 2, -3, 0, -9] [ 3, 4, -7, 1] [-2, 0, 0, 4] |
= |
+ (-1) *( |
[-3, 0, -9] [ 4, -7, 1] [ 0, 0, 4] |
) |
- (0) *( |
[ 2, 0, -9] [ 3, -7, 1] [-2, 0, 4] |
) |
+ (-4) *( |
[ 2, -3, -9] [ 3, 4, 1] [-2, 0, 4] |
) |
- (2) *( |
[ 2, -3, 0] [ 3, 4, -7] [-2, 0, 0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[-3, 0, -9] [ 4, -7, 1] [ 0, 0, 4] |
= |
+ (-3) *( |
[-7, 1] [ 0, 4] |
) |
- (0) *( |
[4, 1] [0, 4] |
) |
+ (-9) *( |
[4, -7] [0, 0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2, 0, -9] [ 3, -7, 1] [-2, 0, 4] |
= |
+ (2) *( |
[-7, 1] [ 0, 4] |
) |
- (0) *( |
[ 3, 1] [-2, 4] |
) |
+ (-9) *( |
[ 3, -7] [-2, 0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2, -3, -9] [ 3, 4, 1] [-2, 0, 4] |
= |
+ (2) *( |
[4, 1] [0, 4] |
) |
- (-3) *( |
[ 3, 1] [-2, 4] |
) |
+ (-9) *( |
[ 3, 4] [-2, 0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2, -3, 0] [ 3, 4, -7] [-2, 0, 0] |
= |
+ (2) *( |
[4, -7] [0, 0] |
) |
- (-3) *( |
[ 3, -7] [-2, 0] |
) |
+ (0) *( |
[ 3, 4] [-2, 0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[-7, 1] [ 0, 4] |
= |
+ (-7) *( |
[4] |
) |
- (1) *( |
[0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4, 1] [0, 4] |
= |
+ (4) *( |
[4] |
) |
- (1) *( |
[0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4, -7] [0, 0] |
= |
+ (4) *( |
[0] |
) |
- (-7) *( |
[0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[-7, 1] [ 0, 4] |
= |
+ (-7) *( |
[4] |
) |
- (1) *( |
[0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3, 1] [-2, 4] |
= |
+ (3) *( |
[4] |
) |
- (1) *( |
[-2] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3, -7] [-2, 0] |
= |
+ (3) *( |
[0] |
) |
- (-7) *( |
[-2] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4, 1] [0, 4] |
= |
+ (4) *( |
[4] |
) |
- (1) *( |
[0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3, 1] [-2, 4] |
= |
+ (3) *( |
[4] |
) |
- (1) *( |
[-2] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3, 4] [-2, 0] |
= |
+ (3) *( |
[0] |
) |
- (4) *( |
[-2] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4, -7] [0, 0] |
= |
+ (4) *( |
[0] |
) |
- (-7) *( |
[0] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3, -7] [-2, 0] |
= |
+ (3) *( |
[0] |
) |
- (-7) *( |
[-2] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 3, 4] [-2, 0] |
= |
+ (3) *( |
[0] |
) |
- (4) *( |
[-2] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, после выполнения простейших арифметических операций (сложение и умножения чисел) в последних детерминантах, и подстановке их значений в детерминанты выше,
|
получаем det(A) = det( |
[-1, 0, -4, 2] [ 2, -3, 0, -9] [ 3, 4, -7, 1] [-2, 0, 0, 4] |
) = |
[-1, 0, -4, 2] [ 2, -3, 0, -9] [ 3, 4, -7, 1] [-2, 0, 0, 4] |
= -8 |
1.2 Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку:
|
Дана матрица A = |
[-1, 6, -7] [ 1, -8, 3] [ 0, 1, -1] |
. Найдем матрицу C=A-1 - матрица обратная для A |
Детерминант (определитель) матрицы A: det(A) = -6.
Найдем элементы матрицы C:
|
c1 1 = det(A1 1)/det(A) = det( |
[-8, 3] [ 1, -1] |
) / det(A) = -5/6 |
|
c2 1 = det(A2 1)/det(A) = det( |
[6, -7] [1, -1] |
) / det(A) = -1/6 |
|
c3 1 = det(A3 1)/det(A) = det( |
[ 6, -7] [-8, 3] |
) / det(A) = -1/6 |
|
c1 2 = det(A1 2)/det(A) = det( |
[1, 3] [0, -1] |
) / det(A) = 1/6 |
|
c2 2 = det(A2 2)/det(A) = det( |
[-1, -7] [ 0, -1] |
) / det(A) = -1/6 |
|
c3 2 = det(A3 2)/det(A) = det( |
[-1, -7] [ 1, 3] |
) / det(A) = -1/6 |
|
c1 3 = det(A1 3)/det(A) = det( |
[1, -8] [0, 1] |
) / det(A) = 19/3 |
|
c2 3 = det(A2 3)/det(A) = det( |
[-1, 6] [ 0, 1] |
) / det(A) = 2/3 |
|
c3 3 = det(A3 3)/det(A) = det( |
[-1, 6] [ 1, -8] |
) / det(A) = -1/3 |
|
Поэтому, C = |
[-5/6, 1/6, 19/3] [-1/6, -1/6, 2/3] [-1/6, -1/6, -1/3] |