Линейная алг. Заочное
.pdf
3. При транспонировании матрицы ее определитель не
изменяется.
=
4.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
5.Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен 0.
Переставим местами эти строки.
а) Т.к. строки одинаковые, то ∆′= ∆; б) по 4-ому свойству ∆′= −∆.
Это возможно только при ∆ = 0.
6.Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен 0.
Пусть коэффициент пропорциональности λ, это общий множитель
элементов строки и его можно вынести за знак определителя. ∆= λ∆′, но ∆′имеет две одинаковые строки ∆′= 0 ∆ = 0.
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов
другой строки (столбца) этого определителя равна 0.
|
|
= 0, |
при ≠ |
|
|
|
=1
Рассмотрим вспомогательный определитель ∆′,полученный заменой–ой строки на –ую строку.
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− я строка |
∆′= |
|
|
= 0 т.к. содержит две одинаковые |
1 |
|
|
− я строка |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
строки. |
|
|
|
Разложим определитель по элементам –ой строки.
∆′= = 0
=1
8. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
Пусть к элементам –ой строки прибавляются элементы –ой строки умноженные на λ ≠ .
Тогда –ая строка нового определителя ∆′ имеет вид:
|
1 |
+ λ |
|
2 |
+ λ |
|
|
+ λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разложим ∆′ по элементам –ой строки |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∆′= |
1 |
+ λ |
|
1 |
+ |
2 |
+ λ |
|
2 |
+ + |
|
+ λ |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
- алгебраические дополнения элементов –ой строки исходного определителя = 1, ; ≠
Раскроем скобки
∆′= |
|
|
|
+ |
λ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∆ + λ = ∆ + λ0 = ∆
=1
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е. если = ∙ , то
= ∙
Замечание. Если ∙ ≠ ∙ (матрицы не коммутативны), то = .
Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителей n–го порядка.
Целесообразно преобразовать так исходный определитель, чтобы в какой-нибудь строке (столбце) получилось как можно больше 0, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
Можно приводить определитель к треугольному виду.
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 − 2 |
4 |
|
|
|
|
|
0 − 2 |
10 |
0 |
|
|
0 |
−2 |
10 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 2 − 3 |
1 |
|
= 1 ∙ −1 2+4 |
|
||||||||||||||
1 |
2 − 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
∙ |
4 |
−2 |
1 |
= |
||||||||||
|
∙ −4 |
∙ −6 = |
4 − 2 |
1 |
0 |
||||||||||||||||||
4 − 2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
−8 |
22 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 − 8 |
22 |
0 |
|
|
|||||||||||||
6 |
4 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 4 ∙ −1 |
2+1 |
∙ |
= −4 ∙ −44 + 80 |
|
= −144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−8 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная матрица Оглавление
1.Обратная матрица
2.Алгоритм вычисления обратной матрицы
3.Ранг матрицы
4.Элементарные преобразования матрицы
5.Линейная независимость (зависимость) строк матрицы
6.Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Обратная матрица
Матрица −1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если −1 ∙ = ∙ −1 = .
Замечание. Только квадратная матрица имеет обратную. Если ≠ 0, то матрица невырожденная (неособенная)
= 0, то матрица вырожденная (особенная).
Теорема. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы)
−1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Док-во. |
|
|
|
|
|
Необходимость. Пусть имеет −1, т.е. |
−1 ∙ = ∙ −1 = |
||||
∙ −1 |
= ∙ −1 |
∙ −1 |
= 1 |
≠ 0 и −1 ≠ 0 |
|
∙ −1 |
= = 1 |
||||
|
|
|
|||
Достаточность. Пусть ≠ 0
Рассмотрим .
-присоединенная матрица, ее элементы равны алгебраическим
дополнениям матрицы .
|
T |
= A |
|
( = 1, , |
= A |
ji |
|||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
1) ∙ = |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
∙ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
= |
|
, |
|
= |
|
|
0, |
|
|
≠ |
||
j= 1, )
∙Asi =
Т.е. матрица является диагональной:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
2) Аналогично ∙ = (той же матрице). |
|
|||||||||||
Из 1) и 2) следует что, если |
−1= |
1 |
∙ |
( ≠ 0), |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
то −1∙ = |
1 |
∙ ∙ = |
1 |
∙ = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично ∙ −1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Единственность. Пусть ≠ −1 |
и |
≠ −1, где −1 = |
1 |
∙ , |
||||||||
|
||||||||||||
причем ∙ = , ∙ = . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−1 ∙ ∙ = −1∙ |
∙ = −1∙ |
= −1; |
|
|||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∙ ∙ −1 = ∙ −1 |
∙ = ∙ −1 = −1. |
|
||||||||||
Алгоритм вычисления обратной матрицы
−1= |
1 |
∙ |
( ≠ 0), |
|
где -присоединенная матрица, ее элементы равны алгебраическим дополнениям матрицы
= AT ij
= |
A |
|
ji
= 1, , |
j = 1, . |
1)Найти , если = 0, то матрица вырожденная и −1. Если ≠ 0, то
2)Найти .
3)−1 = 1 ∙ .
4)Выполнить проверку, т.е. проверить условие −1 ∙ = ∙ −1 =
(не обязательно, но желательно).
1 |
−1 |
1 |
−1 - ? |
Пример. = 2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 −1
1) 2 1
1 1
11 =
2) 12 = −
13 =
1
1 = 2 − 1 + 2 − 1 + 4 − 1 = 5 ≠ 0 2
1 |
1 |
= 1 |
21 = − |
−1 |
1 = 3 31 = |
−1 |
1 |
= −2 |
||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
||
2 1 |
= −3 |
22 = |
1 |
1 |
|
= 1 |
32 = − |
1 1 |
= 1 |
|||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
= 1 |
23 = − |
1 |
−1 |
= −2 33 = |
1 |
|
−1 |
= 3 |
||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
3 1 |
−2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
= −3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3) −1 = 1 |
|
1 |
|
3 |
−2 |
|
1 5 |
3 5 |
− 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
−3 1 1 |
= − 3 5 |
1 5 |
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
1 |
|
−2 |
3 |
|
1 5 |
− 2 5 |
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ −1 = |
1 |
−1 |
1 |
1 |
3 |
−2 |
∙ 51 = 51 |
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
2 1 |
1 |
∙ −3 1 |
1 |
0 |
5 |
0 |
= 0 |
1 |
0 |
||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
−2 |
3 |
|
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|