Линейная алг. Заочное
.pdf
Свойства невырожденных матриц:
1)−1 −1 =
2)−1 = −1
3)−1 = −1
4)−1 = −1 ∙ −1
5)−1 = 1
Ранг матрицы
В матрице размера × вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы–го порядка, где ≤ min , . Определители таких
подматриц называются минорами –го порядка матрицы .
Рангом матрицы называется наивысший порядок
отличного от нуля минора этой матрицы.
или
Из определения ранга следует:
1) ≤ min ,
2) = 0 |
= |
3) = n ≠ 0 для квадратных матриц
|
|
1 |
3 |
0 |
4 |
Пример. Вычислить ранг матрицы = 3 |
2 |
0 |
1 . |
||
|
|
2 − 1 |
0 − 3 |
||
1) 3×4 |
≤ min 3; 4 |
≤ 3 |
|
|
|
2) Вычисляем миноры 3-го порядка пока не встретится
минор неравный 0. |
|
|
|
|
||
3 |
0 |
4 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
0 |
1 |
= 0 и т. д. 3 |
2 |
1 |
= 0 |
−1 |
0 |
−3 |
2 |
−1 |
−3 |
|
3) |
≤ 2. Повторяем для миноров 2-го порядка то, |
|
что |
делали для миноров 3-го порядка. |
|
|
1 |
3 = −7 ≠ 0 = 2 |
|
3 |
2 |
Этот способ трудоемок.
Элементарные преобразования матрицы
1.Отбрасывание нулевой строки.
2.Умножение всех элементов строки матрицы на число, не равное 0.
3.Изменение порядка строк матрицы.
4.Прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число.
5.Транспонирование матрицы.
Замечание. Все, что относится к строкам, относится и к столбцам.
Теорема. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
С помощью элементарных преобразований можно привести
матрицу к ступенчатому виду. |
|
|
|||
|
11 12 1 1 |
|
|
|
|
= |
0 22 2 2 |
, где |
|
≠ 0 для = 1, ; ≤ |
|
|
|
|
|
||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие ≤ всегда можно получить транспонированием матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы равен , т.к. имеется минор –го порядка неравный 0.
11 12 1 |
|
|
|
|
0 |
22 2 |
= |
∙ |
∙ ∙ ≠ 0 |
|
11 |
22 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства ранга матрицы:
1. + ≤ + 2. + ≥ −
3.≤ min ;
4.∙ =
5.= , если В – квадратная и ≠ 0
6.≥ + − , где − число столбцов А или строк В
Пример. Найти ранг матрицы.
0 − 1
= 2 − 4 −4 5
−2 1
3 |
0 |
2 |
1 |
5 |
3 |
7 − 10 |
0 |
|
8 − 5 |
3 |
|
Линейная независимость (зависимость) строк матрицы
Строки матрицы 1, 2, , называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1, λ2, , λ , неравные одновременно 0, что линейная комбинация строк
матрицы равна нулевой строке:
λ1 1 + λ2 2 + + λ = = 0 0 0
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Пусть λ ≠ 0, тогда
|
= − |
λ1 |
− |
λ2 |
− − |
λ −1 |
|
|
|
λ |
|||||
|
|
λ 1 |
λ 2 |
−1 |
|||
1 |
2 |
3 |
Пример линейной зависимости 0 |
1 |
2 . |
1 |
1 |
1 |
1 = 2 + 3 первая строка является линейной комбинацией двух других строк (λ1 = 1, λ2 = 1 )
1 − 2 − 3 = 0
Если λ |
+ λ + + λ |
= 0 0 0 |
λ |
|
= 0, = 1, , |
1 1 |
2 2 |
|
|
|
то строки 1, 2, , – линейно независимы.
Теорема о ранге матрицы.
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).
(без док-ва)
Вычисление обратной матрицы (методом Гаусса)
спомощью элементарных преобразований
1.К матрице А приписывается единичная матрица Е.
2.Путем элементарных преобразований над строками расширенной матрицы (А|E) матрица А приводится к виду единичной матрицы.
3.Когда на месте исходной матрицы А будет сформирована единичная
матрица, то на месте матрицы Е будет находится обратная матрица
−1.
|
|
|
|
|
|
(А|E) ~ (E| −1) |
|
|
|
|||||
Пример. = |
1 |
|
2 |
|
−1 −? |
|
|
|
|
|||||
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
1 |
0 |
∙ −3 |
~ |
1 |
2 |
1 |
0 |
|
||||
|
|
|||||||||||||
∙ 1 ~ |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||
3 |
4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
−2 −3 |
1 |
|
|
||
~ |
1 |
0 |
−2 |
1 |
|
∙ − 1 |
2 ~ |
1 |
0 −2 |
1 |
||||
0 |
−2 −3 1 |
0 |
1 3 2 − 1 2 |
|||||||||||
Ответ: −1 = |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
3 2 |
|
− 1 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Системы линейных уравнений Оглавление
1.Система линейных уравнений с неизвестными
2.Равносильные системы
3.Матричная форма системы уравнений
4.Квадратные системы
5.Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
6.Метод Крамера
7.Расширенная матрица системы
8.Теорема Кронекера-Капелли
9.Метод Гаусса
10.Метод Жордана-Гаусса