Пример:
1) Пусть
ортогональная
матрица. Её геометрический смысл –
поворот ортогонального базиса на угол
против часовой стрелки (т.к. столбцы
– координаты нового базиса в старом).
2)
– матрица отражения.
3°. Ориентация линейного пространства.
Ранее мы вводили понятие ориентированного базиса на плоскости и пространстве. Обобщим это на произвольное линейное пространство.
Фиксируем в
некоторый базис
и обозначим
множество таких базисов
и
.
Остальные базисы отнесём к классу
.
Очевидно, что если
,
то
,
где
.
Утверждение 1. Классы базисов
и
не зависят от выбора исходного базиса
.
Доказательство:
Рассмотрим базис
и пусть
,
где
.
Для каждого базиса
имеем:
,
где
.
Тогда
,
где
.
Значит,
.
Вместе с тем,
.
Следовательно,
.
Так как
– это базисы, не вошедшие в
,
что и требовалось доказать. ■
Далее, два класса
базисов обозначаем
и
.
Определение 3. Вещественное линейное
пространство называется ориентированным,
если из двух классов базисов
и
зафиксирован один. Базисы выбранного
класса называются положительно
ориентированы.
Задать ориентацию линейного пространства можно выбрав некоторый базис и считая его (и все базисы одного с ним класса) положительно ориентированными.
Рассмотрим
–мерное
ориентированное евклидово пространство
E
и систему векторов
E
.
Определение 4. Ориентированным
объёмом параллелепипеда, построенного
на векторах
,
называется величина
:
Отсюда в силу (5) имеем:
.