§4. Плоскости в евклидовом точечном пространстве.
1°. Евклидово точечное пространство.
Определение 1. Аффинное пространство измерений над полем называется –мерным евклидовым точечным пространством, если соответствующее ему векторное пространство есть евклидово пространство.
Из определения 1 следует, что евклидово точечное пространство определяется следующими пятью группами аксиом:
-
Аксиомы сложения векторов (4 аксиомы).
-
Аксиому умножения вектора на число (4 аксиомы).
-
Аксиома размерности.
-
Аксиомы аффинного пространства, связывающие точки с векторами.
-
Аксиомы скалярного произведения.
В евклидовом точечном пространстве вводиться метрика (правило вычисления расстояния между точками). Поэтому становится возможным вычислять площади, объемы, углы,…
Определение 2. Расстоянием между точками и называется длина вектора , т.е. .
Очевидны следующие свойства:
1) – симметричность расстояния.
2) .
3) – неравенство треугольника.
В аффинном пространстве базис определяется репером , где . Если базис – ортонормированный, то репер называется ортонормированным, и расстояние между точками и : определяется формулой . Если репер произвольный, то расстояние вычисляется с использованием матрицы Грама.
2°. Вектора, ортогональные плоскости в евклидовом точечном пространстве.
Рассмотрим –мерную плоскость заданную уравнениями
(1)
Определение 3. Будем говорить, что вектор E ортогонален плоскости (1), если ,.
Из определения 3 видно, что множество всех , ортогональных плоскости , есть ортогональное дополнение к направляющему пространству плоскости (1),
Иногда называют ортогональным подпространством –мерной плоскости .
Пусть базис образован векторами . Найдём скалярные произведения (1) на эти вектора:
. |
(2) |
Пусть в E введён ортогональный базис. Тогда левые части уравнений системы (2) – линейные функции от , а правые – числа, т.е. (2) – система линейных неоднородных уравнений на . Ранг матрицы системы равен . Множество всех решений образует плоскость .
Таким образом, справедливо
Утверждение 1. Если в евклидовом точечном пространстве с ортонормированным базисом, плоскость задана СЛНУ, то коэффициенты системы являются координатами векторов нормального подпространства к плоскости . Размерность нормального подпространства равна рангу системы.
В случае гиперплоскости нормальное подпространство одномерное. Пусть оно определяется вектором . Тогда следуя (2) уравнение гиперплоскости может быть задано в виде
. |
(3) |
Таким образом, точка принадлежит гиперплоскости (3) вектор .
Для задания гиперплоскости в виде (3) достаточно знать вектор , ортогональный гиперплоскости, и точку .
3°. Расстояние от вектора до подпространства.
Рассмотрим евклидово пространство E и пусть E.
Определение 4. Расстоянием между векторами E назовём величину
. |
(4) |
Из свойств евклидова пространства следует, что
. |
(5) |
Если рассматривать как стороны треугольника, то – третья сторона треугольника.
Если треугольник прямоугольный, т.е. , то
(6) |
– теорема Пифагора. Из формулы (5) в силу
, , т.е.
, . |
(7) |
Таким образом, в евклидовом пространстве длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, но не меньше их разности.
Из (4) следует, что введённое в определение 4 понятие расстояние удовлетворяет обычным свойствам расстояния (метрики):
-
и
-
Первые два свойства очевидны, а третье следует из (7), если , .
Определение 5. Если – множества векторов, то расстояние между называются величина
.
Теперь в евклидовом пространстве E фиксируем подпространство и пусть – произвольный вектор из E.
Известно, что для пространства однозначно определённое ортогональное дополнение и вектор однозначно может быть представлен в виде
(8) |
где , .
Определение 6. В таком рассмотрении называется проекцией на , –перпендикуляром, опущенным из на , а сам вектор – наклонной к подпространству .
Т.к. векторы – перпендикулярны по теореме Пифагора , т.е. длина перпендикуляра не превосходит длины наклонной и длина перпендикуляра равна длине наклонной .
Задаче о перпендикуляре можно дать другую трактовку. Пусть и надо найти вектор в : он ближе всего расположен к в смысле определения 4. Пусть вычитая его из (8), имеем , так как по теореме Пифагора
причём это равенство дополняется лишь только если .
Итак,
Утверждение 2. Среди всех векторов из подпространства проекция вектора на . Ближе всего расположена к , т.е. .
Углом между вектором и подпространством E называется наименьший из углов между и векторами .
Известно, что
Причём равенство получается, если .
Таким образом, угол между и равен углу и проекцией на . Если ввести обозначения , , т.е. в силу условия , имеем , .
В силу единственности представления имеем , .
4°. Расстояние от точки до плоскости
Пусть в аффинном пространстве Азадана плоскость , проходящая через точку в направлении подпространства , и точка . Тогда вектор может быть представлен в виде
,
где , .
Определение 7. Расстоянием от точки до плоскости будем называть величину
.
Из свойств, рассматриваемых в 2°, что определённое таким образом расстояние от до плоскости есть минимальное расстояние от до точки плоскости.
Домашнее задание: показать, что, то определение корректно, т.е. не зависит от выбора точки на плоскости.
5°. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве.
Пусть в E задана система координат с произвольным ортонормированным базисом и в этой системе координат задано уравнение гиперплоскости
(9) |
где – нормаль гиперплоскости.
Если уравнение (9) , а , то уравнение называется нормальным уравнением гиперплоскости.
Определение 8. Уравнение
(10) |
где , , называется нормальным уравнением гиперплоскости.
Чтобы привести (9) к нормальному виду, достаточно умножить его на нормирующий множитель
выбрав знак так, что . Тогда (если , то берут со знаком +).
Отметим, что координаты – направляющие косинусы.
Пусть – радиус вектор текущей точки E плоскости. Тогда
(11) |
– угол между и . Т.е., есть проекция вектора на нормаль с положительными направляющими . Вместе с тем, не трудно видеть, что есть расстояние от начала координат до гиперплоскости. Действительно, из (11) и , если . Таким образом, есть длина самого короткого из радиус–векторов, имеющих концы на плоскости (см. рисунок).
Пусть – радиус–вектор точки , не лежащей на плоскости . Рассмотрим .
Имеем
и – длина самого короткого из этих векторов – расстояние от до плоскости. Знак таков, что , если и лежат по одну сторону от плоскости и – если по разные.
Таким образом, гиперплоскость делит пространство на два полупространства, если
,
то это отрицательное полупространство (содержит начало координат) и
– положительное полупространство.
Задача. Найти расстояние от точки до плоскости .
Решение. .