§7. Определители

10. Определение.

Пусть − коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с элементами из называется элемент кольца :

= = ,

где сумма берется по всем перестановкам множества из элементов, – знак перестановки.

Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведения из сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно .

Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц.

Иногда вместо термина определитель используют термин детерминант (по латыни).

Примеры.

1. Если , то матрица состоит из одного элемента, т.е. . Тогда .

2. Если , то . Формула для определителя в этом случае содержит слагаемых, соответствующих тождественной перестановке , , и перестановке , (). Получаем

.

3. Если , то . В этом формула для определителя содержит слагаемых, соответствующих перестановкам , , , , , , , , , , , . Получаем

т.е.,

.

Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,

Примеры.

1. .

3.

4.

5.

6.

7.

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.

2⁰. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Пусть .

Определение 2. Матрица = называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: –й столбец матрицы состоит из элементов –ой строки матрицы , расположенных в том же порядке.

Операция называется транспонированием.

Пример.

Свойства операции транспонирования матриц.

1. 

2. 

3. 

Доказательство свойств 1−3 осуществляется прямыми вычислениями (самостоятельно).

4. справедливо

Доказательство:

Легко видеть, что .

Пусть – элемент матрицы ,стоящий в –й строке и –том столбце ,где – элемент –ой строки и –того столбца матрицы

, где

Но , , где и – элементы и , соответственно =>, где последняя сумма – произведение элементов –ой строки на –ой столбец ,те – элемент (что и требовалсоь доказать).

5.

Определение 4. Если квадратная , то называется симметричной, тогда , если т.е. , то – называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е.

Доказательство: Пусть , , т.к. и имеют одинаковое количество членов , то достаточно показать, что член является членом и наоборот.

Все члены имеют вид: и составлены из членов, находящихся в разных строках и столбцах этот же член является членом . Верно и обратное члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками.

Знак равен . Этот член входит в как и имеет знак (см. свойство 2 перестановок) т.к. определители и являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками (что и требовалось доказать).

Следствие: Всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю.

Доказательство: На самом деле, пусть –я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент все члены нулевые (что и требовалось доказать).

Свойство 3. Если матрица получена из перестановкой каких–либо двух строк, то

Доказательство: Пусть , –строки

Если входит в , то все его члены и в остаются в разных столбцах и строках он входит и в . Для знак , а в надо считать знак перестановки эта перестановка получается из транспозицией в верхней строке она имеет противоположную четность, т.е. все члены входят в с противоположным знаком (что и требовалось доказать).

Свойство 4. Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю

Доказательство: Пусть в и –строки равны после их перестановки определитель равен , но т.к. переставлены одинаковые строки он тот же самый .

Свойство 5. Если получена из умножением некоторой строки на , то .

Доказательство:

Свойство 6. Если содержит две пропорциональные строки, то .

Доказательство: Пусть –я строка равна –строка можно вынести из –й строки (свойство 5) по свойству 4 (что и требовалось доказать).

Свойство 7. Если все элементы –ой строки матрицы представлены в виде двух слагаемых: , то , где , имеют все строки, кроме –ой, как в , а –ая строка состоит из , а – из , т.е.

Доказательство:

(что и требовалось доказать).

Следствие: Тоже самое, когда , т.е. сумма слагаемых.

Свойство 8. Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

Доказательство: Если –ая строка, есть линейная комбинация остальных строк , то элемент –ой строки – сумма элементов по следствию к свойству 7 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых –ая строка пропорциональна одной из строк они равны (что и требовалось доказать).

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Доказательство: Если к –ой строке прибавляется –ая строка, умноженная на , то в новом определители –ая строка равна . Тогда на основании 7 этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен , а второй содержит две пропорциональные строки равен (что и требовалось доказать).

Следствие: Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк.