30.Миноры и алгебраические дополнения.
Пусть . Выберем номеров строк и номеров столбцов .
Определение 5. Минором порядка матрицы называется определитель матрицы порядка , образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.
Обозначение:
Примеры: , ,
Определени 6. Если – квадратная порядка , то каждому минору порядка можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка , элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов . Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к .
Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на
Если .
Пример:
Теорема 1(о разложении определителя).
Если и , то равен сумме произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т.е. .
Доказательство: Пусть
. Тогда, выбрав –ую строку, определитель можно представить как сумму:
, где i-я строка
Покажем, что . Переставляя раз столбцы и раз строки, получим :
Лемма 1:
Доказательство: .
Рассмотрим . Очевидно, что так что число инверсий в и одно и тоже и значит (что и требовалось доказать).
Вернемся к доказательству теоремы:
(что и требовалось доказать).
Следствие (разложение по чужой строке).
Сумма произведений всех элементов какой–нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Доказательство: Пусть . Рассмотрим матрицу , получающуюся из заменой –ой строки на –ю, оставляя –ю прежней . Напишем разложение по –ой строке: т.к. алгебраические дополнения к элементам –ой строки у матрицы и совпадают (что и требовалось доказать).
Пример:
-
=
Следующая теорема обобщает теорему 1.
Теорема 2 (теорема Лапласа).
Пусть матрице порядка произвольно выбраны строк, . Тогда сумма произведений всех миноров –го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна . Т.е. если – выбранные строки, то (1),
где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов , .
Формула (1) называется формулой разложения определителя по –й строке .
Доказательство: см. Ильин, Поздяк стр. 27.
Примеры:
1)
2)
3) Определитель Вандермонда.
Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:
4°. Определитель суммы и произведения матриц.
Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает:
Теорема 1: Если , то равен сумме определителей матриц порядка , каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы , а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B.
Иллюстрация .
Теорема 2: Если , то .
Доказательство: Рассмотрим матрицу порядка : , где – нулевая квадратная матрица порядка ,
Из примера 1 пункта 3 имеем, что .
Преобразуем теперь матрицу . строку умножим на , – на –ую – на и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: . Аналогично к –ой строке прибавим , умноженную на – на –ую на .
Имеем: . Т.о., первые строк принимают вид:
При таких преобразованиях определитель не меняется
где . Но Т.о. доказано, что
det .
Следствие 1: Если
Следствие 2: Из