§5 Объём и ориентированный объем системы векторов
1°. Объём системы векторов.
Ранее в произвольном евклидовом пространстве было определено понятие длины вектора. Теперь определим понятия площади и объёма.
Пусть на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и . Пусть и опущен из конца вектора на . Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах и , определяется формулой
.
Пусть – нулевое подпространство, – линейная оболочка .
Так как ,
.
Аналогично, если , , – три некомпланарных вектора
– объём параллелепипеда
определяется формулой
= где – линейная оболочка .
Аналогично вводится объём системы произвольного числа векторов в –мерном евклидовом пространстве E.
Определение 1. Объёмом системы векторов евклидова пространства E называется величина
(1) |
Свойства:
1°. , причём =0 – линейно зависимы.
Доказательство: следует из (1). Докажем вторую часть. Пусть – линейно зависимы. Если //по определению 1// . Если , то некоторый вектор линейно выражается через предшествующие . Обратно, пусть один из сомножителей равен 0, например –ый. Если вектора линейно зависимы. Если =0 – линейная комбинация все векторы линейно зависимы.
2°. Справедливо неравенство Адамара.
, |
(2) |
причём равенство имеет место либо – ортогональны, либо содержат нулевой вектор.
Доказательство: Согласно свойствам перпендикуляра и проекции справедливо
, |
(3) |
причём равенство выполняется , т.е. ортогонален .
Перемножим все неравенства (3), получим (2). Очевидно, что если все – ненулевые, то неравенство обращается в равенство лишь, если система ортогональна.
3°. Если – нормированы, то из (2)
.
Если – нормированы и они ортогональны.
Вычисление объёма проиллюстрируем для .
Тогда (Умножая на )
– определитель матрицы Грама.
Аналогично
(4) |
Пусть – произвольный базис, а – матрица из координатных столбцов векторов в этом базисе. Эта матрица – матрица перехода от к . Поэтому . Отсюда в силу (4)
(5) |
В частности, для ортонормированного базиса e
.
2°. Ортогональные матрицы.
Ранее было показано, что если даны два базиса и , связанные формулами перехода , то матрицы Грама связаны формулами (§3, п.3)
(6) |
Пусть оба базиса ортонормированны т.е. – единичная матрица. Тогда формула (6) принимает вид
. |
(6) |
Определение 2. Матрица, удовлетворяющая условию (7), называется ортогональной.
Из определения видно, что ортогональные матрицы, и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Равенство (7) равносильно
.
Отсюда следует, что матрица тоже будет ортогональной. Вычисляя определитель от (7), имеем
,
т.е. определитель ортогональной матрицы равен .
Множество ортогональных матриц обозначается , множество ортогональных матриц с определителем единица обозначается и называется множеством матриц вращения.