Попов В.В., Мазепа Е.А., Безверхов В.А. - Практикум по алгебр

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный университет

Математический факультет

Попов В.В., Мазепа Е.А., Безверхов В.А.

ПРАКТИКУМ ПО АЛГЕБРЕ часть 1

МНОГОЧЛЕНЫ и ИХ КОРНИ

Учебно-методическое пособие для студентов математических специальностей университетов

Волгоград 2004

ÁÁÊ 22.143

Рецензенты:

д.ф.-м.н., проректор по информатизации и телекоммуникациям ВолГУ, проф. А.А. Воронин;

к.ф.-м.н., доц. каф. МАТФ ВолГУ В.И. Пелих

Печатается по решению ученого совета математического факультета ВолГУ (протокол N 8 от 01.03.04.)

Попов В.В., Мазепа Е.А., Безверхов В.А.

Практикум по алгебре. Часть 1. Многочлены и их корни: Учебно-методическое пособие для студентов математических специальностей университетов. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2004. 34 стр.

Цель данного пособия обеспечить методическое содержание практических занятий по курсам "Алгебра", "Геометрия и алгебра", "Линейная алгебра и геометрия". Пособие содержит тематически подобранные задачи, а также необходимый для их решения теоретиче- ский материал. Пособие предназначено прежде всего для студентов, обучающихся по специальностям "Математика" и "Прикладная математика и информатика" в классических университетах, но может быть использовано преподавателями и студентами других специальностей, изучающих данные курсы.

Печатается в авторской редакции с готового оригинал-макета

°c Попов В.В., Мазепа Е.А., Безвер-

õîâ Â.À., 2004

°c Издательство Волгоградского государственного университета, 2004

Предисловие

Появление настоящего учебно-методического пособия обусловлено несколькими простыми соображениями. При подборе материала авторы стремились, во-первых, собрать в один печатный источник все те задачи и упражнения из известных на сегодняшний день сборников задач [9] [13], которые непосредственно предлагаются студентам на практических занятиях по курсам "Алгебра", "Геометрия и алгебра", "Линейная алгебра и геометрия" на математическом факультете Волгоградского госуниверситета; во-вторых, обеспечить студента, решающего предложенные задачи, одновременно и необходимым для этого теоретическим материалом (большая часть известных сборников задач по алгебре либо вообще не содержат таких сведений, либо они даны в очень краткой форме); в-третьих, максимально приблизить содержание практических занятий по указанным курсам к содержанию действующего на настоящий момент ГОСТа специальностей "Математика", "Прикладная математика и информатика" и к содержанию соответствующих лекционных курсов, которые читаются на математическом факультете авторами данного пособия в течении нескольких последних лет.

Данное пособие позволит также решить проблему методического обеспечения проведения практических занятий по указанным курсам и может быть полезно молодым преподавателям, только начи- нающим свою педагогическую деятельность.

"Практикум по алгебре" состоит из нескольких частей, каждая из которых отражает содержание практических занятий по конкретной теме "Многочлены и их корни", "Матрицы и определители", "Системы линейных уравнений", "Линейные пространства", "Линейные операторы", "Евклидовы пространства" и др.

При составлении настоящего пособия некоторое число задач было почерпнуто из сборников [9] [13], которые авторы также рекомендуют своим студентам для совершенствования своих практических навыков. Теоретические сведения, приводимые в данном пособии, имеют своим источником [1] [8].

3

Введение к первой части

В школьном курсе математики большое внимание уделяется исследованию квадратного трехчлена. Это направление вырастает в большой и содержательный раздел высшей алгебры, изу- чающий произвольные многочлены n-ой степени с одним неиз-

вестным. Этому разделу посвящено настоящее пособие, которое ориентированно, в основном, на решение типовых примеров и задач по данной тематике. Тем не менее, для самостоятельного решения задач по теме "Многочлены и их корни", для отработки и совершенствования практических навыков рекомендуется пользоваться и задачниками [9] [13].

Многочлены

Пусть P некоторое множество, в котором определены две

алгебраические операции, (условно) называемые сложением и умножением. Пусть также x некоторый символ, называемый

переменной. Многочленом над P (= многочленом с коэффици-

ентами из P) от переменной x называется (формальное) выражение вида

ãäå n целое неотрицательное число, а a0; a1; : : : ; an ýëå- менты множества P. Эти элементы называют коэффициентами

многочлена f(x) (a0 коэффициент при xn, a1

åíò ïðè xn¡1 è ò.ä.); an это свободный член многочлена f(x). В качестве P обычно рассматриваются следующие множества

(вместе с определенными на них операциями сложения и умножения):

R поле действительных чисел; C поле комплексных чисел; Q поле рациональных чисел; Z кольцо целых чисел.

4

Замечание. Термины "операция", "кольцо" и "поле" определены в последнем разделе.

 P обычно есть (единственный) элемент, называемый нулем или нулевым элементом и обозначаемый символом ”0”. Åñëè â

формуле (1) a0 =6 0, òî a0 называют старшим коэффициентом, а n степенью многочлена f(x): n = degf(x). Если же в формуле

f(x) называют нулевым многочленом и

обозначают также символом ”0”. Степень нулевого многочлена

не определена (некоторые авторы за степень нулевого много- члена принимают число ¡1 или символ "¡1").

При этом можно использовать следующие преобразования: a) перестановка слагаемых;

b) замена выражения axk + bxk выражением (a + b)xk, ãäå

a; b 2 P è k = 0; 1; 2; : : :;

c) добавление и отбрасывание слагаемых вида 0 ¢ xk, k =

0; 1; 2; : : :;

d) замена выражения (axk)¢(bxl) на выражение abxk+l, ãäå

a; b 2 P è k; l = 0; 1; 2; : : :.

Два многочлена называются равными, если запись одного из них можно привести к записи другого с помощью преобразований вида a) d). 2 2 5 4 3 2

Например, многочлены (x +1) è 0¢x +x +0¢x +2x +0¢x+1 равны.

Упражнение 1. Дополнить список преобразований a) d) так, чтобы многочлены x2 +(¡2)x+(¡7) è x2 ¡2x¡7 были бы равны.

Упражнение 2. Дать определение операции умножения двух многочленов.

5

Теорема 1. Пусть P поле. Тогда множество P [x] многочле-

íîâ íàä P является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей (но не является полем).

Заметим, что в теореме 1 утверждается, в частности, что для любых трех многочленов f(x), g(x) è h(x) с коэффициентами

èç ïîëÿ P справедливы равенства:

(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)); f(x) + g(x) = g(x) + f(x);

f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x);

а также ряд других равенств и свойств (см. Приложение 1).

Упражнение 3. Показать, что кольцо R[x] многочленов с действительными коэффициентами не является полем.

1 Деление с остатком

Теорема 2. Пусть f(x) è g(x) многочлены с коэффициентами из некоторого поля P, причем g(x) ненулевой многочлен. Тогда существуют и единственны такие многочлены q(x) è r(x) с коэффициентами из P, ÷òî

f(x) = g(x) ¢ q(x) + r(x)

и степень многочлена r(x) меньше степени g(x).

Многочлен q(x) называется неполным частным от деления f(x) íà g(x), а многочлен r(x) остатком.

Замечание. Заключение теоремы 2 становится неверным, если P кольцо, а не поле. Например, в кольце многочленов с

целыми коэффициентами (т.е. при P = Z) многочлен f(x) = x2 + 1 нельзя разделить с остатком на g(x) = 2x, так как коэффициенты частного и остатка не целые числа.

6

Задачи.

1.1. Найти сумму коэффициентов многочлена

f(x) = (3x5 ¡ 4x3 + 2x2 ¡ x ¡ 1)20:

1.2. Даны многочлены

f1(x) = 2x4 ¡ 3x3 + 4x2 ¡ 5x + 6; f2(x) = x3 ¡ 3x2 ¡ x ¡ 1;

f3(x) = x2 ¡ 3x + 1:

Каждый из многочленов fi(x) разделить на многочлен fj(x),

ïðè i; j = 1; 2; 3.

1.3. Каждый из многочленов задачи 2 разделить на следующие многочлены: a) 2x ¡ 1; b) 3x2 + x + 1; c) x + i + 1;

d) 2x + i.

1.4. Найти делитель g(x), если известны делимое f(x), частное q(x) и остаток r(x):

1.5.Доказать, что при делении многочлена f(x) íà äâó- ÷ëåí x ¡ c остаток равен f(c).

1.6.Найти остаток при делении многочлена f(x) = x100 +

1.8. Пусть многочлен f(x) при делении на x ¡ 1 дает остаток 1, при делении на x ¡ 2 остаток 2, а при делении на x ¡ 3остаток 1. Найти остаток при делении этого многочлена на

(x ¡ 1)(x ¡ 2)(x ¡ 3).

7

1.9. Известно, что любой многочлен степени n можно разложить по степеням разности x ¡ c:

f(x) = b0(x ¡ c)n + b1(x ¡ c)n¡1 + : : : + bn¡1(x ¡ c) + bn;

ãäå c любое число вещественное или комплексное. Показать,

÷òî bn является остатком от деления f(x) íà x¡c, bn¡1 от деления неполного частного на x ¡ c, è ò.ä.

1.10. Разделить с остатком многочлен f(x) íà g(x) в следующих случаях:

1)f(x) = 4x5 + 10x4 + 8x3 + 5x2 + 2x + 3; g(x) = 2x3 + 3x2 ¡ x;

2)f(x) = 3x5 + 4x4 ¡ 6x3 ¡ 2x2 + 4x ¡ 2; g(x) = 3x3 ¡ 2x2 ¡ 2x;

3)f(x) = x5 + 4x4 ¡ 2x3 ¡ 7x2 + 3x + 5; g(x) = x3 ¡ 2x;

4)f(x) = 3x5 ¡ 5x4 ¡ 6x3 + 6x2 + 6x + 5; g(x) = 3x3 ¡ 2x2 ¡ 2x;

5)f(x) = 6x5 ¡ 4x4 + 2x3 ¡ 8x2 + 6x ¡ 2; g(x) = 3x3 + x2 + 2x ¡ 2;

6)f(x) = 6x5 + x4 + 3x3 + 3x2 ¡ x + 4; g(x) = 3x4 ¡ x3 + 2x2;

7)f(x) = x6 + 4x5 + 3x4 ¡ 9x3 ¡ 5x2 + 7x + 1; g(x) = x3 + 4x2 + 5x ¡ 2;

8)f(x) = 3x5 + x4 + 4x3 + 3x ¡ 1; g(x) = 3x4 + x3 + 4x2 ¡ x + 4:

8

2 Схема Горнера

Схема Горнера реализует эффективный алгоритм деления многочлена f(x) на двучлен x ¡ c. Пусть

f(x) = a0xn + a1xn¡1 + : : : + an

è

f(x) = (x¡c)q(x)+r результат его деления с остатком на x¡c:

Таким образом, коэффициент bk вычисляется путем умноже- ния предыдущего коэффициента bk¡1 íà c и добавления соот-

ветствующего коэффициента ak. Остаток определяется по тому же правилу.

Пример. Разделить f(x) = 2x4 ¡x3 ¡2x¡3 íà x¡3. Резуль-

тат удобно записать в виде таблицы, в верхней строке которой расположены коэффициенты многочлена f(x), а в нижней

коэффициенты частного и остаток.

Таким образом, искомое частное будет

q(x) = 2x3 + 5x2 + 15x + 43:

Остаток r = f(3) = 126:

9