Попов В.В., Мазепа Е.А., Безверхов В.А. - Практикум по алгебр

3 Делимость в кольце многочленов

Определение 1. Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если остаток при делении f(x) íà g(x) ÿâëÿ-

ется нулевым многочленом. Запись: f(x) . g(x).

Åñëè f(x) не делится на g(x), то пишут f(x) 6. g(x). Åñëè f(x) делится на g(x), то говорят также, что g(x) делит f(x) èëè ÷òî g(x) делитель многочлена f(x).

Примеры.

Предложение 2. Åñëè f1(x) . g(x) è f2(x) . g(x) , òî

a) f1(x) + f2(x) . g(x); b) f1(x) ¡ f2(x) . g(x); c) f1(x) ¢ f2(x) . g(x):

Предложение 3. Åñëè k1 è k2 отличные от нуля константы, то для любых многочленов f(x), g(x) выполнено:

f(x) . g(x) () k1f(x) . k2g(x):

Предложение 4. Для любых многочленов f(x), g(x) è h(x) выполняются следующие свойства:

a) f(x) . f(x);

11

b)åñëè f(x) . g(x) è g(x) . f(x), òî f(x) = k ¢ g(x) для некоторого k;

c)åñëè f(x) . g(x) è g(x) . h(x), òî f(x) . h(x).

4Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида

Определение 2. Общим делителем системы многочленов называется такой многочлен, на который делится каждый из многочленов этой системы.

Определение 3. Наибольший общий делитель системы многочленов это их общий делитель наибольшей степени.

Запись d(x) = ÍÎÄ(f1(x); f2(x); : : : ; fk(x)) означает, что d(x) наибольший общий делитель (системы) многочленов f1(x),

f2(x), : : :, fk(x). Пишут также d(x) = (f1(x); f2(x); : : : ; fk(x)).

Определение 4. Общим кратным системы многочленов называется такой многочлен, который делится на каждый из многочленов этой системы.

Определение 5. Наименьшее общее кратное системы много- членов это их общее кратное наименьшей степени.

Запись: НОК(f1(x); f2(x); : : : ; fk(x)) èëè [f1(x); f2(x); : : : ; fk(x)].

Отметим, что НОД и НОК определены с точностью до постоянного, отличного от нуля множителя: если d(x) НОД системы

f1(x), f2(x), : : :, fk(x), C константа и C 6= 0, òî C ¢ d(x)

f1(x); f2(x); : : : ; fk(x).

Лемма 1. Пусть f(x) = g(x)q(x)+r(x) деление с остатком.

Тогда:

a) åñëè d(x) общий делитель пары многочленов f(x) è g(x), òî d(x) общий делитель пары многочленов g(x) è r(x);

12

b)åñëè d1(x) общий делитель пары многочленов g(x) è r(x), òî d1(x) общий делитель пары многочленов f(x) è g(x);

c)множество общих делителей пары многочленов g(x) è r(x)

совпадает с множеством общих делителей пары многочленов

f(x) è g(x);

d) ÍÎÄ (f(x); g(x)) = ÍÎÄ (g(x); r(x)).

Алгоритм Евклида. Пусть f(x) è g(x) два ненулевых мно-

гочлена. Разделим с остатком первый многочлен на второй, затем второй многочлен на первый остаток, первый остаток на второй остаток и т.д. до тех пор, пока не получим нулевой остаток:

rk+1(x) = rk+2(x)qk+3(x) + 0:

Тогда НОД (f(x); g(x)) = rk+2(x). Таким образом, последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем исходных многочленов f(x) è g(x).

Предложение 5. Åñëè d(x) есть наибольший общий делитель многочленов f(x) è g(x), то можно найти такие многочлены u(x) è v(x), ÷òî

f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x):

Если степени многочленов f(x) è g(x) больше нуля, то можно дополнительно считать, что степень u(x) меньше степени g(x), а степень v(x) меньше степени f(x).

13

Задачи.

4.1. Даны многочлены

f1(x) = x3 + ax + b; f2(x) = x4 + cx3 + d; f3(x) = x2 + 1; f4(x) = x2 + ex:

При каких значениях параметров a; b; c; d è e многочлен fi(x) делится на многочлен fj(x), ãäå i; j = 1; 2; 3; 4?

к знаменателю множитель, однако подобрать этот множитель сложнее, чем в предыдущем примере.

Предложение 6. Пусть f(x) è g(x) два взаимно простых многочлена с рациональными коэффициентами. Пусть ® корень многочлена f(x). Тогда существует такой многочлен h(x)

с рациональными коэффициентами, что число g(®) ¢h(®) рационально.

Доказательство. Используя алгоритм Евклида, подберем такие многочлены u(x) è v(x) с рациональными коэффициента-

ìè, ÷òî f(x)u(x) + g(x)v(x) = C, ãäå C рациональное число. Тогда при x = ® получим f(®)u(®) + g(®)v(®) = C, что вместе с f(®) = 0 äàåò g(®)v(®) = C: Поэтому за h(x) можно принять многочлен v(x). Таким образом, v(®) является сопряженным множителем для g(®).

Пример. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби

p

Обозначим ® = 3 2, тогда ® будет корнем многочлена f(x) = x3 ¡ 2 и знаменатель можно записать в виде g(x) = x2 + 2x ¡ 3.

Применим к этим многочленам алгоритм Евклида:

µ

f(x) = g(x) ¢(x ¡2) + (7x ¡8); g(x) = (7x ¡8) ¢ x7

16

Задачи.

5.1. Избавиться от иррациональности в знаменателях следующих дробей:

5.2. Уничтожить иррациональность в знаменателе следующих выражений

17

Говорят, что многочлены f(x) è g(x) равны алгебраически,

если равны их степени и совпадают коэффициенты при одинаковых степенях x.

Многочлены f(x) è g(x), заданные над некоторым кольцом или полем P равны функционально, если f(x) = g(x) ïðè âñåõ

x 2 P.

Предложение 9. Пусть f(x) è g(x) многочлены над произвольным бесконечным полем. Тогда многочлены f(x) è g(x) равны алгебраически () f(x) è g(x) равны функционально.

Пусть x0 корень многочлена f(x). По теореме Безу f(x) делится на двучлен (x ¡ x0). Может оказаться, что f(x) делится и на более высокую степень этого двучлена. Тогда

называют кратным корнем многочлена f(x). Более точно:

Определение 6. Корнем кратности k > 1 многочлена f(x)

называется такой его корень x0, ÷òî f(x) делится на (x¡x0)k, но не делится на (x ¡ x0)k+1.

Эквивалентная формулировка:

Определение 6*. Число (элемент поля) x0 называется кор- нем кратности k > 1 многочлена f(x), если найдется много- член g(x), для которого f(x) = (x ¡ x0)k ¢ g(x) è g(x0) 6= 0.

Предложение 10. Пусть x0 корень кратности k > 2 ìíî-

гочлена f(x). Тогда x0 корень кратности k ¡ 1 производной f0(x) этого многочлена.

Предложение 11. x0 корень кратности k > 2 многочлена

f(x) () f(x0) = 0, f0(x0) = 0, : : :, f(k¡1)(x0) = 0.

Предложение 12. Пусть x0 корень кратности k > 2 многочлена f(x) è d(x) наибольший общий делитель многочлена f(x) и его производной f0(x). Тогда x0 корень d(x).

19

Замечание. В тех кольцах и полях, в которых нет понятия предельного перехода (например, Z3, Z4) производную много-

изводная является (по определению) многочленом n ¢ a0xn¡1 +

(n ¡ 1) ¢ a1xn¡2 + : : : + an¡1. При таком понимании производной предложения 10 12 остаются верными в произвольных (в том числе конечных) полях.

Задачи.

6.1. При каком значении ¸ многочлен f(x) имеет кратные корни?

a) f(x) = x3 ¡ 3x + ¸; b) f(x) = x4 ¡ 4x + ¸;

c) f(x) = x3 ¡ 8x2 + (13 ¡ ¸)x ¡ (6 + 2¸):

20